大学数学の出題スレ

>>177
とりあえず、f_n(x_n)→f(x)(n→∞)にならなかったら何でも正解です。
あと、連続関数列なら自由です。
私の添削に限界があり、用事を済ませたら解答例を書くので、それで出題の意図を汲み取って頂けると有難い。

>>178
下らん

それなら解答を闇に葬るのみw

一様連続とか言い出したから、ややこしくなってしまった。
そろそろ必修数学の作問も限界に達してきたから、専門数学の作問をするわ。

とりあえず後で解答を書くから、それでこの話は終了。

>>155
これの解答は、f_n(x)=x^n
x_n=1−1/n とすると、
f(x)=0(0≤x<1),1(x=1) となり、
x_n→1(n→∞) であるから、
lim[n→∞]f_n(x_n)=1/e ≠ f(1)=1
よって、不成立。

不出来な作問なので、こんなところで許してね。

>>156
この条件での解答

A:N→P(X)
∪∩A=∪{∩{An|m<n}|m∈N}⊂∩{∪{An|m<n}|m∈N}=∩∪A
を示し
∩∪A＼∪∩A≠φ
である例を挙げよ

>185
とりあえず思考過程ゼロでAIにかけたら、A_nのnが奇数のときに{0}、nが偶数のときに{1}とおけば例の条件を満たすって出たけど、いかが？

再度AIにかけたら早速違った答えを出してきたので、やっぱり無しでお願いします。

>>185
補遺
∩∪A=∪∩A
である同値な条件を挙げよ
（適当な答えを知らないので出題では無いから別に）

>>186
例としてOK

やりぃ

>>185
>∩∪A＼∪∩A≠φ
>である例を挙げよ
簡単すぎたので
単調減少
An⊃An+1
の場合
∩∪A=∪∩A
であることを示せでどうかな

z^5+z^4-12z^3-21z^2+z+5=0を解け。

>>192
これはちなみに、ガロア群はC5になるらしいです。
これでかなり解きやすくなるはずです。

>>192
やはりこれは、pcで計算しないと苦しいかもしれません。
まあ、こんなC5の方程式があるんだくらいに思ってください。

>>192
与えられた5次方程式
z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0
は有理数体上で既約であり、一般的な代数解の公式（冪根による解法）の形では簡潔に表現できません。しかし、この方程式は素数 p = 31 に関連するガウス周期（Gaussian periods）を根に持つ特殊な方程式（巡回拡大の極小多項式）であるため、三角関数を用いて厳密な解を書き下すことができます。

厳密解
方程式の5つの根は以下の通りです。

z_1 = 2cos((2π)/31) + 2cos((10π)/31) + 2cos((12π)/31)
z_2 = 2cos((4π)/31) + 2cos((20π)/31) + 2cos((24π)/31)
z_3 = 2cos((8π)/31) + 2cos((14π)/31) + 2cos((22π)/31)
z_4 = 2cos((16π)/31) + 2cos((18π)/31) + 2cos((28π)/31)
z_5 = 2cos((6π)/31) + 2cos((26π)/31) + 2cos((30π)/31)

解の導出背景（円分体とガウス周期）
この方程式の背景には、円分体 Q(ζ_(31)) （ただし ζ_(31) = e^(i*(2*π)/31)）の部分体が存在します。

乗法群の分割
素数31を法とする乗法群 Z_(31)^× は位数30です。これを位数6の部分群 H = {1, 5, 6, 25, 26, 30} ≡ {±1, ±5, ±6} (mod 31) と、その剰余類（5個）に分割します。

この部分群を基準に、1から15までの正の整数を3つずつの5つのグループに完全分割できます（各グループは直前のグループの要素を2倍し、31を超えたら剰余をとったものです）。

