連結性メモ

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第九研究室だより
伊勢幸一の公式ブログ

2010年12月02日
9 - 連結性

かなり時間が空いてしまいましたが、位相空間カテゴリの続きで、連結性について。

以前、ポアンカレ予想にある単連結とはなんぞや？を知るために群論を一通り調べてみましたが、そもそも連結というのは何ですねん？直感的には「繋がっている」とか「ひとかたまりである」という意味だと思いますが、厳密に言うとどういうことなのか？　さっそく定義を調べてみるとこんな感じ。
【定義 1】位相空間 X が�A結であるとは＝A
次の条血盾桙ｽす X の開集合 U, V が存在しない事である。
X = U ∪ V,　U ∩ V = Φ,　U ≠ Φ, V ≠ Φ

うむう。いつもの事ですが、何の事か全くわかりません(笑。　地球語でいうと「位相空間 X が連結であるとは、 X を、共通部分が無く、かつ、空でない開集合の和集合として表せないことである」という事なんですが、これでもまだ意味が良くわかりませんな。連結に関しては、連結ではない状態を考え、そこから逆説的に連結を考えると良いかもです。連結では無いということは空間 X を分離する開集合が存在するという様に言い換えてもいいかもしれません。

たとえば実数 R 上で二つの開集合 U = [0, 1) と V = (1, 2]を考えます。 U は 0 、 V は 2 の境界で閉じていますが、反対側が開いているので開集合と見なします。ここで、 V, Uはそれぞれ空集合ではありません。そして、それぞれ 1 を含まないので共通部分もありません。

X の部分集合である U と V は共通部分を持っていない開集合であり、かつ、空集合でもない。という事は、 U と V は X を分離する開集合になります。すると、連結の定義から X は連結では無いという事になります。

そんな感じで。連結を数学的に証明するっていうのはそう簡単ではく、連結を完全に把握するには他にも色々な前提概念があるので、ここではスルーしましょう。機会があればいつか取り上げるかも。

要はある集合が切れ目なく連続しているというイメージでいいと思います。トポロジーにとって重要なのは位相空間が連結である事は、空間内の2点が弧状連結である事の必要条件であるという事です。弧状連結であるというのは、なんらかの経路を選ぶと、2点間は切れ目の無い連続した道で繋げる事ができるという意味です。

この場合道とは、単位閉区間 [0, 1] から　f(0) = p,　f(1) = q　を満たす連続写像 f を指します。これ重要っ!
ちなみに、弧状連結な空間は連結空間ですが、連結であっても弧状連結ではない空間は存在します。

この連結性は同相写像によって保存される位相的性質であるということで、ポアンカレ予想に出てくる単連結とはこの連結という位相的性質の一種という事なんでしょう。さて？