スレタイ箱入り無数目を語る部屋31(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part5ｗ)

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/
前スレ スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part4ｗ)

(参考)時枝記事
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

つづき

３．
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列s^1,s^2，・・・，s^100を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， s^1〜s^(k-l),s^(k+l)〜s^100の決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
　いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(s^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってs^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s^k) が取り出せるので
(代表)列r のD番目の実数rDを見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はs^k(D)＝rDと賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・, rD：ここで^kは上付き添え字、(D+l), Dなどは下付添え字

さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」

さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」

つづく

つづき

＜(類似)吉田大学 札つきの定理＞
https://www.bookshop-ps.com/bsp/bsp_magcode?sha=1&sho=0779903125
BOOK 月刊ｆｌｏｗｅｒｓ 3月号（発売日: 2025/01/28）
［数字であそぼ。］　絹田村子　第７６話　札つきの定理 39
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%97%E3%81%A7%E3%81%82%E3%81%9D%E3%81%BC%E3%80%82
『数字であそぼ。』
作品は京都大学数学科出身者に取材した内容を元にしており
ストーリーは先にシチュエーションを考え、数学科出身の人に数学ネタをどう絡められるか意見を聞きながら組み立てている[5][9]。逆に数学のネタが最初にあり、そこからストーリーにしている話もある[5]。

https://imgur.com/YBM7QSE
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 1 P40 251220.jpg
https://imgur.com/gl39oJc
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 2 P42 251220.jpg
https://imgur.com/1E6b4P9
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 3 P60 251220.jpg
・(可算)無限個のサイコロが振られ隠されている
・２列に並べる
次にサイコロの目の並び{1,2,3,4,5,6}^Nに
有限個の違いを無視する同値関係を入れる
そしてその各同値類について代表元を選んでおく（選択公理により可能）
・１列目のサイコロの目を確認し
それが属する同値類の代表元と
１列目が一致し始めるのがn1個目とする *)
２列目についてその代表元が一致し始めるのが
n2番目とすると、
対称性からn1<n2となる確率は1/2以下
・2列目のn1個目をのぞくサイコロの目を確認し
それが属する同値類の代表元のn1個目の目と
2列目のn1個目のサイコロの目が
一致する確率は1/2以上
（ *)注：ｎ(1)→n1 ｎ(2)→n2 と略記した）

https://imgur.com/njEDHkd
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 4 P62 251220.jpg
https://imgur.com/wHI3DZv
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 5 P64 251220.jpg
・この問題の方法は成り立たない
・n1,n2は確率変数になっていないから
https://imgur.com/iR4UNuV
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 6 P66 251220.jpg
・”ランダムに選んだ自然数のどちらが大きいか”みたいな話に結局なっちゃう
・なるほどな 確かにそうだよな！
(引用終り)

＜余録＞
第76話の最後から第77話への部分下記
https://imgur.com/sYOVZhR
吉田大学 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子の 9 P72 251220

つづく

sage

つづき

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
（Denis質問）
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.
（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
（Huynh氏）
If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.

mathoverflowは時枝類似で
・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
　Denisの経歴で、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しいらしい
・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています

なお ”試しに"Alex Pruss Conglomerability"で検索した結果 Alexander Pruss本人のBlogが見つかった”スレ25 414-415
https://alexanderpruss.blogspot.com/2024/09/independence-conglomerability.html
Alexander Pruss's Blog September 11, 2024
Independence conglomerability
Conglomerability says that if you have an event E and a partition {Ri : i ∈ I} of the probability space, then if P(E∣Ri) ≥ λ for all i, we likewise have P(E) ≥ λ.
Conglomerabilityとは、ある事象Eと確率空間の分割{Ri:i∈I} があるとき、
すべてのi に対してP(E∣Ri) ≥λならば、同様にP(E) ≥λ が成り立つというものである。
Example: I am going to uniformly randomly choose a positive integer (using a countably infinite fair lottery, assuming for the sake of argument such is possible). For each positive integer n, you have a game available to you: the game is one you win if n is no less than the number I am going to pick. You despair: there is no way for you to have any chance to win, because whatever positive integer n you choose, I am infinitely more likely to get a number bigger than n than a number less than or equal to n, so the chance of you winning is zero or infinitesimal regardless which game you pick.

つづく

つづき
But then you have a brilliant idea. If instead of you choosing a specific number, you independently uniformly choose a positive integer n, the probability of you winning will be at least 1/2 by symmetry. Thus a situation with two independent countably infinite fair lotteries and a symmetry constraint that probabilities don’t change when you swap the lotteries with each other violates independence conglomerability.

なお、検索 a countably infinite fair lottery で、下記ヒット ノンスタ使って、うんぬんかんぬん。でも、”1/2 by symmetry”は出てこなかったので ダメみたいですね
https://philarchive.org/archive/WENFIL
Synthese DOI 10.1007/s11229-010-9836-x
Fair infinite lotteries Sylvia Wenmackers · Leon Horsten
Received: 2 September 2010 / Accepted: 14 October 2010 ©TheAuthor(s) 2010. This article is published with open access at Springerlink.com
Abstract
This article discusses how the concept of a fair finite lottery can best be extended to denumerably infinite lotteries. Techniques and ideas from non-standard analysis are brought to bear on the problem.

(参考)
http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf?
Choice Games November 4, 2013
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.

Sergiu Hart氏は、ちゃんと”シャレ”が分かっている（関西人かもｗ）
Some nice puzzles Choice Games と、”おちゃらけ”であることを示している
かつ、”P2 Remark.”で当てられないと暗示している
また、”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”
で、選択公理なしで同じことが成り立つから、”選択公理”は、単なる目くらましってことも暗示している

つづく

つづき
<時系列>
1)(最初はこれだろう。Sergiu Hartの文書から)
http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/
Written by mkoconnor August 23, 2008
About：my name is Michael O’Connor. I received my Ph.D. in mathematics from Cornell in August 2008.

2)>>6
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013 Sergiu Hart http://www.ma.huji.ac.il/hart/
注記：Source unknown. I heard it from Benjy Weiss, who heard it from ..., who heard it from ... . For a related problem, see http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/
P2：Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0,1] and {0,1,...,9}, respectively.
とあり、コルモゴロフ拡張定理により Choice Games がトリックであることを示唆している

3)>>5
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 Denis
” I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N−1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
注記
https://mathoverflow.net/users/21059/denis
Denis ENS Lyon, Lyon, France http://perso.ens-lyon.fr/denis.kuperberg
ENS：高等師範学校 (パリ) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%B8%AB%E7%AF%84%E5%AD%A6%E6%A0%A1_(%E3%83%91%E3%83%AA)
(たぶんENSの)”other people”は、”argue it's not ok”

4)>>1
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目(数学セミナー201511月号)前
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目(数学セミナー201511月号)後
注)
”この問題は Peter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい”と
また
”本記事の目的は，確率99% で勝てそうな戦略を供することにある”
(『勝てそうな』としているところにご注目。『勝てる戦略』ではない！ｗ)