A_1 = {1, 5, 6}
A_2 = {2, 10, 12}
A_3 = {4, 7, 11}
A_4 = {8, 9, 14}
A_5 = {3, 13, 15}

ガウス周期の構成
各グループ A_k = {a, b, c} に対して、
z_k = ζ^a + ζ^(-a) + ζ^b + ζ^(-b) + ζ^c + ζ^(-c)
という周期を作ります。オイラーの公式 ζ^n + ζ^(-n) = 2cos((2n*π)/31) を適用すると、上記で示した三角関数の和の形になります。

極小多項式の特定
これら5つの z_k を根とする多項式 Π[k=1,5] (z - z_k) を展開すると、根と係数の関係から各係数が計算され、提示された方程式 z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0 と完全に一致します。

参考までに、これらの根を近似値で表すと以下のようになります（順不同）。
z ≈ 3.7116
z ≈ 0.4425
z ≈ -0.6389
z ≈ -1.5478
z ≈ -1.9675

>>195
おぉ、解けましたか。
計算量が多くてきついかと思いましたが、大丈夫でしたね(^^)

そんなad hocな解き方なの？

ガロア群がC5というヒントは出していました。

なんでみんなここに直接数式を書きこむの？

直接じゃなきゃどうするの？

latex

単位元をもつ4元からなる環の例を4つ挙げよ。

>>202
AIにバレてるからやっぱ無しかな。
まあ、解答したい人はご自由にw

問題　『博士が百人いる村』

ある日
ある村に無能な博士が百人あつまった
この村には掟がある
　村のオキテ【自分が無能とわかった博士はその日の夜に村を出ていかなければいけない】
博士たちは自分自身が無能かどうかは自分ではわからないが
他の博士が無能かどうかは完璧にわかる
広場に百人の博士が集まった
おのおのの博士は他の博士が無能かどうかを判定したが
誰も一言も発言しなかった
村長がいうことには「百人の中に少なくとも１人の無能の博士が存在する」
すべての博士がそれを聞いた
博士は無能かそうでないかのどちらかであるとする
博士たちは無能だが論理的思考はできる

さて博士たちはどうなったか？
何日目に何が起こったかを理由をつけて詳しく述べよ

箱入り博士

次の問題

559 １３２人目の素数さん 2026/07/08(水) 05:55:21.26 ID:XT0OsVw3
複素平面上の相異なる2点A(α)、B(β)を通る直線をl、lに原点から下ろした垂線の足をHとする。
H(β/α)となるとき、α、βは複素平面上のどの領域を動きうるか。

本人は
作問中に垂線を後から引いた
と言っており、思いつきだけで作った問題のもよう

コピペ乙

インディアンポーカー

無能だったら自分が無能と推論できる状況でもそれに気づけないのでは？

設定

こっちで引き取って


645 １３２人目の素数さん 2026/07/16(木) 07:18:52.78 ID:0HG/0SQG
朝の光を浴びて新鮮な気持ちで質問します

平面上に△ABCがある。
直線ABに関して点Cとは反対側に点Pをとり、△PABが正三角形となるようにする。
同様に直線BCに関して点Aとは反対側に点Qをとり、△QBCが正三角形となるようにする。
直線PQ上に点Xをとったところ、△XCAが正三角形となった。△ABCはどのような形状かを述べよ。

>>211
高校数学スレで

たらい回しw

＞y=(√3)*tan(πx)　(0<x<1/2) のグラフ上の有理点は
＞(1/6,1) と (1/3, 3) だけでしょうか。
ギリ大学数学だろうが
あんま面白くなさげ

>y'+exp(-x)y=0
>y(0)=1
y=0 OK
dy/y=-exp(-x)dx
log|y|=-exp(-x)+C
y=Aexp(-exp(-x))

y(0)=1 ⇒ C=1 or A=e

>＞y=(√3)*tan(πx)　(0<x<1/2) のグラフ上の有理点は
>＞(1/6,1) と (1/3, 3) だけでしょうか。
>ギリ大学数学だろうが
>あんま面白くなさげ

