大学数学の出題スレ

問題を出してみろ！

>>109
>>107

証明出来ましたか？
皆さんが納得されたら、解答を発表しますからね。

>>93
この問題の解答は、YouTubeで「SL2Zの生成元」と検索して頂ければ分かると思います。
まともに添削出来ずにスミマセンでした。
何か動画について疑問点があれば、私が可能な範囲で対応致します。

z^5+z^4−4z^3−3z^2+3z+1=0 を解いて下さい。

思いつかないのでチートしたら
ベキ乗根と四則演算では解けないみたいね
つまりそのことを証明しろという問題？

いや、イケるはずですよ。
ヒントを少しずつ言うと、この方程式は5次の中でもかなり特殊なものなんだと思います。
（私も後で質問したいことがあるくらいなので、満足なヒントは出せないかもしれませんが…。）

別のチートをしたらw^11-1=0の1以外の解によってz=w+1/wの満たす5次方程式がz^5+z^4−4z^3−3z^2+3z+1=0だと出てきた
w^10+…+w+1=0
w^5+…+1+…1/w^5=0
w^5+1/w^5=z^5-5z^3+5z
w^4+1/w^4=z^4-4z^2+2
w^3+1/w^3=z^3-3z
w^2+1/w^2=z^2-2
w+1/w=z
1=1
------------------------------------sum
w^5+…+1+…1/w^5=z^5+z^4-4z^3-3z^2+3z+1=0
思いつかないなあ

高校数学で係数の対象な4次方程式を解くときにこの方法よく使うけれど
それは変形が真逆で
z^2+z-1=0
を解くときそれを
w^4+w^3+w^2+2+1=0
の解と結びつけようとは思わないよなあ
聞きたいことってこれを一般化したときの係数とか？

仕事がお速いですねぇw
私は5次方程式のガロア群が5次の巡回群になるものを探したら、これに行き着きました。

係数からガロア群を判定する方法があるのなら、そこから（ζ_11）^i+(ζ_11)^(-i)の形が解になることが推測できるのかと思います。
（デイビッド・コックス著のガロワ理論くらいには、書いていないのかなと思っている次第です。）

>>117
聞きたいことは係数の計算による、5次方程式のガロア群の判定法の存在ですね。
（探している最中なので、その内見つかるかもしれません。）

>>119
mod pに落とし込んで様子を調べるくらいしかないのでは

とりあえず、調べたことを書きます。
ブリング-ジェラード標準形x^5+ax+b=0にして、判別式を計算する。
判別式が有理数の平方になる場合はA5・C5・D5となり、可解群ならば判別式は正になるらしいです。
あとリゾルベントという6次式を構成し、その方程式が有理数解をもてば、可解群になるみたいです。
難しい話なので結果だけが書いてあったりして正誤を確認出来なかったり、定義などを省略させてもらいましたが、こんなところです。

まあまた今度、厚めのガロア理論の本できちんと確かめに行こうと思います。

>>119
>聞きたいことは係数の計算による、5次方程式のガロア群の判定法の存在ですね。
>（探している最中なので、その内見つかるかもしれません。）

日本語情報なら 下記の 出典7、8、9な
なお、英文 en.wikipedia も覗いてみて
（だいたいは英文の方が情報が豊富という。いま、時間がないので見てないがよろ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
五次方程式

出典
7 元吉文男「5次方程式の可解性の高速判定法（数式処理における理論と応用の研究）」『数理解析研究所講究録』第848巻、京都大学数理解析研究所、1993年、1–5頁、CRID 1050282677087499264、hdl:2433/83668。
https://hdl.handle.net/2433/83668

8 大迎規宏「可解な5次方程式について」『学位論文』、兵庫教育大学学術情報リポジトリ、2003年。
https://hyogo-u.repo.nii.ac.jp/records/5251

9 方程式のガロア群（その具体的な計算法）松田修2023 年10月5日 ( https://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/ 松田修 ガロア理論入門ノート より)
https://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galois_equations.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function
Quintic function

>>123
下から2番目の資料は結構詳しいと思います。
わざわざありがとうございました。

>>124
>下から2番目の資料は結構詳しいと思います。

どうもです
大迎規宏さんね
たしか、その文中で Dummitさんの論文を引用していたが
下記の英文サイトのpdfが試gえる気がする＝i未確認だが）
（余談 大迎さん 兵庫県の教育委員会の次長さんだったかの挨拶文のページがヒットした。さすが 兵庫教育大か）

