大学数学の出題スレ

問題を出してみろ！

あと>>127は、
Set of points where limsup x+ < limsup x- do not agree is countable
と検索すれば分かると思います。
おそらく、合っていると思います。
問題自体は正しいはずです。

4項間漸化式の問題
a_(n+3) = a_(n+2) + a_(n+1) + a_n
初期値は
たとえば、a_0=0, a_1=1, a_2=1
で解いてね
5項間、6項間、... , n項間の一般解も
検索しないで自力で頭の体操

ツマンネす

>g(x)はf(x)の逆関数とする。
>微分方程式f'(x)=g(x)を解け。
a=(-1+√5)/2
f(x)=(a^a)x^(1/a)

ルールを律儀に守る住民

>>139
無料版geminiにやらせたら、g(x)=x^nと仮定して解なしとかいいよったわｗ
g(x)=kx^n とおいて解けよ、といったら、出来ました！だとさｗ

他に無いかねまたx≦0でもないかね

>>139
これは
f'(x)=g(x)=y⇔x=f(y)
から
f'f(y)=y
を
f(y)=kx^n
と仮定して出したもの
もっと一般化するにはどうすれば良いか

f(y)=ky^n
と仮定

>>142
>他に無いかねまたx≦0でもないかね
x≦0では
f(x)=-f(-x)
つまり奇関数拡張すれば
f'(f(x))=-f'(-f(x))=-f'(f(-x))=-(-x)=x
でOK
他に有るかどうかはどうするかな

>>145
>でOK
なわけないか

f(x)=-f(-x)
f'(x)=f'(-x)
f'f(x)=f'(-f(-x))=f'(f(-x))=-x
NG

>1人目〜3人目に来た人は採点しただけで断る。
>4人目、5人目に来た人は過去最高点だったら結婚する。
>6人目、7人目は過去2位以内に入るなら結婚する。
>8人目は3位以内に入るなら結婚する。
>9人目は5位以内に入るなら結婚する。
>10人目はその人しかいないから諦めてその人と結婚する。
>
>問：この最適停止問題に基づく戦略を取った場合、
>a.10人中一番良い相手と結婚できる確率
>b.10人中3位以内の相手と結婚できる確率
>c.10人中5位以内の相手と結婚できる確率
>をそれぞれ求めてください
p=(a1,…,a10)∈S10=A10
f(p,m,n)=nth of a1,…,am
f(p,m,1)<…<f(p,m,m)
{f(p,m,1),…,f(p,m,m)}={a1,…,am}
f(p,m,0)=0, f(p,m,n)=∞ for m<n
f(p,m.n)=am if f(p,m-1,n-1)<am<f(p,m-1,n),
f(p,m.n)=f(p,m-1,n) if f(p,m-1,n)<am,
f(p,m.n)=f(p,m-1,n-1) if am<f(p,m-1,n-1)
A4={p|f(p,3,1)>a4}
A5={p|f(p,4,1)>a5}
A6={p|f(p,5,2)>a6}
A7={p|f(p,6,2)>a7}
A8={p|f(p,7,3)>a8}
A9={p|f(p,8,5)>a9}
B4=A4
B5=A5-A4
B6=A6-A5-A4
B7=A7-A6-A5-A4
B8=A8-A7-A6-A5-A4
B9=A9-A8-A7-A6-A5-A4
B10=A10-A9-A8-A7-A6-A5-A4
Ca=(B4∩{p|a4=1})∪…∪(B10∩{p|a10=1}
Cb=(B4∩{p|a4≦3})∪…∪(B10∩{p|a10≦3}
Cc=(B4∩{p|a4≦5})∪…∪(B10∩{p|a10≦5}
Pa=|Ca|/10!
Pb=|Cb|/10!
Pc=|Cc|/10!

