大学数学の質問スレ Part3

無くなってたので立て直し

※前スレ
大学数学の質問スレ Part2
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772176637/

結果が他の数学と繋がってるわけでもないのだし

>>664
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解法は「ナポレオンの三角形」で検索

三辺の外側、または内側に正三角形をとったとき
重心を結ぶと正三角形になる
これをナポレオンの定理という

証明はベクトルの回転を含むため
回転が虚数倍で処理できる複素数平面を使うのが
定石となっている
この問題の出題者もそれを想定しているはず

あと解は ∠B＝60° だけでよい

>>668
60度だけでよかったな
ミスった

おまえも自己顕示欲がつよいなｗ

チャレンジ精神

>>670
どちらかというと情報顕示欲

>>665
>一般にはPBXQが平行四辺形になる
Xが直線PQ上にあるのに？

>>673
PXQBって言いたかったんじゃない？

実際平行四辺形になってるらしいがガバガバだな

これで十分

【2ちゃん】荒らし・煽り・叩き【真理】
lavender.5ch.net/test/read.cgi/psycho/1288649345/

質問にお答えいただきありがとうございます。
AIによると「△ABCは正三角形または頂角が120度の二等辺三角形」と答えが返ってきましたが、違うようですね

自分の中で解答があるの？
大丈夫かね…。

初等幾何やりたいなら一生幾何学大辞典でも読んでろ

岩田至康

1/(x-100) のx→∞での極限は、x=100のところで爆発するので極限値は存在しないんじゃないんですか＞

解の爆発

不可解

ラプラス変換って工学部とかとくらべて数学科ではあまりやらないような気がするですがなぜですか。

積分核・積分作用素の1つのサンプルに過ぎないからでは
知らんけど

ほら、私は質問も出題もしないでしょう？
ちゃんと答えていただければ満足するんですよ

演算子法は使えない

>>660
この問題のさらなる発展はありませんか？

>>688
高校数学スレで

微分方程式
y'+exp(-xy)=0
x=0のとき、y=1
について、以下の問いに答えよ。

（1）この微分方程式は解を持つことを証明せよ。

（2）xがすべての実数を変化するとき、yには上界と下界が存在するかどうか判定せよ。

e^(-xy)が連続だから存在は一発だけど定義域がR全体になルンかいな
y'<0だけど何らかのyかy'の評価がいるのが示せん
y''-(y+xy')e^(-xy)=0
からy''>0が言えルンかな？
ならR全域で定義できるんなら上界はないか
下界はありそうな気も

>>686
「他人が自分をどう理解するか」が大事だからそのコメントをしたんだよね
「自分が数学をどう理解するか」ではなく

右辺が全てのx,yで局所リプシッツ連続なら定義域は実数全体でしょ

うそついた orz
いいえ、局所リプシッツ連続なだけでは、\(R\) 全体で定義された解を持つとは限りません。有限時間で解が発散（爆発）してしまう反例が存在します。例えば、微分方程式 \(\frac{dy}{dx} = y^2\) を考えます。この関数 \(F(x,y) = y^2\) は \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) 上で局所リプシッツ連続です。しかし、初期条件を \(y(0) = 1\) とすると、解は \(y(x) = \frac{1}{1-x}\) となり、\(x \to 1\) のときに発散してしまうため、\(x = 1\) 以降は解を延長できなくなります。\(R\) 全体で大域的な解が存在するためには、リプシッツ連続性に加えて、関数 \(F(x,y)\) の増大度が線形以下（\(\vert{}F(x,y)\vert{} \le A(x)\vert{}y\vert{} + B(x)\) の形）に抑えられている必要があります。

R^2全体でリプシッツ連続で示せるのは
どこの近傍でも解がある
だけだと思うから
それをつなげてもどこまでつなげられるか保証が無い
ただ
そのように拡張して最大の定義域を取ったとき
それが有界なら
その端点では±∞に発散すると思う
（sin(1/x)みたく有界かつ発散なら端点の近傍で解があることに反するだろう）
定義域が無限に広い場合
無限に広い方向では有界になるかも

text【微分方程式 y' = -e^(-xy) (y(0) > 0) の有限時間発散の厳密な証明】

この方程式の解が、有限の x で「必ず -∞ に発散（爆発現象）する」ことの証明の大筋です。
論理は以下の2ステップで完結します。

1. 負の領域への進入（背理法）
すべての x >= 0 で y(x) >= 0（正のまま存在）と仮定します。
このとき積は常に xy >= 0 なので、指数関数の性質から e^(-xy) <= 1 です。
元の式に当てはめると、導関数の上界は常に y' <= -1 となります。
これを 0 から x まで積分すると、 y(x) <= y(0) - x が得られます。
右辺は直線的に減少するため、x > y(0) では y(x) < 0 となり、最初の仮定に矛盾します。
したがって、解は永遠に正のままではいられず、有限の x で必ず 0 を通過して負の領域に入ります。

