>>280
のαの式の形が
無限指数タワーの値の公式
h(z)=z^h(z)=z^(z^(z^...)) のとき
h(z)=W(-logz)/(-logz)
に似ているので
指数タワーを使って解くこともできそう

2以上の整数 r, 複素数 α について
r^α+α^r=0 とする
α^r=-r^α
α=(-1)^(1/r)・(r^(1/r))^α
ここで
ω=(-1)^(1/r)=e^iπ((2k+1)/r)
z=(r^(1/r))^ω
α=ω・z^(z^(z^...))=ω・h(z)
とおくと
左辺=α=ω・h(z)
右辺=ω・(r^(1/r))^(ω・h(z))
=ω・(r^(1/r)^ω)^h(z)
=ω・z^h(z)=ω・h(z)=α
となり、αは式を満たす

h(z)の公式とlogz=ω(logr)/rを用いると
α=W(-ω(logr)/r)/(-(logr)/r)