(参考)>>75
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大
過去の大学院入試問題
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2024_R6_kyotsu.pdf
2024(令和6)年度
数学共通問題
問２
(R, Ｏ)をR上の通常のユークリッド距離から定まる位相Ｏをもつ位相空間とする.
またX= {x∈R ｜x ∉ Q, x^2 <=2 }とし，ＯxをＯから定まるx上の相対位相とする．
以下の問いに答えよ．
(3)任意の連続写像h: (R,Ｏ)→(X, Ｏx)は定値写像であることを示せ．
(引用終り)

下記
定値写像：X, Y を集合とする。写像 f: X → Y が X の任意の元 x, y に対して f(x) = f(y) をみたすとき、f は定値写像といわれる。X が空でないとき、定値写像とはその像が一元集合となるものである

背理法でしょうね
連続写像hが存在して 定値でない つまり その像が一元集合でない
つまり、ある x≠y で h(x) ≠ h(y) となる → 矛盾がおきる

(R,Ｏ)→(X, Ｏx)で
(R,Ｏ)は通常のユークリッド位相
(X, Ｏx)が X= {x∈R ｜x ∉ Q, x^2 <=2 }は、無理数からなる相対位相の空間であって
”無理数からなる相対位相の空間”が、わるさをするのでしょうね・・

さてさて （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F
写像
定値写像
X, Y を集合とする。写像 f: X → Y が X の任意の元 x, y に対して f(x) = f(y) をみたすとき、f は定値写像といわれる。X が空でないとき、定値写像とはその像が一元集合となるものである。X が空であるときは、文献によって扱いが異なる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F
連続写像

位相空間の間の写像の連続性