>>133
>Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例を挙げよ。

某スレから来ました
質問していい？

上記 積 G=AB は、半直積以上を考えていますか？
つまり、半直積の場合 下記のように ABのどちらかは正規部分群
（余談：直積なら両方とも正規部分群になり不適）

また ”A,Bが共にGの正規部分群とならない”は、二通りに解釈できて
・「A,Bが共にGの正規部分群」とならない と解すれば、半直積の場合が適合する
・「A,Bが共にGの正規部分群とならない」＝A,B両方が非正規部分群 と解すれば、半直積の場合は不適

最低 質問「積 G=AB は、半直積以上を考えていますか？」に答えて貰えば良い
（深入りするつもりはないので）

注：半直積以上を考えるときは
半直積以上のどんな積G=ABを想定するのか？ が問題になる
スタンダードには、半直積以上の文献例が少ないので 疑問に思った次第です

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D
半直積
群の半直積（はんちょくせき、英: semidirect product）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。 群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む
内部半直積
ふたつの群 N, H に対して N の H による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G のことで、 G = N ⋊ H と表す[1]
N は群 G の正規部分群かつ H は群 G の部分群であって、G = NH を満たす
N と H は自明な共通部分をもつ：N ∩ H = 1
ホモロジー代数的定義
略
つまり半直積 G とは群 N の群 H による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。

>>149
とりあえずお答えできるのは、A,B両方が非正規部分群ということですね。

>>150
>とりあえずお答えできるのは、A,B両方が非正規部分群ということですね。

ありがと
それだけで十分です
面白い問題考えたね（＾＾

>>149
半直積なら二面体群で仕舞いだから
そんな単純な話では無いのは明白
ここはm:G×G→GのGの積写像で
m(A×B)=Gとなるという意味でしょ

A : R^n → R^mを線形写像とする。
VをR^nの開集合とする。
A(V)はA(R^n)の開集合であることを証明せよ。

位相は普通の位相なんだろうから
Vの各点のまわりにn次元の開球が取れて
Im(A)は開球の基底で生成できるから
R^m=R^k¥oplusIm(A)
とでも置けば各点の像のまわりは
R^k¥oplusA(V)もm次元の部分集合を形成して
A(V)の各点のまわりはIm(A)の次元と同じ部分集合なので
Im(A)の開集合
ってな感じで

{f_n}はfに各点収束する、一様連続な関数列とする。
x_n→x(n→∞)のとき、f_n(x_n)→f(x)(n→∞)は成立するか。

>>155は[0,1]に限定しておきます。

一様連続なら行けるんじゃないの

行けるのなら証明を、そうでなければ反例を求む。

fn:uniform
∀ε>0,∃δ>0,∀x,y∈R: |x-y|<δ→|fn(x)-fn(y)|<ε
fn→f:point wise
∀x∈R,∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(x)-f(x)|<ε
xn→x
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |xm-x|<ε
fn(xn)→f(x)
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-f(x)|<ε

とりあえずヒントを…。
実は成り立たないみたいなので、反例を下さい。

∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-fm(x)|<ε
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(x)-f(x)|<ε
∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-f(x)|<2ε

反例をくだちぃw

>>161
>∀ε>0,∃n∈N,n<∀m∈N: |fm(xm)-fm(x)|<ε
ここんところか
うーんどうするかな

しかし、証明をされたら何故違うのかも言わないといけないかな。
何故成り立たないのかは、別で考えておきます。（各点でなく、一様収束なら成り立つみたいです。）

fn→f:uniform
なら行けるんだろうな

>>164
一様ならxに丸で依らないから行けるのはホボホボ自明

各点収束では、一様収束する連続関数列の極限関数が連続の証明の方法は使えないのでしょう。

そりゃ無理だわね

これが反例づくりのヒントになったりね。

fn(x)=cos^2n(x):uniform
fn→f(x)=1(x=nπ),0(otherwise)
xn=1/n→0
で

ヒント出し過ぎ
しおもな

f(0)=1だと思いますが、lim[n→∞]f_n(x_n)の値は1ではないとしたらどうなりますか？

>>170

ちなみに一様連続の条件は、[0,1]で考えたらただの連続関数だと思えば良いと思います。
（元ネタを忠実に再現しているだけです。）

元ネタが微妙だったので、色々ヒントを出してバランスを取ったということで許して下さいね。（頑張ればRで一様連続な関数列でも反例は作れるのかもしれないですが…。）

なんか作問がイマイチなので、早々と正解は出しますね。
11時くらいには書きますね。

>>170
これじゃダメか
xnは
os^2n(x)=1/n
の解xn=arccos((1/n)^(1/2n))でどうかな
limcos^2n(xn)=lim1/n=0
limxn=limarccos((1/n)^(1/2n))=arccos1=0