面白くなさげとは、簡単に解けてしまうということでしょうか。

785 １３２人目の素数さん 2026/07/26(日) 11:48:01.23 ID:aJpHQceM
xy平面上の曲線
y^3=x^3+1
上に有理点は無数に存在するか。

フェルマー予想（未解決問題）を使う問題

(p/q)^3=(r/s)^3+1
(ps)^3=(rq)^3+(qs)^3

i^3=j^3+k^3
(i/k)^3=(j/k)^3+1

ふぅ

x^3+y^3=z^3
が整数解を持たないとか
300年くらい前には示されてるだろ

803 １３２人目の素数さん 2026/07/29(水) 17:39:35.86 ID:VjItaz9y
f(x)=x^4-x^3+x+1
とする。
方程式f(x)=nが有理数解のみを持つような整数nは存在するか。
存在するならすべて求め、存在しないならばそのことを証明せよ。


1組の解はすぐ見つかる
それ以外に存在しないことは
整係数n次方程式の有理数解に関する定理
https://www.todai-counseling.com/blog/post-729
を使えば高校数学の範囲で示せる

結論：
高校数学スレで

862 １３２人目の素数さん 2026/08/04(火) 12:47:27.93 ID:7J6q2Vpj
f_k(x)=sinx+sin2x+...+sinkx
とする。f_k(x)の最大値と最小値をkで表せ。

k=2の時点で二重根号が必要
一般項は普通の形では書けなさそう

>>223
フーリエ解析でよく出るヤツだよ

すまん
違うか

>>223
sinkθの級数公式はあると思われる。
ただ、出題爺さんの問題は私はノータッチでw

あいや
やはり
そうか

級数公式をググったら
sin(x)+...+sin(kx)
=sin((k/2)x)sin(((k+1)/2)x)/sin((1/2)x)
というのが見つかったけど
半角のsinを使う代わりに、次数が倍になるので
微分したり方程式を解いたりするのには向かなそう

大学入試レベルの演習問題だと
f(x)=7sin(x)+sin(2x)
のように、係数をいじって
解が単純になるようにしたものが多い

kが十分大きい時、比例定数rがあって
最大値≒rk, 最小値≒－rk
に近づく、みたいなことは言えそう

ここまでにしておきます

>>228
>sin(x)+...+sin(kx)
sin(x/2)かcos(x/2)を掛けて積和使うのかな

高校数学範囲だね

等比級数

920 １３２人目の素数さん 2026/08/13(木) 12:06:29.04 ID:RM/JJtYA
a、bをa<bなる実数とする。
以下の条件（ア）（イ）をともに満たすn次多項式f(x)が存在することを示せ。

（ア）f(x)は0でない整数p,qを用いてf(x)=x^n+px+qと表せる。
（イ）方程式f(x)=0は実数解を持ち、そのうちの1つをcとするとa<c<bを満たす。
----

実数や有理数の稠密性の証明と
同じ方法で証明可能

0<a<b とおくと、aとbがどんなに近くても
正の整数mを用いて 1/m<b-a とおける

f(x)=x^n+px+qを、aの整数部分を [a] として
f([a])>0, f([a-1])<0, f'([a])>m
となるように p, q を与え、qを1ずつ減らすと
方程式 f(x)=0 の実数解は 1/m より小さい刻みで
増加していき、a<c<b の区間に少なくとも1つ入る
（後略）

位数96の群は単純でないことを証明せよ。

位数の素因子が高々二つの有限群は可解?

