>>231
ξn=(Xn,Yn)
(ξn)がコーシー列とは
0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: ξi<ξj+ε∧ξj<ξi+ε
ということだが
ε>0
なので
0<ε∈Q
でよくて
ξi=(XiYi)<ξj+ε=(Xj+ε,Yj+ε)
とは
Xi⊂Xj+ε
ξj=(XjYj)<ξi+ε=(Xi+ε,Yi+ε)
とは
Xj⊂Xi+ε
てこと
つまりコーシー列であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i,j∈N: Xi⊂Xj+ε∧Xj⊂Xi+ε
が成立するということ
そして
η=(X,Y)
が
η=limξn
であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: Xi⊂X+ε∧X⊂Xi+ε
ということ
ここで
X=∩Xj
とすると
n<i,j
について
X⊂Xj⊂Xi+ε
はOK
Xi⊂Xj+ε
より
Xi⊂∩Xj+ε=X+ε
もOKだから
このηが
η=limξn
ということすなわち
R={(X,Y)|X,Y≠φ,X∪Y=Q,∀x∈X,∀y∈Y,∃z∈Y: x<z<y}
は完備