>>177
とりあえず、f_n(x_n)→f(x)(n→∞)にならなかったら何でも正解です。
あと、連続関数列なら自由です。
私の添削に限界があり、用事を済ませたら解答例を書くので、それで出題の意図を汲み取って頂けると有難い。

>>178
下らん

それなら解答を闇に葬るのみw

一様連続とか言い出したから、ややこしくなってしまった。
そろそろ必修数学の作問も限界に達してきたから、専門数学の作問をするわ。

とりあえず後で解答を書くから、それでこの話は終了。

>>155
これの解答は、f_n(x)=x^n
x_n=1−1/n とすると、
f(x)=0(0≤x<1),1(x=1) となり、
x_n→1(n→∞) であるから、
lim[n→∞]f_n(x_n)=1/e ≠ f(1)=1
よって、不成立。

不出来な作問なので、こんなところで許してね。

>>156
この条件での解答

A:N→P(X)
∪∩A=∪{∩{An|m<n}|m∈N}⊂∩{∪{An|m<n}|m∈N}=∩∪A
を示し
∩∪A＼∪∩A≠φ
である例を挙げよ

>185
とりあえず思考過程ゼロでAIにかけたら、A_nのnが奇数のときに{0}、nが偶数のときに{1}とおけば例の条件を満たすって出たけど、いかが？

再度AIにかけたら早速違った答えを出してきたので、やっぱり無しでお願いします。

>>185
補遺
∩∪A=∪∩A
である同値な条件を挙げよ
（適当な答えを知らないので出題では無いから別に）

>>186
例としてOK

やりぃ

>>185
>∩∪A＼∪∩A≠φ
>である例を挙げよ
簡単すぎたので
単調減少
An⊃An+1
の場合
∩∪A=∪∩A
であることを示せでどうかな

z^5+z^4-12z^3-21z^2+z+5=0を解け。

>>192
これはちなみに、ガロア群はC5になるらしいです。
これでかなり解きやすくなるはずです。

>>192
やはりこれは、pcで計算しないと苦しいかもしれません。
まあ、こんなC5の方程式があるんだくらいに思ってください。

>>192
与えられた5次方程式
z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0
は有理数体上で既約であり、一般的な代数解の公式（冪根による解法）の形では簡潔に表現できません。しかし、この方程式は素数 p = 31 に関連するガウス周期（Gaussian periods）を根に持つ特殊な方程式（巡回拡大の極小多項式）であるため、三角関数を用いて厳密な解を書き下すことができます。

厳密解
方程式の5つの根は以下の通りです。

z_1 = 2cos((2π)/31) + 2cos((10π)/31) + 2cos((12π)/31)
z_2 = 2cos((4π)/31) + 2cos((20π)/31) + 2cos((24π)/31)
z_3 = 2cos((8π)/31) + 2cos((14π)/31) + 2cos((22π)/31)
z_4 = 2cos((16π)/31) + 2cos((18π)/31) + 2cos((28π)/31)
z_5 = 2cos((6π)/31) + 2cos((26π)/31) + 2cos((30π)/31)

解の導出背景（円分体とガウス周期）
この方程式の背景には、円分体 Q(ζ_(31)) （ただし ζ_(31) = e^(i*(2*π)/31)）の部分体が存在します。

乗法群の分割
素数31を法とする乗法群 Z_(31)^× は位数30です。これを位数6の部分群 H = {1, 5, 6, 25, 26, 30} ≡ {±1, ±5, ±6} (mod 31) と、その剰余類（5個）に分割します。

