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考えが うまくまとまらないので AIカンニング 下記 （＾＾；

(google検索)
位相空間において 値域が実数Rで定義域が無理数への連続写像hがあるとき hは定値写像であることを証明せよ
AI による概要
位相空間において、定義域が無理数全体（I=R ∖ Q）で、
値域が実数全体（R）である連続写像 h：I→R
が定値写像であることの証明は、以下の通りです。

無理数全体 I は、通常の位相空間において全不連結（total disconnected）ではなく、
連結成分は点集合（1点のみからなる集合）となりますが、
連続写像の性質を用いて定値写像であることを示すことができます。

証明
1.実数の稠密性の利用
写像 h：I→R が定値ではないと仮定します。すなわち、ある2つの無理数
x,y∈I(x<y) に対して、h(x)≠h(y)
となる場合を考えます（一般性を失わずに h(x)<h(y) とします）。
2.中間値の定理（に近い性質）の検討
無理数全体 I はR の部分空間ですが、実数 R とは異なり、
中間値の定理が直接適用できる連結な空間ではありません。
しかし、連続写像の像 h(I) は、I が「稠密に分布している」ため、
特定の条件下で連続的な挙動を示します。

3.連続性の矛盾（より厳密なアプローチ）
h が連続であるため、任意の無理数 x∈I の近傍 U に対して、
h(U) は実数 R の連結な部分集合（すなわち閉区間、開区間、または1点）に収束する性質を持ちます。
しかし、I はどのような点においても連結ではない（局所連結でない）ため、
連続写像が「飛び跳ねる」ことを防ぐものがありません。ここで、補完的な視点を用います。
h が連続写像であり、定義域が有理数ではない（Rの稠密な部分集合）であるため、
もしh が非定数であれば、h(I) には無限個の異なる値が存在します。
4.連結性の欠如による定値性の導出
実は、無理数全体 I は、実数 R の部分空間として、完全に不連結（Totally disconnected）な空間、あるいは単に、どの2点間も閉区間で結ぶことができない性質を持っています。
連続写像 h の像 h(I) が実数R 内で非定数であると仮定すると、ある2点 h(x),h(y) が存在し、
h(x)<c<h(y) となる値 c を写像が取らなければなりません。
しかし、I の位相構造上、このような連続的な値の遷移を支える「連続的なパス（道）」が
I 内に存在しません。したがって、連続写像 h：I→R は、各連結成分上（この場合は各1点上）で定数であり、それが全領域に及ぶため、定値写像でなければなりません。

結論
無理数集合 I の位相が、実数 R の連続的な繋がりのない不連続的な構造を持っているため、そこから
R への連続写像は定値写像に限られます。