大学数学の出題スレ

問題を出してみろ！

おおー神降臨w

302 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2026/03/12(木) 21:53:01.34 ID:BD+hbzCU
俺も出題しよっと
x^n+y^n=1 (0≦x,y)
n=1 直線
n=2 円
n=2/3 （いわゆる）アステロイド
では
n=1/2は？

ラメ曲線の一種とかってあったけど、さらに具体的に名前があるのかな？

>>4
有るアル

ラーメンアルヨ

>>5
出題者じゃないなら、答えたら良いじゃんw

>>7
「俺だよオレオレ」

見つからね（汗）
誰かお願い、詐欺に遭いそうだからw

放物線らしいけど、スレチでもあるらしいよw

>>5
出題者でしたね、スマン。

>>10
らしいじゃ無くて放物線
1次変換は大学課程になりましたのでスレチじゃ無いと思うけどね
こう書くと証明はわかるでしょ

ではついでに
n=2/3のときの接線がx,y軸で切り取られる線分は常に長さが1
では
n=1/2のときの接線がx,y軸で切り取られる線分の特徴付けは？
まあこれも高校数学と言われるかもね

45度回転すると放物線になるってみたよ。

>>3
放物線

線形代数の練習問題だよ
「Iを単位行列、Aを交代行列とするとき
　和 I+A が正則であることを示せ」
君は一分以内にできるかな？

俺は億千万年かけても解けない

>>16
実の場合だけどこうかな？
(I+A^T)(I+A)=I+A^TA
(A^TA)^T=A^TA
P^T(A^TA)P=(AP)^T(AP)=D(k1,…,kn)
ki≧0
P^T(I+A^TA)P=I+D(k1,…,kn)=D(1+k1,…,1+kn):invertible
I+A:invertible

R限定後出しドヤもいいけど、標数2の場合は？

複素行列だと
((1,i),(-i,1))は正則じゃ無いから成立しないね
その場合交代行列じゃ無くて歪エルミートならいいか

>>19
>標数2の場合は？
対称行列と交代行列の区別無くなるし
どういうことが成立するのかよく知らないなあ
直交行列とかで対角化可能は言えるの？

で、一分でできる解答ってどんなの？

一分でできて当然な解答まだ？

交代行列は対角化可能で、固有値の実部が0であるからI+Aは正則となる。

自信ないけど、これ合ってる？

>>24
いや、これは実交代行列だけか…。

>>24
いや、対角化不能でもジョルダン標準形でいけるか…？
一人で考えていても怪しいから、興味があれば考えてみてよ。

>>24
やっぱり実交代行列でないと、固有値について何も言えないかもしれない。

>>16
これはそもそも、実交代行列を前提として出題していませんか？
複素交代行列でもいける話なのでしょうか。

>>20
ちなみに複素対称行列では、オートン高木分解ってのがあるみたいですね。
出題も解答もしないで悪いけど。

>>29
じゃ代わりに
任意の正方行列は対称行列と相似になるって証明分かる？

>>30
目の覚めるような話をありがとうございます。
Horn,R.A. and Johnson,C.R.: Matrix Analysis, Cam-bridge Univ. Press, 1985.
↑とりあえず、これの第4章に何か書いてあるらしいです。

>>30
wikiをご覧になったのでしょうが、>>31のp209 theorem4.4.9.に証明が載っているということでしょう。
私がお伝えできることは、ここまでです。

複素係数なら {{0,i},{-i,0}} の固有値が ±1 でだめやろ

既出だったorz

大体、交代行列が問題として出るときは、実数限定が多いんじゃないですか。
複素交代行列になると、固有値が果たしてどこまで絞られるのか…。

>>34
怪しい事項は撤回しましたw

>>16
実交代行列で証明に飛躍があっても良いのなら、>>24を脊髄反射で書ければ1分を切りそうですねw
（24が合ってる保証はありませんが。）

>>37
バカが引っかかったｗｗｗｗｗ死ねバカｗｗｗｗｗ
という趣旨の問題では？

>>38
あな恐ろしや(⁠^⁠^⁠;)
話は違うかもしれませんが、直感に反するような問題を解くときの気持ちがしますね。

>>32
じゃあヒント
J=((0,…,0,1),…,(1,0,…,0))とすると
JAはAの行の上下入れ替え
AJはAの列の前後入れ替え
J^2=E
(J-iE)(J+iE)=2E
Aがジョルダン細胞のときを考えて

>>30
こんなの成立せんのじゃないの?
任意の対称行列は対角行列と相似なんだから、こんなの正しかったら任意の正方行列は対角行列と相似になる。

>>41
実じゃ無いよ

{{0,1},{0,0}} はどんな対称行列と相似なん？

>>43
(1/2)((-i,1),(1,i))かな？

>>40
>(J-iE)(J+iE)=2E
(E+iJ)(E-iJ)=2E
使う方がキレイかな？

EでなくてIにしたら
(I+Ji)(I-Ji)=2I
でなんかイイ感じも

なるほど。複素係数だとシュミットの直行化できないからありうるんだな。

私はIよりE派かな。
なんて、そこは大して問題じゃないw

{{0,1,0},{0,0,1},{0,0,0}} でもできる？
固有値 0 のみで既約だけど？

>>49
(1/2)((0,1-i,0),(1-i,0,1+i),(0,1+i,0))