5)>>4
数字であそぼ第76話 札付きの定理 小学館絹田村子
https://imgur.com/1E6b4P9
https://imgur.com/wHI3DZv
https://imgur.com/iR4UNuV

https://www.bookshop-ps.com/bsp/bsp_magcode?sha=1&sho=0779903125
BOOK 月刊flowers3月号(2025/01/28)
［数字であそぼ］札つきの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%97%E3%81%A7%E3%81%82%E3%81%9D%E3%81%BC%E3%80%82
作品は京都大学数学科出身者に取材した内容を元にしており
ストーリーは先にシチュエーションを考え、数学科出身の人に数学ネタをどう絡められるか意見を聞きながら組み立てている[5][9]。逆に数学のネタが最初にあり、そこからストーリーにしている話もある
つづく

つづき

だめなのは、時枝記事だ。まあ、題名はおちゃらけだが、もっとはっきり、数学パズルとした方がよかったろう
非可測で、ヴィタリに言及しているのが、ミスリードだ
Hart氏の”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”のように、選択公理不使用のGAME2があるから、
ソロヴェイの定理（下記 wikipedia ご参照）から、ヴィタリのような非可測は否定される
conglomerabilityか、あるいは総和ないし積分が発散する非正規な分布により、可測性が保証されないと考えるべき
時枝氏は、確率変数の無限族の独立性が理解できていないのも痛いね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AD%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
ソロヴェイモデル
ソロヴェイモデルはロバート M. ソロヴェイ (1970)によって構成されたモデルでツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) の全ての公理が成り立ち、選択公理を除去し、実数の集合が全てルベーグ可測であるようにしたものである。この構成は到達不能基数の存在に依拠している。
これによってソロヴェイはルベーグ不可測集合の存在をZFC (ZF+選択公理) から証明するには、少なくとも到達不能基数の存在がZFCと矛盾しない限り、選択公理が本質的に必要であることを示した。
ステートメント
DC は従属選択公理の略記とする。
ソロヴェイの定理は次のことである。 到達不能基数の存在を仮定する。このとき、適切な強制拡大 V[G] の ZF+DC の内部モデルであって、実数のいかなる集合も全て、ルベーグ可測であって perfect set property を満たしベールの性質を満たすというモデルがある。
構成
ソロヴェイはそのモデルを二つのステップによって構成した。まず初めに、到達不能基数 κ を含む ZFC のモデル M から始める。
最初のステップでは M のレヴィ崩壊 M[G] を取る。
略
(引用終り)

つづく

つづき

（完全勝利宣言！ｗ）（＾＾
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1666352731/767 スレ4 (775の修正を追加済み)
>>701-702 補足説明
　>>760にも書いたが、
”　a)確率上、開けた箱と開けてない箱とは、扱いが違う”>>701
をベースに、時枝記事>>1のトリックを、うまく説明できると思う

１）いま、時枝記事のように
　問題の列を100列に並べる
　1〜100列 のいずれか、k列を選ぶ(1<=k<=100)
　k以外の列を開け、99列の決定番号の最大値をdmax99 とする
　k列は未開封なので、確率変数のままだ
　なので、k列の決定番号をXdkと書く
２）もし、Xdk<=dmax99 となれば、dmax99+1以降の箱を開けて
　k列の属する同値類を知り、代表列を知り、dmax99番目の箱の数を参照して
　その値を問題のk列の箱の数とすれば、勝てる
（∵決定番号の定義より、dmax99番目の箱は、問題のk列とその代表とで一致しているから）
３）しかし、決定番号は、
　自然数N同様に非正則分布>>13だから、これは言えない
　つまり、確率はP(Xdk<=dmax99)=0 とすべきだ
（非正則分布なので、上限なく発散しているので、dmax99<=Xdk となる場合が殆ど）
４）もし、決定番号が、[0,M]（Mは有限の正整数）の一様分布ならば
　dmax99が分かれば、例えば、
　0<=dmax99<=M/2 ならば、勝つ確率は1/2以下
　M/2<=dmax99<=M ならば、勝つ確率は1/2以上
　と推察できて
　それを繰り返せば、大数の法則で、P(Xdk<=dmax99)=99/100が言えるだろう
（注：dmax99は、100列中の99列の最大値なので、P(Xdk<=dmax99)=99/100が正しいだろう）
　しかし、非正則分布では、このような大数の法則は適用できない
５）人は無意識に、決定番号も正則分布のように錯覚して、トリックに嵌まるのです
　しかし、非正則分布では、大数の法則も使えない
　結局、時枝記事の99/100は、だましのトリックってことです

つづく

sage

つづき

さて、上記を補足します

１）いま、加算無限の箱が、iid 独立同分布 とします
　箱を、加算無限個の確立変数の族 X1,X2,・・Xi・・ として扱うのが
　現代の確率論の常套手段です
２）いま、サイコロ1〜6の数字を入れるならば、任意Xiの的中確率は1/6
　コイントス 0,1の数字を入れるならば、的中確率は1/2
　もし、区間[0,1]の実数を入れるならば、的中確率は0
　もちろん、時枝記事の通り任意実数r∈Rならば やはり、的中確率は0
　です
３）ところが、時枝記事では、確立変数の族 X1,X2,・・Xi・・ を100列に並べ替え
　数列のしっぽ同値類の類別と、類別の代表を使って、決定番号を決めて
　決定番号の大小比較から、ある箱Xjについて、的中確率99/100に改善できる
　と主張します
４）「そんなバカな！」というのが、上記の主張です

マジ基地は無視してさらに補足します

１）時枝記事の決定番号をdとすると、dは1から無限大(∞)までを渡ります
　このような場合、しばしば非正則分布（正則でない）を成します（下記）
２）非正則分布の場合、全体が無限大に発散して、平均値も無限大になり
　分散や標準偏差σなども、無限大に発散します
３）具体例として、テスト回数無限回の合計点で成績評価をする場合を考えます
　テスト回数が、１回、２回、・・n回、・・
　もし、テスト回数が有限なら 例えば100回で1回の満点100点として、総計10,000(1万)点ですが
　テスト回数が無限回ならば、毎回1点の人の総計も無限大(∞)に発散し
　毎回100点満点の人の総計も無限大に発散しまず
　試験の点の合計では、毎回1点の人も毎回100点も区別ができなくなります
　この合計については、平均は無限大、分散や標準偏差σなども無限大に発散します
４）ところで、時枝氏の数学セミナー201511月号の記事では
　このような非正則分布を成す決定番号を、あたかも平均値や分散・標準偏差σが有限である
　正則分布のように扱い、確率 99/100とします

これは、全くのデタラメでゴマカシです

(参考)
https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
AVILEN Inc. 2020
2020/04/14
非正則事前分布とは？〜完全なる無情報事前分布〜
ライター：古澤嘉啓
目次
1 非正則な分布とは？一様分布との比較
2 非正則分布は確率分布ではない！？
3 非正則事前分布は完全なる無情報事前分布
4 まとめ

