>>67 自己レス
>注：* いま ハウスドルフZにおいて 有限n個の点で 互いに 開近傍分離可能を認める **)
>**)これは 数学的帰納法を使えば良いだろう。証明は思いつくであろう by ガロア
>証明をスマート書く時間があればいいが なければ 略証をチョコと書いて逃げるのも 現場答案のテクニックだろうね。部分点狙い （＾＾

＜ちょっと思いついたので書く＞
命題：ハウスドルフ空間において 有限2以上のn個の点は 互いに 開近傍で分離可能
証明
数学的帰納法による
n=2の場合、ハウスドルフの分離公理より自明
n>2 で n個の点は 互いに 開近傍で分離可能と仮定する
これを p1,p2,・・pnとする
p1,p2,・・pnを分離する開近傍を
u1,u2,・・unとする

n個のどれとも異なる点pn+1と取る
まず p2,・・pn,pn+1のn個の点は 仮定より 開近傍で分離可能なので
その開近傍を u'2,・・u'n,un+1 と書く
さらに p1とpn+1を分離する開近傍が存在するので u'1,u'n+1が取れる

いま pn+1の近傍の積集合 un+1∩u'n+1を考えると
これにより p2,・・pnたちとは 開近傍 u'2,・・u'nで分離されている
また p1とも 近傍u'1で分離されている
そこで 各点の二つの開近傍の積集合をとる
u1∩u'1,u2∩u'2,・・un∩u'n,un+1∩u'n+1 として
これらの開近傍により n+1個の点は 互いに
上記の開近傍により分離されている■
注）この ”二つの開近傍の積集合をとる”が、手筋です （＾＾
（どこにでも書いてそうな平凡な証明ですが 平凡も大事ですよね）

ここから n個を 任意 n'個とn''個 (n'+n''=n)の二つの組に分けて
n'個の点の組の開近傍の和集合と
n''個の点の組の開近傍の和集合とが
分離されていると言えるはずですが・・（＾＾