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(引用開始)
(2)O2をR上の通常のユークリッド距離位相とし、Oを(R,O1)と(R,O2)の直積位
　相とする．ただし､R^2=R×Rの第1成分のRの位相が01,第2成分のRの位
　幅がO2として直積位相を考える. A={(x,y)∈R^2 | x-y > 1},
　B={(x,y)∈R^2 | x^2+y^2 <=1 } とおく
　Aは (R^2,O)の開集合であるか、
　また,Bは(R^2,O）の閉集合であるか，それぞれ答えよ、根拠も述べること．
(引用終り)

直感的には、
Aは (R^2,O）の開集合か Yes
Bは (R^2,O）の閉集合か No
直積位相とは、直積の一番普通の位相ですね

さて、どうやって示すか
Bは x側の位相がまずいのだが。例によって 補集合が開でないとするのか
Aは なにか常用の手筋がありそうですね・・ 射影？
まあ もう少し考えよう