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
2013年度前期 確率論基礎
Ｐ7
確率空間例サイコロ投げの場合
確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N∋ω＝{ω1,ω2,・・・}
ωnは1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す．
確率はη1,η2,・・・ηnを与えて
P(ω1=η1,ω2=η2,・・・ωn=ηn)＝(1/6)^n
と定めればよい．これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorovの拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

つづく

つづき

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1710632805/536 スレ18
再録>>150より
　>・箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う
　入れた目をx、賭ける目をyと書く
　xが確率変数ならばyに依存せず的中確率=1/6であるはず
　しかし実際には　x=yのとき的中確率=1　x≠yのとき的中確率=0
　よって矛盾
　よってxは確率変数でない
　一方、yをランダム選択した場合、yが確率変数である
　実際、この場合はxに依存せず的中確率=1/6である
　以上の通り、「見えないもの＝確率変数」は間違い
(引用終り)

・そういえば、中学生の時代に似た疑問をもった記憶がある
　この話は記憶の彼方（解決したのか不明）
・さていま考えてみると、>>99の2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”の応用で解ける
　>>209よりこの問題のΩは、”サイコロを2回ふったとき”
　Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
　(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
　(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
　(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
　(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
　(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}で
　組合せ6x6の36通り、２次元で考える必要がある
　サイコロ1回だとΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　普通のサイコロだと確率は各1/6ですが、いびつサイコロだと確率p1,p2,p3,p4,p5,p6≠1/6 で扱う
・いま、簡単に箱一つ 正常なサイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6
　一方数当ての人が唱える数が、1〜6のランダムとして、これを確率変数Yで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6
　よって、的中は同じ数で揃った場合で、(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の6通り 6＊1/36＝1/6で理論通り
・別に、数当ての人が唱える数が 1〜6だが偏りがあるとして p'1,p'2,p'3,p'4,p'5,p'6≠1/6(どれかは1/6ではないが 総和Σi=1〜6 p'i =1)
　とすると、確率 1/6*p'1+1/6*p'2+1/6*p'3+1/6*p'4+1/6*p'5+1/6*p'6
　＝1/6(p'1+p'2+p'3+p'4+p'5+p'6）＝1/6(つまり理論通り)
　サイコロが正常だと、数当ての人が唱える数に偏りがあっても、的中確率1/6
・さて、的中確率1/6に成らない場合がある
　例えば、偏ったサイコロで3が出やすく確率1/2とする。それを見抜いた数当ての人が唱える数が常に3なら的中確率1/2になる

よって、「箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う」として 矛盾はない！

つづく

つづき

(参考)
mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画
確率 – 2008年東工大 数学 第3問 20230227
2008年東工大 数学 第3問 はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです。
2008年東工大 数学 第3問
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする。
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。

<解答例>
　いま、各目の確率をpi (i=1〜6)とする。Σpi＝1である(ここにΣはi=1〜6の和を表す（以下同じ）)
　なお いびつなサイコロなので、必ずしもpi=1/6ではない
　偏差σ＝Σ(pi-1/6)^2を考える。平方の部分(pi-1/6)^2 を展開すると
　σ＝Σ(pi)^2-Σ2(1/6)pi+6(1/6)^2 (ここで P=Σ(pi)^2 及び Σpi＝1 に注意すると)
　σ＝P-1/3+1/6＝P-1/6 ≧0 となる（最後の不等式≧の部分は、冒頭の偏差σ＝Σ(pi-1/6)^2（平方の和)≧0から従う）
　よって、P≧1/6で、等号成立はすべてのi=1〜6で pi=1/6の場合のみ（つまり、正規のサイコロの場合）
上記の解答例で
i)”各目の確率をpi (i=1〜6)とする”のが、確率変数の考えですよ
　（確率変数Xで ｆ：X=i → pi という対応が成立している）
ii)これをベースに、各piから問の”サイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をP”に落とし込むのが上記解法です
iii)『箱の中にサイコロの目を入れた時点である一つの目に固定され、他の目の可能性はゼロ』
　という妄想に走ると、2008年東工大の確率の問題は解けなくなります！

つづく

つづき

あなた方は、”固定”確率論の論文を書かれたら宜しいかと思います
その論文が出るまで、相手にする必要なし
（なお、時枝氏の記事>>1には、用語”固定”は使われていない！）

＜再投稿＞
ふっふ、ほっほ
固定！ 固定！ 固定だぁ〜！かｗｗ　 ；ｐ）

じゃあ、その考えで>>791
　>>008 2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”
　mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(引用終り)

を解いてみな
解けたら、あんたの主張を認めてやるさ ；ｐ）

サイコロを振る
１回目に、出目で３が出たとする
”出目３”固定だね
いいよ、固定でｗ・・

で？ どうするの？ その後どうするの？
『(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ』
を、あなたの”固定”を使って示せ！！ｗｗ 　；ｐ）

あなたの”固定”の無力を実感しなさい！！
あなたの”固定”は、2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”の確率問題に対し 無力ですよ！！ｗｗｗ ；ｐ）

”固定”なんて、ド”ハマリ”ですよｗ ；ｐ）
確率の問題と、なんの関係もないｗｗｗ

つづく

つづき
下記関連の5つの文書で
いずれも ”固定”だの”定数”だのと
幼稚な数学の混乱をしている文書なし！
”固定”だの”定数”だのを言い出した時点で
数学ロジック破綻は明白

(参考)
1）2008年 囚人と帽子パズル が元ネタとある
http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/
Written by mkoconnor August 23, 2008
Here’s a puzzle:

2）November 4, 2013
既に述べたが Hart氏
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013 Sergiu Hart http://www.ma.huji.ac.il/hart/

3）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis

4)数学セミナー201511月号
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

5）
https://imgur.com/1E6b4P9
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 3 P60 251220.jpg
https://imgur.com/wHI3DZv
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 5 P64 251220.jpg
https://imgur.com/iR4UNuV
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 6 P66 251220.jpg
つづく

つづき

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1729769396/769 スレ26
より
769現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/10(日) 16:14:30.43ID:zvgSRz4H
>>761
(引用開始)
> その代表は、dmax+1 以降 しっぽ側の一致までは分っているが
> しかし、dmax番目の箱の中は不明だ
> 選んだ代表のdmax番目の数と 問題の残った1列のdmax番目の箱の数が一致する確率は…
　そのあとの計算って、ただ箱の中身がランダムだとした場合の計算してるだけだよね？
　つまり、問題の条件、全然使ってないよね？
　それ、君が🐎🦌ってことだよね？
(引用終り)

君は、数学の公理の考えが分ってないね
ゆとり世代の数学科オチコボレ？
昔は、小学校でユークリッド幾何の公理で、公理の考え方を叩き込まれたものだ
点とは、大きさも面積も長さも持たない
線とは、長さのみを持ち 幅は0
線分は、異なる2点を結ぶ最短の線
直線は、線分を無限に伸ばしたもの