また いま 下記en.wikipedia見ると
”ブルース・バートレット：「五次曲線、正二十面体、および楕円曲線」、AMS Notices（2024年4月）”
面白い。やっぱ新しい文献は見とかないと

あと 元吉文男さんは、文中で エムポストニコフのガロア理論（ロシア本の和訳）
の数式を引用しているが、いまならコックスのガロア理論が上位互換で そっちで間に合うでしょう

松田修先生は、高専の先生で 記述が高専生にも配慮した書き方に思えて
好感がもてました

何かのお役に立てれば幸いです
では

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function
(google訳)
注記
7. David S. Dummit可解な五次方程式の解法2012年3月7日に Wayback Machineにアーカイブされました
（アーカイブ）
https://web.archive.org/web/20120307030156/http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf

外部リンク
ブルース・バートレット：「五次曲線、正二十面体、および楕円曲線」、AMS Notices（2024年4月）
https://www.ams.org/journals/notices/202404/noti2923/noti2923.html

COX著のガロワ理論は確か上下巻あったと思うので、たぶん何かしら載っていると思われます。
前に見たときは、下巻が計算式だらけだったような記憶がありますから。（うろ覚えですが…。）

fは実数を実数に写す関数とする。
実数x_0における、fの左上極限が右上極限よりも大きくなるx_0全体の集合は、高々可算であることを示せ。

>>127
確か非可算個の開区間の直和を考えると可算個以外は空じゃなかったっけ？証明忘れたけど簡単だったはず

思い出した
非可算個が空でなければ
それぞれの中に有理数があるから
有理数が可算であることに反する
だった

>>128
その問題は結構ムズいと思うよ。
誰も解かないと思ったから、答えがどこかにいったw
知りたければ探すけど、見つからないかも…。

>>130
>>129

答えが見つかったわ。

Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例を挙げよ。

n∈N,a∈{±1}
(n,a)(m,b)=(n+am,ab)
(n,a)(0,1)=(n,a)
(0,1)(n,a)=(n,a)
((n,a)(m,b))(k,c)=(n+am,ab)(k,c)=(n+am+abk,abc)
(n,a)((m,b)(k,c))=(n,a)(m+bk,bc)=(n+am+abk,abc)
(n,a)(-n/a,1/a)=(n-an/a,a/a)=(0,1)
(-n/a,1/a)(n,a)=(-n/a+n/a,a/a)=(0,1)
(n,1)(0,a)=(n,a)
(0,1/a)(n,1)(0,a)=(0,1/a)(n,a)=(n/a,aa)=(n/a,1)
うーんダメか
じゃ
n∈N+iN,a∈{±1,±i}
(n,1)(0,a)=(n,a)
(0,1/a)(n,1)(0,a)=(0,1/a)(n,a)=(n/a,aa)=(n/a,1)
うーんやっぱダメか
この路線じゃいかんか

>>133の私が知っている解答例の位数は結構大きい。
位数のヒントを出しても良いくらいですね。

あと>>127は、
Set of points where limsup x+ < limsup x- do not agree is countable
と検索すれば分かると思います。
おそらく、合っていると思います。
問題自体は正しいはずです。

4項間漸化式の問題
a_(n+3) = a_(n+2) + a_(n+1) + a_n
初期値は
たとえば、a_0=0, a_1=1, a_2=1
で解いてね
5項間、6項間、... , n項間の一般解も
検索しないで自力で頭の体操

ツマンネす

>g(x)はf(x)の逆関数とする。
>微分方程式f'(x)=g(x)を解け。
a=(-1+√5)/2
f(x)=(a^a)x^(1/a)

ルールを律儀に守る住民

>>139
無料版geminiにやらせたら、g(x)=x^nと仮定して解なしとかいいよったわｗ
g(x)=kx^n とおいて解けよ、といったら、出来ました！だとさｗ

他に無いかねまたx≦0でもないかね

>>139
これは
f'(x)=g(x)=y⇔x=f(y)
から
f'f(y)=y
を
f(y)=kx^n
と仮定して出したもの
もっと一般化するにはどうすれば良いか

f(y)=ky^n
と仮定

>>142
>他に無いかねまたx≦0でもないかね
x≦0では
f(x)=-f(-x)
つまり奇関数拡張すれば
f'(f(x))=-f'(-f(x))=-f'(f(-x))=-(-x)=x
でOK
他に有るかどうかはどうするかな