2. 有限時間での発散（比較定理）
解が負になったある点を (x0, y0) [ただし x0 > 0, y0 < 0] とします。
x >= x0 かつ y <= y0 < 0 の領域では、双方の符号が負であることから、
-xy >= -x0 * y が成り立ちます。
これを元の式に適用すると、次の微分不等式が作れます。
y' = -e^(-xy) <= -e^(-x0 * y)

ここで、右辺を等号とした比較方程式「z' = -e^(-x0 * z)」を導入します。
比較定理より、元の解は常にこの比較解以下（y(x) <= z(x)）になります。
この比較方程式は変数分離形なので厳密に解くことができ、以下の解が得られます。
z(x) = (1 / x0) * ln[ e^(x0 * y0) - x0 * (x - x0) ]

対数関数 ln(X) は、中身が +0 に近づくとき -∞ に発散します。
上式のカッコの中身が 0 になるのは、以下の有限の x_max のときです。
x_max = x0 + (e^(x0 * y0) / x0)

元の解 y(x) は、この z(x) よりも常に小さいため、遅くともこの有限の値 x_max に達する前に必ず -∞ へと発散（爆発）することが数学的に厳密に証明されます。

>>696
>右辺は直線的に減少するため、x > y(0) では y(x) < 0 となり、最初の仮定に矛盾します。
x>y(0)となることがあることは？つまり定義域がそこ超えるのは自明で良いのかな
まあたぶんいいのかな

でも
最初にx=0を含む最大の定義区間のことを考察しておくべきじゃないだろうか

>>690
実験させてみたが
-2<x<2あたりの範囲で？
∞から-∞まで変化する関数になりそう

>>695
>R^2全体でリプシッツ連続で示せるのは
>どこの近傍でも解がある
>だけだと思うから
解があって一意

厳密に求められないので逐次近似でグラフ化してみたら
-0.873<x<1.821
ぐらいの範囲で定義され
境界では
y→∞(x→-0.873)
y→-∞(x→1.821)
となるグラフが出てきた
これホントに正しいグラフかなあ
逐次近似だから眉唾だけど
値がy→±∞は正しそう