この部分群を基準に、1から15までの正の整数を3つずつの5つのグループに完全分割できます（各グループは直前のグループの要素を2倍し、31を超えたら剰余をとったものです）。

A_1 = {1, 5, 6}
A_2 = {2, 10, 12}
A_3 = {4, 7, 11}
A_4 = {8, 9, 14}
A_5 = {3, 13, 15}

ガウス周期の構成
各グループ A_k = {a, b, c} に対して、
z_k = ζ^a + ζ^(-a) + ζ^b + ζ^(-b) + ζ^c + ζ^(-c)
という周期を作ります。オイラーの公式 ζ^n + ζ^(-n) = 2cos((2n*π)/31) を適用すると、上記で示した三角関数の和の形になります。

極小多項式の特定
これら5つの z_k を根とする多項式 Π[k=1,5] (z - z_k) を展開すると、根と係数の関係から各係数が計算され、提示された方程式 z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0 と完全に一致します。

参考までに、これらの根を近似値で表すと以下のようになります（順不同）。
z ≈ 3.7116
z ≈ 0.4425
z ≈ -0.6389
z ≈ -1.5478
z ≈ -1.9675

>>195
おぉ、解けましたか。
計算量が多くてきついかと思いましたが、大丈夫でしたね(^^)

そんなad hocな解き方なの？

ガロア群がC5というヒントは出していました。

なんでみんなここに直接数式を書きこむの？

直接じゃなきゃどうするの？

latex

単位元をもつ4元からなる環の例を4つ挙げよ。

>>202
AIにバレてるからやっぱ無しかな。
まあ、解答したい人はご自由にw

問題　『博士が百人いる村』

ある日
ある村に無能な博士が百人あつまった
この村には掟がある
　村のオキテ【自分が無能とわかった博士はその日の夜に村を出ていかなければいけない】
博士たちは自分自身が無能かどうかは自分ではわからないが
他の博士が無能かどうかは完璧にわかる
広場に百人の博士が集まった
おのおのの博士は他の博士が無能かどうかを判定したが
誰も一言も発言しなかった
村長がいうことには「百人の中に少なくとも１人の無能の博士が存在する」
すべての博士がそれを聞いた
博士は無能かそうでないかのどちらかであるとする
博士たちは無能だが論理的思考はできる

さて博士たちはどうなったか？
何日目に何が起こったかを理由をつけて詳しく述べよ

箱入り博士

次の問題

559 １３２人目の素数さん 2026/07/08(水) 05:55:21.26 ID:XT0OsVw3
複素平面上の相異なる2点A(α)、B(β)を通る直線をl、lに原点から下ろした垂線の足をHとする。
H(β/α)となるとき、α、βは複素平面上のどの領域を動きうるか。

本人は
作問中に垂線を後から引いた
と言っており、思いつきだけで作った問題のもよう

コピペ乙

インディアンポーカー

無能だったら自分が無能と推論できる状況でもそれに気づけないのでは？

設定

こっちで引き取って


645 １３２人目の素数さん 2026/07/16(木) 07:18:52.78 ID:0HG/0SQG
朝の光を浴びて新鮮な気持ちで質問します

平面上に△ABCがある。
直線ABに関して点Cとは反対側に点Pをとり、△PABが正三角形となるようにする。
同様に直線BCに関して点Aとは反対側に点Qをとり、△QBCが正三角形となるようにする。
直線PQ上に点Xをとったところ、△XCAが正三角形となった。△ABCはどのような形状かを述べよ。

>>211
高校数学スレで

たらい回しw

＞y=(√3)*tan(πx)　(0<x<1/2) のグラフ上の有理点は
＞(1/6,1) と (1/3, 3) だけでしょうか。
ギリ大学数学だろうが
あんま面白くなさげ

>y'+exp(-x)y=0
>y(0)=1
y=0 OK
dy/y=-exp(-x)dx
log|y|=-exp(-x)+C
y=Aexp(-exp(-x))

y(0)=1 ⇒ C=1 or A=e

>＞y=(√3)*tan(πx)　(0<x<1/2) のグラフ上の有理点は
>＞(1/6,1) と (1/3, 3) だけでしょうか。
>ギリ大学数学だろうが
>あんま面白くなさげ