>>145
>でOK
なわけないか

f(x)=-f(-x)
f'(x)=f'(-x)
f'f(x)=f'(-f(-x))=f'(f(-x))=-x
NG

>1人目〜3人目に来た人は採点しただけで断る。
>4人目、5人目に来た人は過去最高点だったら結婚する。
>6人目、7人目は過去2位以内に入るなら結婚する。
>8人目は3位以内に入るなら結婚する。
>9人目は5位以内に入るなら結婚する。
>10人目はその人しかいないから諦めてその人と結婚する。
>
>問：この最適停止問題に基づく戦略を取った場合、
>a.10人中一番良い相手と結婚できる確率
>b.10人中3位以内の相手と結婚できる確率
>c.10人中5位以内の相手と結婚できる確率
>をそれぞれ求めてください
p=(a1,…,a10)∈S10=A10
f(p,m,n)=nth of a1,…,am
f(p,m,1)<…<f(p,m,m)
{f(p,m,1),…,f(p,m,m)}={a1,…,am}
f(p,m,0)=0, f(p,m,n)=∞ for m<n
f(p,m.n)=am if f(p,m-1,n-1)<am<f(p,m-1,n),
f(p,m.n)=f(p,m-1,n) if f(p,m-1,n)<am,
f(p,m.n)=f(p,m-1,n-1) if am<f(p,m-1,n-1)
A4={p|f(p,3,1)>a4}
A5={p|f(p,4,1)>a5}
A6={p|f(p,5,2)>a6}
A7={p|f(p,6,2)>a7}
A8={p|f(p,7,3)>a8}
A9={p|f(p,8,5)>a9}
B4=A4
B5=A5-A4
B6=A6-A5-A4
B7=A7-A6-A5-A4
B8=A8-A7-A6-A5-A4
B9=A9-A8-A7-A6-A5-A4
B10=A10-A9-A8-A7-A6-A5-A4
Ca=(B4∩{p|a4=1})∪…∪(B10∩{p|a10=1}
Cb=(B4∩{p|a4≦3})∪…∪(B10∩{p|a10≦3}
Cc=(B4∩{p|a4≦5})∪…∪(B10∩{p|a10≦5}
Pa=|Ca|/10!
Pb=|Cb|/10!
Pc=|Cc|/10!

>>133
>Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例を挙げよ。

某スレから来ました
質問していい？

上記 積 G=AB は、半直積以上を考えていますか？
つまり、半直積の場合 下記のように ABのどちらかは正規部分群
（余談：直積なら両方とも正規部分群になり不適）

また ”A,Bが共にGの正規部分群とならない”は、二通りに解釈できて
・「A,Bが共にGの正規部分群」とならない と解すれば、半直積の場合が適合する
・「A,Bが共にGの正規部分群とならない」＝A,B両方が非正規部分群 と解すれば、半直積の場合は不適

最低 質問「積 G=AB は、半直積以上を考えていますか？」に答えて貰えば良い
（深入りするつもりはないので）

注：半直積以上を考えるときは
半直積以上のどんな積G=ABを想定するのか？ が問題になる
スタンダードには、半直積以上の文献例が少ないので 疑問に思った次第です

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D
半直積
群の半直積（はんちょくせき、英: semidirect product）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。 群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む
内部半直積
ふたつの群 N, H に対して N の H による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G のことで、 G = N ⋊ H と表す[1]
N は群 G の正規部分群かつ H は群 G の部分群であって、G = NH を満たす
N と H は自明な共通部分をもつ：N ∩ H = 1
ホモロジー代数的定義
略
つまり半直積 G とは群 N の群 H による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。

>>149
とりあえずお答えできるのは、A,B両方が非正規部分群ということですね。

>>150
>とりあえずお答えできるのは、A,B両方が非正規部分群ということですね。

ありがと
それだけで十分です
面白い問題考えたね（＾＾

>>149
半直積なら二面体群で仕舞いだから
そんな単純な話では無いのは明白
ここはm:G×G→GのGの積写像で
m(A×B)=Gとなるという意味でしょ

A : R^n → R^mを線形写像とする。
VをR^nの開集合とする。
A(V)はA(R^n)の開集合であることを証明せよ。

位相は普通の位相なんだろうから
Vの各点のまわりにn次元の開球が取れて
Im(A)は開球の基底で生成できるから
R^m=R^k¥oplusIm(A)
とでも置けば各点の像のまわりは
R^k¥oplusA(V)もm次元の部分集合を形成して
A(V)の各点のまわりはIm(A)の次元と同じ部分集合なので
Im(A)の開集合
ってな感じで