位数の素因子が高々二つ（つまり、群の位数 \(\vert{}G\vert{}\) が \(p^{a}q^{b}\) の形、ここで \(p, q\) は異なる素数、\(a, b \ge 0\)）の有限群が可解群であるという定理は、数学においてバーンサイドの定理（Burnside's \(p^{a}q^{b}\)-theorem）として広く知られています。この定理の概要と背景、および証明の核心となる概念について解説します。

バーンサイドは出来れば使わない方向でお願いします。

>>234
>位数96の群は単純でないことを証明せよ。
96=2^5×3
だから2-群と3-群考えるのかな？
2-群が正規じゃなければ
正規化部分群は全体じゃないから自分自身なので
共役が3つあるのでその入れ替えでS3への準同形がある
よってその核が正規

7 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ 3763-MUU/ [240a:61:5226:7b18:*]) 2026/08/19(水) 11:25:10.78 ID:fq85UUqn0
以下の方程式を満たす関数f(x)が存在するならば、すべて決定せよ。
f(a)=∫[0,∞] e^(-ax)f(x) dx
----

f(x)=0 は自明
f(x)=0でないとき
多項式展開して係数を比較すると
a=Γ(1)=Γ(2)=...
となり不適
（後略）

>>236
横から出てきてなんだ?

>>239
出題者です。

バーンサイドの定理は使っていいよ

>>240
>>237でよくない？

>>242
作用？での解答を予期していなかったですね。
貴方が見て良さそうなら結構です。
逆にちょっと勉強させてもらいますね。

>>241
>>235が言ってないよね？
バーンサイドってかなり大道具な気がするからなぁ…。
バーンサイドが証明できるんならどうぞって感じだけどw

>>243
つうかあれ以外に簡単な解答ってあんの？

>>245
ちょっと待って下さいね、所用で忙しいので(汗)
ちなみに、明日は時間が絶対にあるのでご安心を。

>>246
ちょっと待って？？
解答用意できてないのか

>>247
大丈夫、とにかくちょい待ってw

仕事第一、数学第二なのでね…。
アマチュアはw

とかレスする暇があるなら解答を書けるんじゃないの
自分で解いているなら

ちょい長解答になる。
ちなみに、作用のはきちんと解けてる？
説明に不足があったら、誰か指摘してあげて下さいね。
私は作用以外の解答を用意します。

>>251
・・・・どこまでも自分に甘い奴
で>>237わからんか？

2-群が正規で無い場合S3への写像が0じゃないのは自明
とかいうのを書かんとイカンか
シオモナ

んじゃ、作用以外の答え書かねぇw

自分で考えてなw

バーンサイドの定理を使うなとか言い出したあたり、大学ででた課題をここに丸投げしてたんだろうね

いや、趣味ですw

>>253
あなたは結構適当な書き方をするよね。
2-群とか結論をきっちり書かないとか。
（シロー部分群は長いから省略する気持ちは分からないでもないが、慣れていない人が見たら戸惑うだろう。）
最近、コルモゴロフの話があやふやでも出来たみたいに装っているような人がいたが、アレが貴方なら不誠実な態度であると思うよ。

>>258
どうでもいい感じw
コルモゴロフの01定理はちゃんと理解できたので嬉しい
それによって非可測集合を作れることも理解できた

>>258
気になるなら俺が書いたものを全部読み直してみたら？
何がどうなってああなるかの詳細書いてるし

ミジンコが口癖の人からの批判を意に返さないスタンスなら、私は別に構わないけど。

>>261
>ミジンコが口癖の人
て誰？

>>262
この板の住人は他人の書き込みをまともに見ていないんだね。
もう少し他人に興味を持った方が良いよ。
この板では、今日の友が明日の敵やからw

ちなみにミジンコの人とは、他人の批判をして自らはあまり数学の内容を語ろうとしない人のことだよ。

>>263
全然？どうでもよくね？

その人はミジンコが口癖で、ミジンコとは俺のこと。
どうも、ミジンコ院卒ですw

>>264
ははぁ
俺がレス乞食と読んだ人のことかな

>>265
正直、説明するのも面倒なので。
ただね、普通に見ていたら誰が誰なのかくらいなんとなく分かる。

レスコ〇キ＝ミジンコが口癖の人

>>268
>ただね、普通に見ていたら誰が誰なのかくらいなんとなく分かる。
全然？自分が分かってることが他人にも分かると思い込むのは気味の悪い癖

理解力が悪いんじゃないの？
と、強く言ってみるw

興味ある数学以外はどうでもよさげ

>>264
つまりゲス爺のことか

>>238
累乗関数の指数を複素数まで拡張すれば
ラプラス変換の不動点が存在する

以下の知恵袋サイトより
https://math.stackexchange.com/questions/3130893/function-equal-to-his-laplace-or-mellin-transform