面白くなさげとは、簡単に解けてしまうということでしょうか。

785 １３２人目の素数さん 2026/07/26(日) 11:48:01.23 ID:aJpHQceM
xy平面上の曲線
y^3=x^3+1
上に有理点は無数に存在するか。

フェルマー予想（未解決問題）を使う問題

(p/q)^3=(r/s)^3+1
(ps)^3=(rq)^3+(qs)^3

i^3=j^3+k^3
(i/k)^3=(j/k)^3+1

ふぅ

x^3+y^3=z^3
が整数解を持たないとか
300年くらい前には示されてるだろ

803 １３２人目の素数さん 2026/07/29(水) 17:39:35.86 ID:VjItaz9y
f(x)=x^4-x^3+x+1
とする。
方程式f(x)=nが有理数解のみを持つような整数nは存在するか。
存在するならすべて求め、存在しないならばそのことを証明せよ。


1組の解はすぐ見つかる
それ以外に存在しないことは
整係数n次方程式の有理数解に関する定理
https://www.todai-counseling.com/blog/post-729
を使えば高校数学の範囲で示せる

結論：
高校数学スレで

862 １３２人目の素数さん 2026/08/04(火) 12:47:27.93 ID:7J6q2Vpj
f_k(x)=sinx+sin2x+...+sinkx
とする。f_k(x)の最大値と最小値をkで表せ。

k=2の時点で二重根号が必要
一般項は普通の形では書けなさそう

>>223
フーリエ解析でよく出るヤツだよ

すまん
違うか

>>223
sinkθの級数公式はあると思われる。
ただ、出題爺さんの問題は私はノータッチでw

あいや
やはり
そうか

級数公式をググったら
sin(x)+...+sin(kx)
=sin((k/2)x)sin(((k+1)/2)x)/sin((1/2)x)
というのが見つかったけど
半角のsinを使う代わりに、次数が倍になるので
微分したり方程式を解いたりするのには向かなそう

大学入試レベルの演習問題だと
f(x)=7sin(x)+sin(2x)
のように、係数をいじって
解が単純になるようにしたものが多い

kが十分大きい時、比例定数rがあって
最大値≒rk, 最小値≒－rk
に近づく、みたいなことは言えそう

ここまでにしておきます

>>228
>sin(x)+...+sin(kx)
sin(x/2)かcos(x/2)を掛けて積和使うのかな

高校数学範囲だね

等比級数

920 １３２人目の素数さん 2026/08/13(木) 12:06:29.04 ID:RM/JJtYA
a、bをa<bなる実数とする。
以下の条件（ア）（イ）をともに満たすn次多項式f(x)が存在することを示せ。

（ア）f(x)は0でない整数p,qを用いてf(x)=x^n+px+qと表せる。
（イ）方程式f(x)=0は実数解を持ち、そのうちの1つをcとするとa<c<bを満たす。
----

実数や有理数の稠密性の証明と
同じ方法で証明可能

0<a<b とおくと、aとbがどんなに近くても
正の整数mを用いて 1/m<b-a とおける

f(x)=x^n+px+qを、aの整数部分を [a] として
f([a])>0, f([a-1])<0, f'([a])>m
となるように p, q を与え、qを1ずつ減らすと
方程式 f(x)=0 の実数解は 1/m より小さい刻みで
増加していき、a<c<b の区間に少なくとも1つ入る
（後略）

位数96の群は単純でないことを証明せよ。

位数の素因子が高々二つの有限群は可解?

位数の素因子が高々二つ（つまり、群の位数 \(\vert{}G\vert{}\) が \(p^{a}q^{b}\) の形、ここで \(p, q\) は異なる素数、\(a, b \ge 0\)）の有限群が可解群であるという定理は、数学においてバーンサイドの定理（Burnside's \(p^{a}q^{b}\)-theorem）として広く知られています。この定理の概要と背景、および証明の核心となる概念について解説します。

バーンサイドは出来れば使わない方向でお願いします。