>>900
言いたいことは、それだけ？ じゃ 逝って良し

位相空間論 院試に戻るよ
　>>843より
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大 過去問
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2023_R5_kyotsu.pdf
2023(令和5)年度 数学共通問題
問２
Rの部分集合族O1を
O1={(a,∞)}a∈R} ∪ {R,Φ} （Φは空集合）
と定める。O1がR上の位相(開集合系）となることば認めてよい．以下の問いに答えよ．
(1)位相空間(R,O1)はハウスドルフか.連結か,それぞれ答えよ 根拠も述べること
(2)O2をR上の通常のユークリッド距離位相とし、Oを(R,O1)と(R,O2)の直積位
　相とする．ただし､R^2=R×Rの第1成分のRの位相が01,第2成分のRの位
　幅がO2として直積位相を考える. A={(x,y)∈R^2 | x-y > 1},
　B={(x,y)∈R^2 | x^2+y^2 <=1 } とおく
　Aは (R^2,O)の開集合であるか、
　また,Bは(R^2,O）の閉集合であるか，それぞれ答えよ、根拠も述べること．
(3)Bは(R^2,O)のコンパクト集合であるか答えよ、根拠も述べること

これは、>>845-846 で ID:MgDJuFurさんが解いた のだが
”ハウスドルフでなくて連結
(a,∞)×(c,d)が開基だから
開集合で閉では無くコンパクト”

ようやく(1)が分った
(R,O1)はハウスドルフである
つまり、Rの異なる2点 x,y ∈R x≠y を取る
一般性を失わず x<y とする
あるb (<x) が存在して x∈Ob ={(b,∞)}b∈R} とできる
このとき 常に y∈Ob ={(b,∞)}b∈R} である
これは、b <x であれば 常に成り立つ
ゆえに 異なる2点 x,yは 位相O1では分離できず ハウスドルフではない

次に、(R,O1)は連結である
(R,O1)が連結でないとして 矛盾を導く
位相空間(R,O1)を VとWの二つに分けることができる
即ち R=V∪Wであり V,Wは空でないとできる
もし、VとW連結でないとすると 開集合がとれて
V⊂Ov, W⊂Ow, | Ov,Ow⊂O1 とできて
Ov∩Ow＝φとできる
ところが このとき異なる2点 v∈Ov , w∈Ow が 存在して
前記より この2点は分離することができない（ハウスドルフではない）
即ち Ov∩Ow＝φとできない
これは矛盾。よって、(R,O1)は連結

(参考)
https://manabitimes.jp/math/4023
高校数学の美しい物語 2025/12/26
位相空間論の基礎〜連結空間・弧状連結空間の意味
目次
例〜実数の連結・弧状連結性
連結空間の性質
弧状連結空間の性質
弧状連結であれば連結
連結であるが弧状連結ではない例
連結性を用いた非同相の証明

連結性
連結であることの証明は少々長いです。
基本的に連結であることを示す方法は2ステップに分かれます。
1.連結ではないと仮定して，条件を満たす開集合 X1,X2 を取る。
2.頑張って矛盾を導く。

https://mathlog.info/articles/3143
位相空間の連結性と連結集合 2022年4月17日 投稿者 電気魚
位相空間の連結性と連結集合
位相空間の連結性
連結集合
連結集合の特徴づけ
問題の解答
問題1
問題2
参考文献
[1]
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 1986