{f_n}はfに各点収束する、一様連続な関数列とする。
x_n→x(n→∞)のとき、f_n(x_n)→f(x)(n→∞)は成立するか。

>>155は[0,1]に限定しておきます。

一様連続なら行けるんじゃないの

行けるのなら証明を、そうでなければ反例を求む。

fn:uniform
∀ε>0,∃δ>0,∀x,y∈R: |x-y|<δ→|fn(x)-fn(y)|<ε
fn→f:point wise
∀x∈R,∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(x)-f(x)|<ε
xn→x
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |xm-x|<ε
fn(xn)→f(x)
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-f(x)|<ε

とりあえずヒントを…。
実は成り立たないみたいなので、反例を下さい。

∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-fm(x)|<ε
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(x)-f(x)|<ε
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-f(x)|<2ε

反例をくだちぃw

>>161
>∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-fm(x)|<ε
ここんところか
うーんどうするかな

しかし、証明をされたら何故違うのかも言わないといけないかな。
何故成り立たないのかは、別で考えておきます。（各点でなく、一様収束なら成り立つみたいです。）

fn→f:uniform
なら行けるんだろうな

>>164
一様ならxに丸で依らないから行けるのはホボホボ自明

各点収束では、一様収束する連続関数列の極限関数が連続の証明の方法は使えないのでしょう。

そりゃ無理だわね

これが反例づくりのヒントになったりね。

fn(x)=cos^2n(x):uniform
fn→f(x)=1(x=nπ),0(otherwise)
xn=1/n→0
で

ヒント出し過ぎ
しおもな

f(0)=1だと思いますが、lim[n→∞]f_n(x_n)の値は1ではないとしたらどうなりますか？

>>170

ちなみに一様連続の条件は、[0,1]で考えたらただの連続関数だと思えば良いと思います。
（元ネタを忠実に再現しているだけです。）

元ネタが微妙だったので、色々ヒントを出してバランスを取ったということで許して下さいね。（頑張ればRで一様連続な関数列でも反例は作れるのかもしれないですが…。）

なんか作問がイマイチなので、早々と正解は出しますね。
11時くらいには書きますね。

>>170
これじゃダメか
xnは
os^2n(x)=1/n
の解xn=arccos((1/n)^(1/2n))でどうかな
limcos^2n(xn)=lim1/n=0
limxn=limarccos((1/n)^(1/2n))=arccos1=0

>>177
とりあえず、f_n(x_n)→f(x)(n→∞)にならなかったら何でも正解です。
あと、連続関数列なら自由です。
私の添削に限界があり、用事を済ませたら解答例を書くので、それで出題の意図を汲み取って頂けると有難い。

>>178
下らん

それなら解答を闇に葬るのみw

一様連続とか言い出したから、ややこしくなってしまった。
そろそろ必修数学の作問も限界に達してきたから、専門数学の作問をするわ。

とりあえず後で解答を書くから、それでこの話は終了。

>>155
これの解答は、f_n(x)=x^n
x_n=1−1/n とすると、
f(x)=0(0≤x<1),1(x=1) となり、
x_n→1(n→∞) であるから、
lim[n→∞]f_n(x_n)=1/e ≠ f(1)=1
よって、不成立。

不出来な作問なので、こんなところで許してね。

>>156
この条件での解答

A:N→P(X)
∪∩A=∪{∩{An|m<n}|m∈N}⊂∩{∪{An|m<n}|m∈N}=∩∪A
を示し
∩∪A＼∪∩A≠φ
である例を挙げよ

>185
とりあえず思考過程ゼロでAIにかけたら、A_nのnが奇数のときに{0}、nが偶数のときに{1}とおけば例の条件を満たすって出たけど、いかが？

再度AIにかけたら早速違った答えを出してきたので、やっぱり無しでお願いします。

>>185
補遺
∩∪A=∪∩A
である同値な条件を挙げよ
（適当な答えを知らないので出題では無いから別に）

>>186
例としてOK

やりぃ

>>185
>∩∪A＼∪∩A≠φ
>である例を挙げよ
簡単すぎたので
単調減少
An⊃An+1
の場合
∩∪A=∪∩A
であることを示せでどうかな

z^5+z^4-12z^3-21z^2+z+5=0を解け。

>>192
これはちなみに、ガロア群はC5になるらしいです。
これでかなり解きやすくなるはずです。

>>192
やはりこれは、pcで計算しないと苦しいかもしれません。
まあ、こんなC5の方程式があるんだくらいに思ってください。

>>192
与えられた5次方程式
z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0
は有理数体上で既約であり、一般的な代数解の公式（冪根による解法）の形では簡潔に表現できません。しかし、この方程式は素数 p = 31 に関連するガウス周期（Gaussian periods）を根に持つ特殊な方程式（巡回拡大の極小多項式）であるため、三角関数を用いて厳密な解を書き下すことができます。

