>>750 補足
>数学でしばしば、よく使われる表現がある
>”無限の対象で，任意の有限部分族がｘｘのとき，（全体でも）ｘｘ”という言い回しは覚えておくべき
>コンパクト性定理は、レーベンハイムスコーレムの定理の証明でも使われたという 由緒正しい言い回し

いい子は、下記の en.wikipedia Compactness theorem を見ておこうね
常に成り立つわけではないが、それなりに役に立つ

なお、こんなところに 「コンパクト空間の積はコンパクトであるというチホノフの定理[ 1 ]をコンパクトストーン空間に適用した結果である」と来ました
へへー、すごいね チホノフさん （＾＾

まあ、少なくとも 時枝さんの >>729 "(2)有限の極限として間接に扱う"は、完全に言いがかりにすぎない
（多分、時枝さんは 単純に 「有限の独立→無限の独立」を思い描いたのだろうけど ）
チホノフちゃんに、叱られる （NHK TV番組ダジャレ）（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Compactness_theorem
Compactness theorem
(google訳)
数理論理学において、コンパクト性定理は、一階述語論理の文の集合がモデルを持つのは、その集合のすべての有限部分集合がモデルを持つ場合に限る、と述べている。この定理はモデル理論において重要なツールであり、有限的に無矛盾な任意の文の集合のモデルを構築するための有用な（ただし一般的には効果的ではない）方法を提供する。

命題論理のコンパクト性定理は、コンパクト空間の積はコンパクトであるというチホノフの定理[ 1 ]をコンパクトストーン空間に適用した結果である。そのため、この定理は「コンパクト性定理」と名付けられている。同様に、位相空間におけるコンパクト性の有限交差特性による特徴付けと類似している。コンパクト空間内の閉集合の集合は、すべての有限部分集合が空でない交差を持つ場合に空でない交差を持つ。

コンパクト性定理は、下方レーヴェンハイム・スコレム定理とともに、リンドストロームの定理で一階述語論理を特徴づけるために用いられる2つの重要な性質の1つである。コンパクト性定理は一階述語論理以外にも一般化されることがあるが、ごく限られた例を除いて、コンパクト性定理自体はそれらの論理では成り立たない。[ 2 ]

https://mathlog.info/articles/lcJwAZabmAWGi1RZXSsE
3つの方法による命題論理のコンパクト性定理の証明
Mathlog
2024/06/08 — 今回は完全性定理,超限帰納法, Tychonoffの定理といった3つの方法を用いて命題論理のコンパクト性定理の証明をしました.多くの教科書は完全性定理の系 ...