なるほど PPᵗ = {{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}} の解で Jordan cell の相似をとればいいのか

https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricMatrixQ.html.ja?view=all
これの「すべて開く」ってところを押すと、具体例が出てくる。
これで私は勘弁してね。

最初からすべて開いてるかも。

後退恒等行列なんて用語があるのね。

あんまりいい用語じゃ無いね
順序逆にするんだから
それにちなんだ名前がいいと思う

まあとにかく、複素対称行列は実と虚の2方向から攻められるので、ジョルダン細胞と相似にできるといったところなのかな。

ジョルダンブロックごとにその変換をすれば、どんなジョルダン標準形にも対応できるといったところか。
用語が正確に使えているか分からないが、こんなところかな。

>>51
ああ確かにそう
それ素晴らしいけれど
そのPの存在はどう示すんだろ？
そろそろ自分の解答も書いて良いかな

多分それを望まれているのではないか。

N=(nij), nij=1 for j=i+1, 0 otherwise
JNJ=N^T
JN=N^TJ
NJ=JN^T
(JN-NJ)^T=N^TJ-JN^T=JN-NJ
(I+iJ)N(I-iJ)=N+N^T+i(JN-NJ)=S:symmetric
P^-1AP=D(N1,…,Nm):Jordan
D(I1+iJ1,…,Im+iJm)D(N1,…,Nm)D(I1-iJ1,…,Im-iJm)=D(S1,…,Sm):symmetric

>>60
>P^-1AP=D(N1,…,Nm):Jordan
P^-1AP=D(λ1I1+N1,…,λmIm+Nm):Jordan

※1/2掛けること

AIに訊いてみた（笑）

x ≠ 0 に対して (I + A)x = 0 と仮定すると、x + Ax = 0
→ Ax = −x両辺の内積を取る（xᵀ で左から掛ける）：xᵀAx = −xᵀx
でも A が交代行列なので xᵀAx = 0（交代行列の二次形式は常に 0）→ 0 = −‖x‖²
→ ‖x‖² = 0
→ x = 0つまり核（カーネル）は {0} だけ → I + A は単射 → 正方行列なので正則。

なるほどこれなら一分だな

>>24
1秒はコレジャナイの？

>>63
これいい解答だね
本質が知れる感じ

右上から左下まで 1、その他 0 の行列は次元が偶数なら {{0,1},{1,0}} の直和、奇数ならそれにもう一つ {{1}} 直和した行列なので当たり前。

>>67
なるほど

>>29
>オートン高木分解
Wikipediaにある証明が大変分かりやすいね

できたかなと思うけど分かる？
Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 88
663 1 名前:１３２人目の素数さん 投稿日:2026/03/21(土) 06:33:44.68 ID:2JXYtwtw
>>> 653
>ω1からRへの順序を維持した写像を考えると
>ある可算順序数が存在して
>そこから先が皆同じ点に写る
>
>証明は知らんので、誰か教えてw

ω1 は何？

あと順序を維持した写像は
x≦y ⇒ f(x)≦f(y)
x<y ⇒ f(x)<f(y)
のどっち？

>>71
最小の非可算順序数
>>72
上の方

ω1 の部分集合 W を { x | f(y) < f(x) ( ∀y < x ) } と定める。f の W への制限を g とする。まず im f = im g をしめす。そうでないとして f(x) ∉ im g をみたす最小の x をとる。明らかに x∉W だから y<x で f(y) = f(x) をみたすものがとれる。ここで x の最小性から z∈W を f(y) = g(w) ととれる。よって f(x)∈ im g となって矛盾する。
W が ω1 に上界をもたないとすると W は非可算順序数である。よって g:W → ℝ は非可算順序数から ℝ への順序を保つ単射をあたえる。 しかしこのとき x∈W に対して開区間 (g(x),g(x+1)) に属する有理数 q(x) を選択させるとき W から ℚ への単射が構成されて矛盾する。よって W は ω1 に上界 x を持ち任意の x≦y に対して f(x) = f(y) となる。

>>74
>明らかに x∉W だから y<x で f(y) = f(x) をみたすものがとれる。ここで x の最小性から z∈W を f(y) = g(w) ととれる。よって f(x)∈ im g となって矛盾する。
ここさ
f(y)=f(x)となるy<xがあるんだからf(y)=f(x)∈(Img)^cとなってxの最小性に反する
でいいんじゃない？
それとgがstrict monotoneだと言っておくべきでは（自明かも？）
>W が ω1 に上界をもたないとすると W は非可算順序数である
Wはω1の部分集合だけど順序数かな？ω1の中で値が上がる所だけ取り出すのでとびとびになるんじゃない？
でも非可算集合にはなるからg:W→Rは順序を保つ単射なのであとはオミゴト

>>75
>でも非可算集合にはなるからg:W→Rは順序を保つ単射なのであとはオミゴト
ではなかった
Wが順序数でないとx∈Wについてx+1∈Wが言えないのでは？
けど
∀x∈W∃y∈W x<y
は言えるからそのようなyの最小をx+とでも書いて
g(x)<q(x)<g(x+)
みたいに選べば良さそう
あるいはWが非可算順序数ω1と順序同型になることを証明するかでしょうか

自分の考えた解答は以下の通り