つづき

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高校数学の美しい物語
コンパクト空間・点列コンパクト空間の意味
コンパクト・点列コンパクトの意味と性質を整理しました。

コンパクトとは
コンパクトとは，ざっくり言うと「開集合で全体を覆うと，実は有限個で十分」となるような空間・集合のことです。

なんとなく「コンパクト」っぽい気はしますね。

正確な定義は下記です：

コンパクトの定義
位相空間
X が以下を満たすとき
X はコンパクトまたはコンパクト空間であるという：
X の任意の開被覆に対して有限部分被覆が存在する。

ただし，
位相空間とは，開集合系が与えられた集合です。例えば実数全体の集合と開区間をすべて集めたものをイメージしてください。
開被覆とは，全体を覆う開集合たちのことです。
略
開被覆の部分集合で「要素数が有限」で「開被覆」になるものを有限部分被覆と言います。
もともとの
Λ は無限集合かもしれないが，そのうちの有限個をうまく選べば
X を覆える，というのがコンパクトの意味です。
位相空間
X の部分集合
A に対しても同様に「コンパクト」が定義されます：
コンパクト集合の定義
位相空間
X の部分集合
A について，
A の任意の開被覆に対して有限部分被覆が存在する
とき，
A はコンパクト，またはコンパクト集合であるという。

目次
コンパクトに関する例
コンパクトと有界閉集合
コンパクト空間の性質
点列コンパクトの定義

コンパクトに関する例

定義は抽象的でわかりにくいので簡単な例を見てみましょう。この節ではユークリッド空間
R を考えます。また，
a,b は実数とします。

コンパクトな例
閉区間 [a,b] はコンパクト
コンパクトであることの証明はやや大変です。
→閉区間のコンパクト性についての補足(外部PDF))
https://www.lab.twcu.ac.jp/~nick/lecture/2013/compact.pdf
閉区間のコンパクト性についての補足 幾何学AII/幾何学I (担当: 新國) 2013 年12月11日
https://www.lab.twcu.ac.jp/nick/
新國 亮のウェブサイト 東京女子大学
https://www.lab.twcu.ac.jp/nick/lectures2013.html
2013年度後期担当講義
幾何学AII (幾何学I) 2年
(引用終り)
以上