>>94
>ユークリッド距離から誘導される相対位相Ｏxを使って
>「空でない連結な部分集合は一点からなる集合であることを示せ」ね
>ユークリッド位相でもそうなるだろうし
>その証明がどこかに落ちていそうだ
>そして、その証明をチョコと変えると良さそうに思うが・・

”証明をチョコと変える”を 考えていたら
どうも 相対位相を使うのが本質らしいね
ということは、私が 相対位相の本質が分かっていないってことなのだが （＾＾
ともかく、下記に google AIの文を貼るよ。細かい点がすべっているが

(google検索)
実数R中における 無理数の 空でない連結な部分集合は 一点からなる集合であることの証明は？
AI による概要
実数体 R（通常位相）において、無理数全体からなる集合 I=R∖Q の空でない連結な部分集合
A は、一点集合{x} (x∈I) であることの証明は以下の通りです。
証明の概要
無理数集合 I の中に、2つ以上の点を含む（すなわち区間を持つ）連結集合が存在しないことを、有理数の稠密性を利用して背理法で示します。
証明
1.仮定
無理数集合 I の空でない連結な部分集合 A を考える。
A が2点以上の要素を持つと仮定する。
2.無理数の間にある有理数
A は2点以上の無理数を含むため、x,y∈A (x<y) なる無理数 x,y が存在する。
実数 R において、有理数集合 Q は稠密であるため、
x と y の間に有理数 q が存在する。
すなわち、x<q<y となる q∈Q が取れる。

3.集合の切断
集合 A を、q を境にして2つの集合 A1,A2 に分割する。
1.A1=A∩(-∞,q)
2.A2=A∩(q,∞)
x∈A1 かつy∈A2 であるため、A1≠∅ かつ A2≠∅ である。
また、定義より A1∪A2=Aかつ A1∩A2=∅ である。
4.連結性との矛盾
A1 と A2 は、それぞれ A における開集合（相対位相）であることを示す。
1.A1=A∩(-∞,q) であり、(-∞,q)はRの開集合
2.A2=A∩(q,∞) であり、(q,∞) はRの開集合
これらは互いに素な空でない開集合の和として A を分割しているため、
A は連結ではない（非連結である）。
これは A が連結であるという仮定に矛盾する。

5.結論
したがって、A は2点以上を含むことができず、一点からなる集合 {x} でなければならない。
補足：なぜ無理数は「連結」になれないのか
実数 R における連結集合は「区間」（閉区間、開区間、半開区間）に限られます。しかし、無理数の集合 I は、どんなに小さな区間の中にも有理数を含んでしまう（稠密ではない）ため、区間を一つも含むことができません。一点以外の部分集合はすべて切断できてしまうため、連結性を保てません。
以上

(参考)
https://wiis.info/math/real-number/topology/connected-set/
実数空間における連結集合・非連結集合 | 直線の位相 - WIIS
wiis.info
https://wiis.info › 数学 › 実数 › 数直線の位相
すべての無理数からなる集合 は非連結集合です（演習問題）。 ... つまり、いかなる開集合 との交わりをとっても集合 を互いに素な2つの非空な集合である と に分割できない ...
含まれない: R ‎一点