AIに訊いてみた（笑）

x ≠ 0 に対して (I + A)x = 0 と仮定すると、x + Ax = 0
→ Ax = −x両辺の内積を取る（xᵀ で左から掛ける）：xᵀAx = −xᵀx
でも A が交代行列なので xᵀAx = 0（交代行列の二次形式は常に 0）→ 0 = −‖x‖²
→ ‖x‖² = 0
→ x = 0つまり核（カーネル）は {0} だけ → I + A は単射 → 正方行列なので正則。