まあ、平たくいえば 公理系は スポーツやゲームのルールみたいなものだ
ルールの中で、自分のやりたいようにして良いが、ルール違反はダメってこと

さて
いま、>>747のように j列中でどれか1列を残し 他を開けて j-1個の同値類を特定したとする
ここから j-1個の代表を選んで j-1個の決定番号を得て それらの最大値 dmaxを得る

dmaxは大きければ大きいほど良い
残した 一つの列の決定番号（いまd'とおく）より、大きければ良い
d' ≦ dmax としたい

次に、残した列のdmax+1以降のしっぽの箱を開けて、しっぽ同値類が特定できたとする
このしっぽ同値類から、出来るだけ 決定番号d'が小さくなるように 代表を選びたい
d' ≦ dmax としたい

だから、決定番号がdmax+1より大きい元（数列）は、代表として論外で捨てる
そうすると、決定番号がdmax+1以下の元（数列）が、残る
ここから、d' ≦ dmax としたい
でも、dmax番目の箱は未開封なので 箱の中の数は、未知数だ
なので、決定番号がdmax+1以下の元（数列）に絞ったあとで、”d' ≦ dmax”が実現出来るかどうかは、従来の確率論通りだ■

つづく

つづき

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1729769396/778 スレ26
より
778現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/10 ID:zvgSRz4H
>>777
>　数列なんか一つも見る前に全同値類の代表は選択されている
>　だから100列の決定番号は箱を一つも開けるまえから決まっている

ふっふ、ほっほ

　（>>719より再録）
3）結局、手順が異なると 異なる確率計算結果になるのは、決定番号を使う確率計算というものは
　well-defined でないってことだ（下記 『最終的な結論が中途の表式に依存している』）
4）そして、その原因は テンプレの>>4-5 に引用してあるが
　 ”infinite fair lottery”状態
　つまり、決定番号が自然数N全体を渡り Ω＝N で P(Ω)＝1とできない（Ωが無限大に発散）
　だってことだね
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined[注釈 1]（ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う[2]。
経由する中途の表式に依存しない
往々にして、（数学上の）定義はいくつもの表式を経由する[注釈 3]。このとき、最終的な結論が中途の表式に依存している場合[注釈 4]、well-defined であるとは言えない。
つまり定めた対象が一意に存在しているとき、well-defined であるという。

つづく

つづき

rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1729769396/791 スレ26
791現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/10 ID:zvgSRz4H
>>779
>　決定番号を排除したいなら選択公理を否定するしかない
>>787
>「選択公理を仮定すれば箱入り無数目が成立する」
>を否定したいなら
>「選択公理を仮定しても箱入り無数目は成立しない」
>を示さなければならない
>選択公理は要らないとかまったくトンチンカン

ふっふ、ほっほ
おれの主張は、真逆だ

1）選択公理は、お飾りだ。選択公理の否定はしない
　肯定するよ。その上で、>>764で
『・集合族が、有限個の集合で成り立っているとき、『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
・特に、集合族が、1個の集合で成り立っているとき、『選択関数は単に要素に対応するだけなので・・、自明』
・さて、いま j列中でどれか1列を残し 他を開けて 有限j-1個の同値類を得る
　有限j-1個の同値類から、各一つの元を選んで代表とすることは、既述の通りで、ZFの定理にすぎず 選択公理は使わず済ますことは可能
・有限j-1個の同値類から、各一つの元を選んで代表として、それで 有限j-1個の決定番号が テンプレ>>1の方法で得られる』
　を示した
2）選択公理の否定はしない
　が、お飾りだ
　必要な同値類と代表と決定番号は、有限個で済んでいる
　だから、選択公理の否定はしないが、その実
　『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
　で済んでいる
3）では、選択公理の箱入り無数目における役割や如何に？
　雰囲気作りだよ
　如何にも、”パラドックスが起きます”という
　お化け屋敷において、妖しい雰囲気を醸し出す
　「選択公理を使うと過去にパラドックスが出来た事例が沢山」
　「今回も 選択公理を使うパラドックスだ」と思わせる
4）どっこい
　使っている 同値類と代表と決定番号は、有限個で済んでいる
　だから 選択公理は否定しないが
　『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
　で済んでいる

だから、「選択公理を使うパラドックス」は、今回は関係ない
今回は、決定番号で ” infinite fair lottery ”>>4-5
を使っていて、” infinite fair lottery ”で確率計算をしているのがまずいってこと
” infinite fair lottery ”では、全事象Ωが無限大に発散して
P(Ω)＝1の確率公理を満たせなくなっている
それなのに、確率計算をして 99/100 を導く
”99/100”は、決定番号を使う確率計算で well-defined でないってことだ>>778

つづく

つづき
さて
１）決定番号d は、>>278に 書いたように
　>>205 都築暢夫 広島大 の意味で、
多項式環 F[x]から、一つ d-1次多項式 f(x)を選んだことに対応することは, すでに述べた
（簡単に要約すると、1列の可算無限列 R^N を形式的冪級数(つまりは形式的冪級数F[[x]]の元)）
　と見て、一つの同値類で 形式的冪級数で
　代表 f[[x]]と 任意g[[x]]との差 g[[x]]-f[[x]]=f(x) （多項式）とできる ということ
　| f[[x]],g[[x]] ∈F[[x]] ）
２）多項式環 F[x]は、>>205 都築暢夫 広島大 の意味で、任意nに対して 常にn+1が存在し
　F[x]は、（可算）無限次元線形空間になる
３）さて、（可算）無限次元線形空間 F[x] から
　多項式を二つ f(x) m次式 ,g(x) n次式 を選んだ時
　mとnの大小比較が、確率論として成立するのか？
　が問題となる。
　ポイント（問題点）は、『F[x]は、（可算）無限次元線形空間』で、多項式の次数が発散していることだ
４）まず、ミニモデルとして
　（可算無限の）自然数Nで m,n ∈N で考えてよう
　全事象 Ω＝N とすると、明らかに 数え上げ測度 mで、m(Ω)＝∞ であり
　確率測度 P(Ω)=１を満たせない
　このようなときに、確率を考えると パラドックスが起きる場合がある
　例えば、まず先に m を取る。その後 Nからランダムにnを選ぶとする（実は ”ランダム”の定義も問題）
　そうすると、自然数Nは平均値が発散し、標準偏差も発散しれているから
　常に m<n つまり P(m<n)=1
　逆に、n を取り。その後 mを選ぶ 上記同様 P(n<m)=1 で 矛盾
５）これをベースに、>>205 都築暢夫 広島大 の意味で （可算）無限次元線形空間 F[x]を考える
　二つの多項式 f(x) m次式 ,g(x) n次式 を選んだ時
　その次数 mとnの比較もまた、上記と同じ矛盾が生じる

上記より、>>507に対する批判は
最大値関数 ”max({d(s1),...,d(s100)}-{d(si)})”が、発散する量であり
無造作に ”Di≧d(si)”としてしまっているところだね
それは ”スベっている” ということです

つづく

つづき
上記のように
決定番号の集合、それは多項式環F[x]の 元である多項式多項式 f(x)が d-1次であるとき 決定番号がdになるのだが
F[x]は、　>>205 都築暢夫 広島大 の意味で、可算無限次元線形空間になる（下記再録）
ゆえに
確率空間における全事象 Ω＝決定番号の集合（多項式環F[x]の元 多項式多項式 f(x) の次数の集合）
としたとき、Ωは無限集合ゆえ 確率公理P(Ω)=1を満たせないのです
ゆえに
箱入り無数目論法は、矛盾を含んでいるのです！！

