>>793-800
ID:07lcDnL2さん （ニコ） (^^)君ありがとう スレ主です

(再録>>779)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/inexam/M2023.pdf
千葉大院 R40804 240分
問A3
(3) Rの開区間(-∞,s) (s∈R)をUsとおき,U={0,R}∪{Us|s∈R}とすると(R,U)は位相空間となる。
f(x)=⌊x⌋=x以下の最大の整数
g(x)=⌈x⌉=x以上の最小の整数
とおくとき, f,gは位相空間(R,U)からそれ自身への写像として連続か。理由をつけて答えよ

<ヘタレで AIさん下記>
(google検索)
実数Rの開区間(-∞,s) (s∈R)をUsとおき,U={∅,R}∪{Us|s∈R}とすると(R,U)は位相空間となる。
床関数 f(x)=⌊x⌋=x以下の最大の整数
天井関数 g(x)=⌈x⌉=x以上の最小の整数
とおくとき, 関数fとgは位相空間(R,U)からそれ自身への写像として連続か。理由をつけて答えよ
AI による概要
位相空間(R,U) において、床関数 f は連続であり、天井関数 g は連続ではありません
以下にその理由を段階を追って説明します
1. 連続性の定義を確認する
写像 h:(R,U)→(R,U) が連続であるためには、任意の開集合 V∈U に対して
その逆像 h^-1(V) が U の元（開集合）である必要があります
今回の位相 U の開集合は Φ,R および Us＝ (-∞,s) (s∈R) です
したがって、任意の s に対して h^-1(Us)∈U が成り立つかを調べれば十分です
2. 床関数 f(x)=⌊x⌋ の連続性を判定する
任意の s∈R に対し、逆像 f^-1(Us)={x∈R |⌊x⌋<s } を考えます
・⌊x⌋<s という条件は、⌊x⌋ が整数であることを考慮すると、「⌊x⌋ が s 未満の最大の整数以下である」ことと同値です
・nを n<s を満たす最大の整数とすると、⌊x⌋<s ←→ ⌊x⌋ <= n です
・床関数の定義より、⌊x⌋<= n ←→ x <= n+1 が成り立ちます
・したがって、f^-1(Us)=(-∞,n+1)=Un+1 となります
Un+1は Uの定義に含まれる開集合であるため、f は連続です
3. 天井関数 g(x)=⌈x⌉ の連続性を判定する
特定の sについて逆像 g^-1(Us)={x∈R |⌈x⌉<s } を考えます
例として s=1 の場合を計算します
・g^-1(U1)={x∈R |⌈x⌉ < 1 } です
・⌈x⌉ は整数なので、⌈x⌉ < 1 ←→ ⌈x⌉ <= 0 となります
・天井関数の定義より、⌈x⌉ <= 0 ←→ ⌈x⌉ <= 0 です
・よって、g^-1(U1)=(-∞,0] となります
集合 (-∞,0] は、形式 (-∞,s) で表される開集合（端点を含まない）ではなく
Φ でも R でもありません。したがって、(-∞,0] not∈U です
開集合の逆像が開集合にならない例が存在するため、g は連続ではありません

Answer
床関数 f(x)=⌊x⌋ は連続であり、天井関数 g(x)=⌈x⌉ は連続ではありません
理由は、任意の開集合 (-∞,s) に対して
床関数の逆像 f^-1(Us) は常に開区間 (-∞,n+1) の形になり U に属しますが
天井関数の逆像 g^-1(Us) は右側に閉じた区間 (-∞,0] の形になる場合があり、これは U に属さないためです
以上
つづく