厳密解
方程式の5つの根は以下の通りです。

z_1 = 2cos((2π)/31) + 2cos((10π)/31) + 2cos((12π)/31)
z_2 = 2cos((4π)/31) + 2cos((20π)/31) + 2cos((24π)/31)
z_3 = 2cos((8π)/31) + 2cos((14π)/31) + 2cos((22π)/31)
z_4 = 2cos((16π)/31) + 2cos((18π)/31) + 2cos((28π)/31)
z_5 = 2cos((6π)/31) + 2cos((26π)/31) + 2cos((30π)/31)

解の導出背景（円分体とガウス周期）
この方程式の背景には、円分体 Q(ζ_(31)) （ただし ζ_(31) = e^(i*(2*π)/31)）の部分体が存在します。

乗法群の分割
素数31を法とする乗法群 Z_(31)^× は位数30です。これを位数6の部分群 H = {1, 5, 6, 25, 26, 30} ≡ {±1, ±5, ±6} (mod 31) と、その剰余類（5個）に分割します。

この部分群を基準に、1から15までの正の整数を3つずつの5つのグループに完全分割できます（各グループは直前のグループの要素を2倍し、31を超えたら剰余をとったものです）。

A_1 = {1, 5, 6}
A_2 = {2, 10, 12}
A_3 = {4, 7, 11}
A_4 = {8, 9, 14}
A_5 = {3, 13, 15}

ガウス周期の構成
各グループ A_k = {a, b, c} に対して、
z_k = ζ^a + ζ^(-a) + ζ^b + ζ^(-b) + ζ^c + ζ^(-c)
という周期を作ります。オイラーの公式 ζ^n + ζ^(-n) = 2cos((2n*π)/31) を適用すると、上記で示した三角関数の和の形になります。

極小多項式の特定
これら5つの z_k を根とする多項式 Π[k=1,5] (z - z_k) を展開すると、根と係数の関係から各係数が計算され、提示された方程式 z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0 と完全に一致します。

参考までに、これらの根を近似値で表すと以下のようになります（順不同）。
z ≈ 3.7116
z ≈ 0.4425
z ≈ -0.6389
z ≈ -1.5478
z ≈ -1.9675

>>195
おぉ、解けましたか。
計算量が多くてきついかと思いましたが、大丈夫でしたね(^^)

そんなad hocな解き方なの？

ガロア群がC5というヒントは出していました。

なんでみんなここに直接数式を書きこむの？

直接じゃなきゃどうするの？

latex

単位元をもつ4元からなる環の例を4つ挙げよ。

>>202
AIにバレてるからやっぱ無しかな。
まあ、解答したい人はご自由にw

問題　『博士が百人いる村』

ある日
ある村に無能な博士が百人あつまった
この村には掟がある
　村のオキテ【自分が無能とわかった博士はその日の夜に村を出ていかなければいけない】
博士たちは自分自身が無能かどうかは自分ではわからないが
他の博士が無能かどうかは完璧にわかる
広場に百人の博士が集まった
おのおのの博士は他の博士が無能かどうかを判定したが
誰も一言も発言しなかった
村長がいうことには「百人の中に少なくとも１人の無能の博士が存在する」
すべての博士がそれを聞いた
博士は無能かそうでないかのどちらかであるとする
博士たちは無能だが論理的思考はできる

さて博士たちはどうなったか？
何日目に何が起こったかを理由をつけて詳しく述べよ

箱入り博士

次の問題

559 １３２人目の素数さん 2026/07/08(水) 05:55:21.26 ID:XT0OsVw3
複素平面上の相異なる2点A(α)、B(β)を通る直線をl、lに原点から下ろした垂線の足をHとする。
H(β/α)となるとき、α、βは複素平面上のどの領域を動きうるか。

本人は
作問中に垂線を後から引いた
と言っており、思いつきだけで作った問題のもよう

コピペ乙

インディアンポーカー

無能だったら自分が無能と推論できる状況でもそれに気づけないのでは？