(参考)>>205より再録
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫 広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
(引用終り)

さて
>>385 再録
1）確率論、確率過程論を知っている人ならば、「箱入り無数目」など抱腹絶倒ものｗ
　特に、確率過程論からみて全然ダメ
2）乱数理論で、乱数を箱にいれたら、当然乱数は他の箱の数を見ても当てられないはず
　当然です。「箱入り無数目」の確率99/100など、噴飯物
3）情報理論からみても、任意実数区間[a,b]｜a＜b
　の実数の的中は非可算無限の話で、可算個の実数のランダムな情報では、的中には、当然情報が不足
4）ルベーグ測度論で、任意実数区間[a,b]で、実数の一点 r∈[a,b] には
　測度は0 (零集合)にしか、なり得ない。確率99/100だ？ 馬鹿も休み休み言え！
まあ、こんな話ですね
まさに 『あほ二人の”アナグマの姿焼き"』ですｗ ；ｐ）
(引用終り)
以上

つづく

sage

sage

つづき
箱入り無数目で、一致の定理を 解析函数から 連続関数や非連続関数へ拡張できるだと？
笑えるぞ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776607345/783
[0,1]上の連続関数f,gに関して、
あるd∈Rが存在して、x>=dのとき、f(x)=g(x)となる場合、
同値とする

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776607345/808
・”箱入り無数目を完璧に言い換えたもの”ではないだろう
　箱入り無数目の亜種ではあるだろう
・さて、いま100個の関数を f1,f2,・・,fk,・・f100 ｜ k=1〜100
　と書く
・さらに それぞれの決定値をd1,d2,・・,dk,・・d100 ｜ k=1〜100
　としよう
・いま、dk以外の最大値D
　D=max(d1,d2,・・, ,・・d100) とする
　明らかに 0≦D＜1 だ
・関数fk を同定するために D＜D+ε＜1 なる
　微小なεを取って [D+ε, 1) における fk の関数値を調べることで
　fkの属する同値類が分る
・しかし、分るのはそこまで。
　関数論の教えるところ、”連続関数”という条件では
　[D+ε, 1)の関数値から fk(D)の値は決まらない！（関数論の常識）
　（∵連続関数fk(D)の取り得る値は、-∞〜+∞の実数だから）
　（”解析関数”なら可（下記一致の定理）））

余談
>germってこんな定義じゃなかったっけ

層のgermで、層で使うのは”制限写像”(下記)で 外から内部に制限すると思う
一方上記は、制限でなく 拡大だからダメじゃね？　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%87%B4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
一致の定理（Identity theorem）は、実解析と複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの解析関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。
この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
定義
前層
・開集合の包含関係 U⊂V に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像
略す
例
連続関数の層
Xを位相空間とする。X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続関数のなす空間を C(U) とかくことにする。開集合の包含関係 V ⊆ U に対して関数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることでX 上の層が得られる。点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる

つづく

つづき
アホでしょ
再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776607345/826
>(d≦Dなら決まるのが理解できてない)
>この場合有限区間にしないほうがいい感じ
>実数全体で定義された連続関数で良いね
>連続性なくてもいいから
>(ないとかえって面白みが減るかも)

そうですよ
”面白み”とか抜きにして
箱入り無数目の関数モデルへの拡張
・連続性なくてもいい
・実数全体で定義された連続関数で良い
・100個→任意n個でいい（的中確率 99/100→1-1/n）

でも、普通に ”何かへん”だと感じるだろう
その理由は、札付き・箱入り・関数モデルへの拡張などが
全事象Ωが大きすぎて、実は確率論として破綻しているということ
それで、説明がつく

つまり、下記の根元事象に等しい測度を与えると
1）可算無限の全事象Ωでは、全体の測度が無限大に発散する
2）非可算無限の全事象Ωでは、そもそも個々の根元事象の確率は 0（下記）

この二つの場合において、根元事象は零事象（存在するが確率0の存在）
つまり、”札付き・箱入り・関数モデルへの拡張”全て
根元事象が零事象なのに、d1,d2,・・,d100の大小確率を論じて
確率99/100だと言っているだけのこと■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E5%85%83%E4%BA%8B%E8%B1%A1
根元事象
根元事象の確率が互いに等しいとき、その確率空間を等確率空間という。等確率空間の標本空間は有限集合である。標本空間が無限集合ならば非等確率空間となる
根元事象の確率
標本空間が非可算集合の場合には、個々の根元事象の確率は 0 になってしまう。根元事象を非可算個集めた事象に 0 より大きい確率が定義されていると考える
つづく

つづき
なお
何をランダムとするか？
これには、長い歴史があるようです（下記）

しかし、可算無限個の箱に ”ランダムな数”（実数の乱数）を入れて、ある一つの箱の数を 開けずに 他の箱の数から 推測できるか？
的中できるという マジックｗ
それは、現代の数学の乱数の理論に、真っ向矛盾しています！！ｗ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/History_of_randomness
（google訳）
ランダム性の歴史
20世紀
20世紀には、確率論の5つの主要な解釈（古典的、論理的、頻度、傾向、主観的など）がより深く理解され、議論され、比較対照されました。[ 35 ]この世紀には、金融から物理学まで、かなりの数の応用分野が開発されました。1900年にルイ・バシュリエはブラウン運動を応用してストックオプションを評価し、金融数学と確率過程の分野を立ち上げました。

エミール・ボレルは1909年にランダム性について正式に議論した最初の数学者の一人で、正規数を導入した。[ 36 ] 1919年にリチャード・フォン・ミーゼスはギャンブルシステムの不可能性を通じてアルゴリズム的ランダム性の最初の定義を与えた。

1940年の論文「ランダム列の概念について」で、アロンゾ・チャーチはフォン・ミーゼスの形式主義における場所設定に使用される関数は、列の最初の部分の任意の関数ではなく計算可能な関数であるべきだと提案し、有効性に関するチャーチ＝チューリングのテーゼを援用した。[ 40 ] [ 41 ]

20世紀初頭の量子力学の出現と1927年のハイゼンベルクの不確定性原理の定式化により、自然の決定性に関する物理学者の間でのニュートン的考え方は終焉を迎えた。量子力学では、多くの観測可能要素が可換ではないため、システム内のすべての観測可能要素を一度にランダム変数として考える方法さえ存在しない。[ 42 ]

1940年代初頭までに、確率に対する頻度理論アプローチはウィーン学派で広く受け入れられていたが、1950年代にカール・ポパーが傾向理論を提唱した。[ 43 ] [ 44 ]頻度アプローチは「コインを一回投げる」ことを扱えず、大きな集団や集団にしか対処できないため、単一ケースの確率は傾向または偶然として扱われた。傾向の概念は、量子力学における単一ケースの確率設定、例えば特定の瞬間の特定の原子の崩壊の確率を扱いたいという欲求によっても推進された。

