(>>809の続き)
n≧k なる整数nは任意に取っていたから、
偶数 2n に対して或る N(2n)＞2n＞k なる整数 N(2n) が存在して、
L≧N(2n) なる整数Lを任意に取って、γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L}
について q_{2n}/p_{2n} と同様な議論を繰り返せば、
N(2n) に対して或る2以上の整数 L(N(2n)) が存在して、
γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} の分母 p_{2L} と分子 q_{2L} は
各々 p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) を満たし、
γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) は
0＜|γ−q_{2L}/p_{2L}|＝γ−q_{2L}/p_{2L}＜1/(p_{2L)^2＜|γ−1/(p_{2L})|
を満たし、γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) について、
γの第(2n)次分数 q_{2n}/p_{2n} n(k)/p_{2n}≧q_{2n}/p_{2n}≧2/p_{2n} と同様な議論を繰り返せば、
γ＞q_{2L}/p_{2L}−1/(p_{2L})^2＞1/(p_{2L})^2 であって、
γの (q_{2L}/p_{2L})-近傍 U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) を考えれば
q_{2L}/p_{2L}−1/(p_{2L})^2∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ)、
1/(p_{2L})^2∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) であるから、
U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ)⊃U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) から
p_{2L}＞p_{2n}、q_{2L}＞q_{2n}、q_{2L}/p_{2L}＞q_{2n}/p_{2n} なることに注意すれば、
γ＞q_{2L}/p_{2L}＞q_{2n}/p_{2n}＞1/(p_{2n})^2＞1/(p_{2L})^2 である。
よって、任意の L≧N(2n) なる整数Lに対して、
γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) は
γ＞q_{2L}/p_{2L}−(q_{2n}−1)/(p_{2L})^2＞1/(p_{2L})^2
を満たすことに注意すれば、γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 を得る
しかし、0＜γ−q_{2L}/p_{2L}＜1/(p_{2L)^2 であるから、
γ＜q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L)^2 である
γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 と γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 とが
両立することは相反し矛盾する。この矛盾は、γを有理数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すればγは有理数である