>>690
x⇔y
入れ替えて
y'+exp(xy)=0
y(1)=0
の上界と下界も面白くね？

>>701
>これホントに正しいグラフかなあ
たぶん正しいグラフ

>>690
いつもの出題野郎なのに、なんでこの問題だけは解かれてるわけ？

>>704
微分方程式だから

次は出題スレに誘導する？

学習指導要領

即答だけが取り柄のダボハゼ爺

y=(√3)*tan(πx)　(0<x<1/2) のグラフ上の有理点は
(1/6,1) と (1/3, 3) だけでしょうか。

出題スレで

格子模型の境界を射影多様体的に張り合わせると面白いことは起きるか起きないか

シュワルツ超関数は必要な計算規則から一意に定義されるか？

スペクトル系列は整係数ホモロジーの捩れも計算できるの？

スタックはスキームより相当難しいと聞いたけどたとえば？

大学数学の「質問」をしてみたよ

分かる人が教えてくれるのをじっと待つのね

本当に答えられるのかね
5chにいるような人達が

さあ？

院試レベルとかまでならスレは機能するかも。

俺もその質問のいくつかは答えてもいいけど
完全に理解していると思われるて
細かいとこ突かれるの面倒くさいし
答えないかな

専門に分化しすぎでは苦しいと思う、あちぃ。

流石にその程度なら
「身バレ」は気にしなくていいけど
その先あたりだと答えることが
「身バレ」になりかねないことある

少し答えられるのなら良いんじゃないの。
深いところなら突っ込む難易度も上がると思われる。
難癖つけてくる人は気にしないことだよ。

専門バカは
自分の辿ってきた途がアタリマエに思ってるから
それがどんな特殊な途なのか
あまり気にしてなかったりするしね

バレるかねぇ？
そんな心配は不要だと思う。
ただ、適当にされた質問には答えづらいと思う。

まあ５ｃｈに書く人は流石にそれを気にするだろうから
あまり専門性の強い質問には答えない人も多かろうよ

>>725
不用に思う人が答えて上げたら？

逆に思わせぶりなことを書くほうが宜しくないと思う。
答えるときは分かる範囲でやって、答えないときは明確にスルーした方が、私は見ていて気持ちが良い。

身バレするほど専門的ではないだろう
スタックの話は何を話すかによるけど

>>727
私は分からんよw
ホモロジーも難しそうだから、今はルベーグを我慢強くやっている。
これは一通りやり遂げるつもり。

どれも各専攻の人なら誰でも答えられる範囲だと思う
数理物理→格子模型の境界を射影多様体的に張り合わせると面白いことは起きるか起きないか
解析→シュワルツ超関数は必要な計算規則から一意に定義されるか？
幾何→スペクトル系列は整係数ホモロジーの捩れも計算できるの？
代数→スタックはスキームより相当難しいと聞いたけどたとえば？

>>728
他人に自分の規範を強要するゲス爺

>>731
あとは誰か答えてくれる人をじっと待つ

>>732
>>720なら、書いて見れば良いじゃん。
思わせぶりは好きじゃないのだよ。
とりあえず、俺は茶々は入れない。
なぜなら、分からんからだw
分からないことを分からないとはっきり言うことは、誠実なことであると思われる。

>>734
他人に自分の規範を強要するゲス爺

>>734
>>>720なら、書いて見れば良いじゃん。
それは嘘だから書けないんだよ

ぷっ
>シュワルツ超関数は必要な計算規則から一意に定義されるか？

>>737
どこまで条件課したら一意になんの

スペクトル系列の話はもっというとマイヤーヴィートリス完全系列より真に計算能力が上かって話

初等幾何はどんな難問であっても大学数学とは認められませんか？

初等

>>740
現代数学の高度な知識を使うなら大学数学になるんじゃない？
たとえば作図可能性はガロア理論に繋がるから大学数学扱い

無限小ピクチャーの作図可能性問題

>>734
荒らしに誠実ｗ

だって、大学数学の書き込み少ないじゃん。
レスできることないんすけどw

こっちは勉強中のこととかも書いて、話を広げようとしてんのにw
ンモー
かりあげくんお疲れ様でした。

>>745
格子模型の境界を射影多様体的に張り合わせると面白いことは起きるか起きないか
シュワルツ超関数は必要な計算規則から一意に定義されるか？
スペクトル系列は整係数ホモロジーの捩れも計算できるの？
スタックはスキームより相当難しいと聞いたけどたとえば？

格子模型の境界を射影多様体的に張り合わせると面白いことは起きるか起きないか
シュワルツ超関数は必要な計算規則から一意に定義されるか？
スペクトル系列は整係数ホモロジーの捩れも計算できるの？
スタックはスキームより相当難しいと聞いたけどたとえば？

どれも答えられないのなら、このスレは高くとも学部レベルの質問限定だね

>>746
誇るゲス爺

>>748
いいんじゃないの？
もとは「大学学部レベル数学の質問スレ」だったし
それ以上の所は答えるのを憚る人も多そう

しかし
学部レベルに限定しない方が面白い話題が出ていいと思うけどね
答える人が居なくてもいいし
もしかしたら答える人も居るかも知れないし

ほとんどの大学で数学は生まれていない
日本で数学の生まれる場所といえば

大学レベルの話が出来ないから高校レベルの話をしようはよく分からない…

>>736
嘘って質問じゃないってことかい？
別にそうでも答えることは出来るんじゃないの。

>>750
どのくらいのことを書いたら身バレすると思ってるの？

憚るとか言ってるけども。

スペクトル系列とかよく分からんけど
完全系列は最近習ったぜ
可解群ってこうやって定義されてたんだな

↑
まだまだ道は遠い

このすれ3スレ前に荒らししかいなくなったので不要だったはずなのに、1のお坊ちゃんが新スレたてた。荒らししかいなくても当然

part1からそうだった

>>758
数学って学ぶこと沢山あって飽きないよね

>>759
そんなことは無い
大学数学全般に関するスレは欲しいね

ここは大学数学の質問スレで大学数学全般に関するスレではないｗ

大学学部レベル数学では無くてて言う意味ね

微分方程式について質問します
y'+exp(-x)y=0
y(0)=1
を解いてください