つづく

つづき

1948年にクロード・シャノンが情報理論を発展させたことで、ランダム性のエントロピー観が生まれた。この観点では、ランダム性は確率過程における決定論の反対である。したがって、確率システムのエントロピーがゼロであればランダム性はなく、エントロピーが増加するとランダム性も増加する。シャノンの定式化は、すべての確率が等しい場合のボルツマンの19世紀のエントロピー定式化をデフォルトとしている。 [ 46 ] [ 47 ]エントロピーは現在、熱力学から量子化学まで、科学のさまざまな分野で広く使用されている。[ 48 ]

偶然性と賭け戦略の研究のためのマルチンゲールは、1930年代にポール・レヴィによって導入され、 1950年代にジョセフ・L・ドゥーブによって形式化されました。 [ 49 ]金融理論におけるランダムウォーク仮説の応用は、 1953年にモーリス・ケンドールによって初めて提案されました。 [ 50 ]その後、ユージン・ファーマとバートン・マルキールによって推進されました。

1961 年、エドワード ローレンツは、気象シミュレーション用のコンピューター プログラムに入力された初期データにわずかな変更を加えると、気象シナリオがまったく異なる結果になる可能性があることに気づきました。これは後にバタフライ効果として知られるようになり、「ブラジルで蝶が羽ばたくと、テキサスで竜巻が発生するか?」という質問に言い換えられることがよくあります。 [ 65 ]予測可能性の重大な実際的限界の重要な例は地質学です。地質学では、地震を個別に、または統計的に予測する能力は、いまだに遠い見通しです。[ 66 ]

1970年代後半から1980年代初頭にかけて、コンピュータ科学者は、計算に意図的にランダム性を導入することが、より優れたアルゴリズムを設計するための効果的なツールになり得ることに気づき始めました。場合によっては、このようなランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的方法よりも優れたパフォーマンスを発揮します。[ 33 ]
(引用終り)
以上

sage

再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1736907570/ スレPart3
>仮に箱が透明であったとしても無数目戦略を忠実に実行すれば同じ結論が得られるが、その場合出題は明らかに定数。よって確率事象は「さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.」以外にはあり得ない。

そこ、いわゆる”ハマリ”だよ
下記 繰返しだが ご参照

1）>>1より 下記の可算無限の実数列の集合 R^N s = (s1，s2，s3 ，・・・)を
　R係数形式的冪級数環F[[x]]の元 f((x))=s1+s2x+s3x^2+・・+sn-1x^(n-2)+snx^(n-1)+・・
　に対応させる。
　しっぽ同値は、ある代表 fr((x))=sr1+sr2x+sr3x^2+・・+srn-1x^(n-2)+snx^(n-1)+・・で
　（しっぽ snx^(n-1)+・・ が一致している）
　差を取る
　 f((x))-fr((x))=s'1+s'2x+s'3x^2+・・+s'n-1x^(n-2)+s'nx^(n-1) =f(x) (n-1次多項式)
　（s'm=sm-srm | m=1,2,・・,n^1）
　と書ける
2）つまり、f((x))=fr((x))+f(x) と表される
　くどいが 形式的冪級数環F[[x]]の元f((x))は、ある代表fr((x))+f(x)(多項式)となり
　即ち 一つの同値類は 代表fr((x))に 都築の意味>>15の多項式環F[x]が加わった構造だということ
3）決定番号とは 多項式f(x)の次数+1にほかならない
　>>15都築にあるように、多項式環F[x]は無限次元線形空間で
　無限次元線形空間からベクトルを(ふつうに)チョイスすれば、当然無限次元
　有限次元ベクトルをチョイスするには、作為が必要で ここで 無作為（=ランダム）が否定され
　確率計算に使えない■

(>>847より再録。>>15もご参照）
１）>>824-827に書いたが、”箱入り” 可算無限の実数列の集合 R^N s = (s1，s2，s3 ，・・・)
　は、R係数形式的冪級数環F[[x]]の元に対応させて
　しっぽ同値は、２つの元の一致するしっぽが消えるから 多項式環F[x]の元に対応する* 　（注*後述）
　そして、都築暢夫で www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf >>802
　無限次元線形空間**になる>>15 (注**：多項式環の無限次元線形空間は、nに上限が無いという意味の可能無限)
２）さて、３次元線形空間で普通にベクトルをとれば、３次元ベクトルであって
　３次元線形空間内では
　２次元ベクトルや１次元ベクトルは 一般に退化していると言われる>>826
３）”箱入り” の決定番号は、無限次元線形空間たる多項式環F[x]の元のf(x)（n次元多項式）
　これは上記２）の退化の視点では、無限次元から有限n次に（無限に）退化したと解せられる
　別の見方をすれば、多項式環F[x]の無限次元線形空間では
　代数学におけるよう 作為でもって 有限n次元ベクトルをチョイスすることは可能だが
　しかし、
　確率に使えるような（無作為での）無限次元線形空間から 有限n次元ベクトルをチョイスすることは不可能■
（決定番号nが 有限ベクトルの次元nに相当する）
　ということ
＜参考＞
注*：
・R係数形式的冪級数環F[[x]]では、一般にx=r(∈R) のような値の代入はできないのだが
　値の代入が可能な場合がある
　いわゆる原点Oで マクローリン展開できる（多項式でない）解析関数

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/651
再録
箱入り無数目>>1は、以下の二つの点でまずい
1）選択公理を使っているが、選択公理の選択関数が測度を保証しない
　確率を論じるとき、致命傷。測度が保証されないと 確率論の外（可測性の毀損）
2）決定番号dは、無限次元線形空間内の有限次元だが
　無限次元線形空間には、普通の計量（例えばL^2）が入らない
　計量が入らない空間の有限次元dの大小確率は、測度の裏付けを欠いている■
(引用終り)

（補足）
ここは中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく
１）選択公理の選択関数は、測度を保証しない
　確率論として成り立つためには、測度の保証が必要で 可測関数である必要がある
　しかし、今の場合 選択関数は可測関数ではない
２）>>1にあるように 箱入り無数目は 実数列の集合 R^Nを考えている
　s = (s1，s2，s3 ，・・・) で
　これをベクトルと見ると 例えば有限列で
　s' = (s1，s2，s3 )ならば、３次元空間のベクトル
　ゆえに R^Nは 無限次元線形空間だが
　 例えば 計量でL^2 距離
　Σi=1〜∞ (si)^2 は まずい （∵ siが微小でも 一般に無限和は発散する）
　（蛇足 si→0 に減衰する空間に制限すれば 数学になる 例ヒルベルト空間）
　計量が入らない無限次元線形空間 R^N で 確率計算が出来ないのに
　それを 選択関数を使って 有限次元空間の次元d1,d2,・・,d100に、話をすり替えている■

さて
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1728783469/906 スレ25
より
906現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/11 ID:xGTnxzX9
>>902
>両者ともに時間の・・