f(t)=t^(-z) を変換すると F(s)=Γ(1-z)t^(-(1-z))
となり、係数を除いて互いに移り合うことから
両者の和として、変換後の係数が合うように
f(t)=j・t^(-z)+k・t^(-(1-z))
j=(Γ(z))^(1/2), k=(Γ(1-z))^(1/2), jk=1
と構成することができる

(j^2)(k^2)=Γ(z)Γ(1-z)=π/sin(πz)=1
からzが求まり
z=arcsin(π)/π=(1/2)±i(arccosh(π)/π)

x=e^(log(x)), e^(iθ)+e^(-iθ)=2cosθ
等を用いてf(t)を変形すると
f(t)=C・(cos(α・log(t)-β)/√(t))
α=arccosh(π)/π=0.5766...
β=arg(j')=arg(k)=0.4503...
と表せて
定数Cを実数にとれば実関数となる

0.4503... → 0.4053...
だった

t→+0 で正負の無限大に振動しながら発散したり
0からの定積分が求まらなかったりして
実際に役に立つ事は無さそう

242 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ fefb-cp+l [2001:240:2466:1a86:*]) 2026/09/20(日) 11:38:42.22 ID:oiDe1Q0o0
一辺の長さがaである正三角形ABCを、辺ABの周りに一回転させてできる立体をV1、辺BCの周りに一回転させてできる立体をV2、辺CAの周りに一回転させてできる立体をV3とする。
V1とV2とV3の共通部分の体積をaで表せ。
--

三角形の内部の点Pの位置によって
3つの回転体のどれがもっとも高さが低いかを調べる
それぞれについて、回転体を底面に垂直な曲面で
切断したものの体積を求め足し合わせればよい

円錐を任意の平面で切断した立体の体積は
切り口が楕円、放物線、双曲線に場合分けできて
ひとつの統一された公式で表せる

2020年には和算の算額が作られ奉納されている
http://www.wasan.jp/aichi/atuta4.png

>>276
積分記号入ってるぞ和算じゃ無いだろ？

オーノー

>>276
解は
((√2)/48)(20-9ln3)a^3
=0.2979...・a^3

たしかに算額だけど和算ではないですね

305 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ 8bd4-khsn [2001:240:247a:474e:*]) 2026/09/28(月) 18:17:06.03 ID:CXEvUH0s0
実数rと実数でない数αを用いて
r^α+α^r
の形で表される実数は存在するか。
存在するならばそのような(r,α)の組を1組求めよ。
--

存在するし、どんな実数に対しても
(r, α) を構成できる

例えば r が正の整数、式の値が 0 のとき
r^α+α^r=0
の解は
ランベルトのW関数（乗積対数関数）
y=W(x) ⇔ x=y・e^y
に複素数の主値以外を含めた多価関数
y=W_n(z)
を用い、k=ln((1/r)^(1/r)) として
α=(1/k)W_n(k・e^((-1+(2m+1)/r)πi))
となり、m, n を動かせば α は無数に存在する

右辺が0以外でも、数値計算で
任意の実数 r に対してα を導出できる

f(z) = (1/z)^2 + 2^(1/z) は z=0 を真性特異点にもつ。
よってピカールの定理により高々二つの例外の a を除いて方程式 f(z) = a は |z| < 1 に無限に解をもつ。しかし a が実数のとき f(z) の概形より f(z) = a は高々２つの実数解しかもてない。

なるほど
そういう流れがあるんですね
早とちりしました、ごめんなさい

え？べつに >>280とは関係ないけど？