>>75 戻る
(引用開始)
(参考)
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大
過去の大学院入試問題
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2024_R6_kyotsu.pdf
2024(令和6)年度
数学共通問題
問２
(R, Ｏ)をR上の通常のユークリッド距離から定まる位相Ｏをもつ位相空間とする.
またX= {x∈R ｜x ∉ Q, x^2 <=2 }とし，ＯxをＯから定まるx上の相対位相とする．
以下の問いに答えよ．

(1) Xの部分集合U={x∈Ｘ ｜ 0<x<1 }は位相空間(X, Ｏx)の開集合かつ閉集合
であることを示せ．
(引用終り)

>>79より 参考引用
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E7%9B%B8
部分位相空間（ぶぶんいそうくうかん、英: [topological] subspace）とは、数学の位相空間論周辺分野における概念の1つで、位相空間の部分集合でもとの空間から由来する自然な位相を備えたものをいう。そのような位相は、部分空間位相 (subspace topology), 相対位相 (relative topology) あるいはトレース位相 (trace topology) などと呼ばれる。
定義
与えられた位相空間 (X, τ) と X の部分集合 S に対し、S 上の相対位相は
τS={S∩U∣U∈τ}
で定義される。
つまり、S の部分集合が相対位相に関して S の開緒W合であるためｂﾌ必要十分条件ｂﾍ、それが X の開集合（τ に属する元）との交わりに書けることである。
S が相対位相 τS を備えているならば、S はそれ自身位相空間 (S, τS) を成し、(X, τ) の部分空間と呼ばれる。
特に断らない限り、位相空間の部分集合には、相対位相が入っているものと仮定するのが普通である。
(引用終り)

＜解答＞
(親の)位相空間Rでの開集合で開区間 (0,1)が取れる
これと X= {x∈R ｜x ∉ Q, x^2 <=2 }の共通部分として
X内の開区間 (0,1)' がとれる。（ (0,1)' は、記号の濫用で区間 (0,1)の無理数の集合）
つまり (0,1)'＝{x∈Ｘ ｜ 0<x<1 }＝U である
(0,1)'は、相対位相であり 開集合である

次に、Uの補集合Ucを考えると
同様に記号の濫用で
Uc=（-√2,0)'∪（1,√2)' と書ける
（-√2,0)'と（1,√2)'は、もとのR中では （-√2,0)と（1,√2)に相当して R中での開集合
ゆえに
（-√2,0)'と（1,√2)'の２つは、相対位相なので それぞれ開集合
開集合の和集合は開集合である
よって 補集合Ucが開集合であるから Uは閉集合となる
即ち、U は位相空間(X, Ｏx)の開集合かつ閉集合である■