ID:S0s/6Kqn は、御大か
朝の巡回ご苦労さまです

”論争は 時間のムダ”と
なるほど

では ご教示に従い
”アナグマの姿焼き”をば・・ｗ ；ｐ）

(参考)
https://xn--pet04dr1n5x9a.com/%E5%B0%86%E6%A3%8B%E7%94%A8%E8%AA%9E/%E7%A9%B4%E7%86%8A%E3%81%AE%E5%A7%BF%E7%84%BC%E3%81%8D.html
将棋講座ドットコム
【将棋用語】穴熊の姿焼き
穴熊側が囲いを残したまま大きく形勢を損ねていること。
穴熊自体は固いため詰みまでの手数はかかるが、逃げ場もないため、攻めが切れてしまうと千日手・持将棋引き分け・宣言などを狙うことがかなり難しい。穴熊の欠点の1つと言える。

つづく

つづき

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）https://keiji-pro.com/magazine/10/ 刑事事件マガジン 更新日：2023.10.13
サイコパス（精神病質者）の10の特徴と診断基準｜実はあなたの周りに・・・？
サイコパスとは、「反社会性パーソナリティ障害」という精神病者のこと。
サイコパスの10の特徴 表面上は口達者利己的・自己中心的 平然と嘘をつく
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png

おサルさんの正体判明！（＾＾）
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1671460269/923 スレ12 より
”「ガロア理論 昭和で分からず 令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり〜！（＾＾；

なお
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
は、お断りです

小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

テンプレは以上です

テンプレ入りです
>>「実数の構成に選択公理が必要」という君の独自説がそんなに面白いかい？
>
>必要だ。簡単に カントールの実数の構成 有理コーシー列を使う場合に限定するよ
>有理コーシー列は、加算無限有理数列だ。要するに、有理数Qから有理数を取り出して
>q0,q1,q2,・・,qi,・・ なる無理数rに収束する列を作る（細かくは rに収束する列は一つに限らないから 同値類を考える）
>q0,q1,q2,・・,qi,・・は、集合の元を整列させているってこと
>つまりは、整列可能定理が使える
>列長さが ω（＝最初の無限順序数）のときは、可算選択公理で足りる
>が、なんらの選択公理の不使用 つまり 可算選択公理さえ使わないならば
>加算無限有理数列は、構成できない！

テンプレ入りです
>>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い
>
>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
>『Qを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い』か・・
>独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾

前スレつづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/975
>”ガウスのようにはじめるとすぐに、自分はガウスではないとわかるだろう”
>だが、目指すべきは ”円周等分理論”→ ”正17角形の作図”

追加
(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1625-08.pdf
数理解析研究所講究録
第1625 巻2009 年78-87
オイラーの数論とガウスの数論
九州大学大学院数理学研究院 高瀬正仁

Ｐ84
第七章の円の等分理論は, 代数的に見れば円周等分方程式の代数的解法の理論であ
り, 幾何学的に見れば正多角形の作図問題である. いずれにしても数論とは無縁のように見
えるが, ここから発生する「ガウスの和の符合決定問題」に決着がつけば, そこからまたし
ても平方剰余相互法則の証明が取り出されるのである. ガウスは『アリトメチカ研究」が出
版された時点ではガウスの和の大きさ, すなわち絶対値の算出には成功したが, 符合決定に
はいたらなかった.

関係無いソースはさかんにコピペするのに「実数の構成に選択公理が必要」のソースをコピペしないのはなぜ？

テンプレです
>まず、確率分布Prを定義するには、確率空間から始めないと学部数学の確率論にならない
>確率空間をどう定義しているのか
>次に、Pr(Bn,b)=1/n n∈N ならば
>Σ n=0〜∞ Pr(Bn,b)＝Σ n=0〜∞ 1/n ＝∞（∵1/nの無限和が発散するのは有名な事実）
>なので、明白に Pr(Ω)≠1 ですよ(ここにΩは全事象)

テンプレ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1774707956/626
>選択公理は存在のみなので 使えないので無視して、人の意思で代表をえらぶ

テンプレート
>・選択公理によって、任意同値類の代表の存在が言える。が、どんな代表を選ぶかは、各人の自由だ

テンプレ
>>どの無限列を入れるかは自由だが、確率変数にするかしないか、の自由はない
>>つまり、一回入れたら二度と変更できない
>>毎回の試行で変更することは決して許されない
>そこ、吉田大学の札付きでも同じだよ
>そこを読めてないのは おまえ

テンプレ入りです
>>なぜなら箱入り無数目では箱の中身はすべて定数だから
>誤解ですよ
>箱の中身は、現代数学の確率論で扱えるよ
>「箱の中身はすべて定数だから」？
>あほか
>重川を読め

テンプレ入りです
>　まず 先頭の幾つかをあける。株価で1円単位とすると 例えば下記ソニーで 3234 ・・・と出る
>　次に、かなり離れた 後のしっぽを全部開けると 2000代とか3000代の整数が分る
>　そこから 先頭側としっぽ側とで 狭めていって 先頭からD番目を残して 前後を開ける
>　もし、「株価かな？」と見当がつけば、ブラック–ショールズ方程式に乗せてみる
>　それ以外には、統計処理で平均値を出したり 標準偏差を計算したりもありだ
>　そして D番目を推察するのだ

テンプレ入りです
>そこを 箱入り無数目のように 列の自由選択に変更すれば
>「1/2に出来る」と誤読している人がいるが
>しかしそれでは、数学ストーリーとしてヘンｗ
>数学ストーリーは、札付き定理の完全否定！■

これはよきテンプレ
>>数学者は”固定”とか 変なこといわない
>>が、一つの議論の中では、関数”f1,f2,・・,fk,・・f100”は決まっている
>>”s = (s1，s2，s3 ，・・・)”
>>も一つの議論の中では 一定の値をとる
>出題列sが定数であることを認めた瞬間にそこから生成される100列の決定番号も定数と認めざるを得ない。
>単独最大決定番号の列はたかだか1列であることも認めざるを得ない。
>ランダムに単独最大決定番号の列を選択する確率は1/100以下も認めざるを得ない。
>その時だけ失敗だから勝率は99/100以上も認めざるを得ない。

テンプレです
>>>無数目で理解が難しいのなら、選択公理が効果的にはたらく、少しレベルを落とした話でもしたら良いのにと思っていた。
>彼の人は自分が「理解」していると見せかけたいだけだから
>たぶん無駄ですよ
>異なる自然数m,nをAが選びカードに書いて箱に入れる
>選び方はAの自由
>ここで
>Bは箱の中からランダムにカードを1つ取り出す
>Aは残った方を取る
>書かれている自然数の大きい方が勝ち
>さてA,Bの勝つ確率は？

これはよきテンプレです
>箱入り無数目の確率空間は{1,2,…,n}ですが
>時枝さんの記事の最後の部分
>彼の人が理解に至らない罠のような記述の
>独立な確率変数の無限族についての考察は
>それ自体は面白い話だと思いますね
>ここが箱入り無数目と直接関係ないのは
>Xkが確率変数であって箱入り無数目で設定するような任意実数ではないことから明白ですが
>そのひとつひとつの値がXk=xkとなったとき
>xkは定数ですから独立という用語が意味を持たないにもかかわらず
>s=(x1,x2,…)という数列を箱入り無数目で出題すれば
>いくらでも1に近い確率1-1/nで
>その中の特定の番号（nやsに依存）の数xdが他の数x1,…,^xd,…から推測できるわけですので
>確率変数の独立性とはなんぞやと
>彼の人のようにあるいは京大マンガのように
>誤解・疑問を生むことになる訳です
>言わば「箱入り無数目の応用」により
>安直な（つまり彼の人や京大マンガのような）独立性の誤解をしてはならないとの反省材料がもたらされたわけです

>>36
ですね
あたりまえですが探せないのでしょう

>>35
>https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/975
>>”ガウスのようにはじめるとすぐに、自分はガウスではないとわかるだろう”
>>だが、目指すべきは ”円周等分理論”→ ”正17角形の作図”

すぐ自分はガウスではないとわかっているが
いまどき AIがあるので、ガウスのまねで壁打ちをば（＾＾
下記＜AI壁打ち＞で、『3次対称群の直積(S3✕S3)での 部分群で巡回群になるものを全部教えて』と聞くと
その位数は、1,2,3,6 の4種で 計26（S3✕S3 の全部分群55個のうち、およそ半分）という

さて、3次対称群の直積（S3✕S3）の位数は36で
その部分群で巡回群になるものうち、部分群AとBでG=ABとなるとすると
部分群AとBの位数をa,bとすると ラグランジュの定理より ab＝36
とすると、a＝b＝6が導かれる
下記”4. 位数6の巡回群 【計 6 個】”とある
この計 6 個のうち、適当な二つの組合せが 解だろうね
そういう気もするが、面倒なので確認していない

前スレ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/520
より
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1773320488/133
大学数学の出題スレ
133１３２人目の素数さん
2026/05/08(金) 17:54:37.91ID:jtB2Fcs8
Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例を挙げよ。

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/520
より
とりあえず、その問題の答えは3次対称群の直積（S3✕S3）ですね。
(引用終り)

＜AI壁打ち＞
(google検索)
3次対称群の直積(S3✕S3)での 部分群で巡回群になるものを全部教えて
(AI回答)
3次対称群の直積 S3 の中で、巡回群（1つの元で生成される部分群）になるものは全部で 26 個存在します。巡回群の位数は、群全体の元が持つ「位数（自己乗算して単位元に戻る回数）」と一致するため、S3 の元が持つ位数（1, 2, 3, 6）の4パターンのみが存在します。以下に、位数が小さい順にすべての巡回部分群を列挙します。
1. 位数1の巡回群 【計 1 個】
略
2. 位数2の巡回群 【計 15 個】
位数2の元（互換を1つ以上含むペア）から生成される部分群です。S3 の互換を τ1 = (1,2), τ2 = (1,3), τ3 = (2,3) とします。構造: C2
内訳（計 15 個）:
略
3. 位数3の巡回群 【計 4 個】
位数3の元（巡回置換を含むペア）から生成される部分群です。S3 の巡回置換を σ1 = (1,2,3), σ3 = (1,3,2) とします(σ3 = σ1^2 です）。構造: C3
内訳（計 4 個）:
略

つづく

つづき

4. 位数6の巡回群 【計 6 個】
片側の成分が「位数2の互換 τi」、もう片方の成分が「位数3の巡回置換 σ1」の組み合わせから生成される部分群です。最小公倍数 cm(2, 3) = 6 により、これらは位数6の巡回群になります。構造: C6
内訳（計 6 個）:
左が互換、右が巡回置換（3個）:
・＜ (τ_1, σ_1) ＞
・＜ (τ_2, σ_1) ＞
・＜ (τ_3, σ_1) ＞
左が巡回置換、右が互換（3個）:
・＜ (σ_1, τ_1) ＞
・＜ (σ_1, τ_2) ＞
・＜ (σ_1, τ_3) ＞
※右成分に (σ _2) を入れた ＜ (τ_i, σ_2) ＞ も位数6の巡回群になりますが、生成される部分群（集合）としては上記の ＜ (τ_i, σ_1) ＞ と全く同じになるため、二重カウントはしません。

巡回部分群の総数 1+15+4+6=26
S3✕S3 の全部分群55個のうち、およそ半分にあたる 26個 が巡回群の構造を持っています。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)
ラグランジュの定理 ― G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき |G| = [G : H] |H| が成り立つ。ただし、[G : H] は G における H の指数である。
(引用終り)
以上

>>48 補足
別のAI壁打ち 下記
”3次対称群の直積(S3✕S3)での 正規部分群を全部教えて”
で、巡回群C6が 正規部分群でないことは、確認済みです


(google検索)
3次対称群の直積(S3✕S3)での 正規部分群を全部教えて
(AI回答)
3 次対称群を S_3 とし、S_3 ｘ S_3 の正規部分群を求めます。
S_3 の正規部分群は、自明な部分群を含めて以下の 3つ しかありません。
・単位元のみからなる群: {ｅ}
・3 次交代群（偶置換全体）: A_3
・(3) 次対称群全体: S_3
一般に、G_1 ｘ G_2 の正規部分群は、G_1 の正規部分群 N_1 と G_2 の正規部分群 N_2 の直積の形(N_1 ｘ N_2)になります。したがって、S_3 ｘ S_3 の正規部分群は、これら S_3 の正規部分群どうしの直積となり、全部で 9個 あります。具体的には以下の通りです。
・{ｅ} ｘ {ｅ}
・{ｅ} ｘ A_3
・{ｅ} ｘ S_3
・A_3 ｘ {ｅ}
・A_3 ｘ A_3

・A_3 ｘ S_3
・S_3 ｘ {ｅ}
・S_3 ｘ A_3
・S_3 ｘ S_3

直積群の部分群の個数を求める問題は、院試でもたまに見る。

>>50 補足
前スレ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/959
なぜそれが解になるか分かれば
いくらでも作れるだろ
たとえばS3×S3×Z5とか
(引用終り)

なるほど・・・
巡回群の理論で 下記
『二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである』
なので

S3×S3の位数36で、36には素因子5が含まれない
ゆえに、Z5の直積を作っても >>48の考察には影響しない
ゆえに、S3×S3×Z5の位数は180で
「Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例」
の候補は、>>48より C6とC6×Z5 ですな
これを一般化すれば、素数p≧5 のZpでも良いのでしょうね

AIがあるので、ガウスのまねで壁打ちでした （＾＾
（このあとは、各自の壁打ちでよろ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・p が素数ならば、位数 p の群は（同型の違いを除き）巡回群 Cp（あるいは加法的に書くならば Z/pZ）しかない[5]。
・二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである[6]。従って例えば Z/12Z は Z/3Z と Z/4Z との直積に分解されるが Z/6Z と Z/2Z との直積とはならない。

前スレに戻る
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/945
「Q上の整列順序を用いないと有理コーシー列は作れない」
Qまでを構成した瞬間に有理数列の全体Q^Nは存在しており、その中に当然有理コーシー列も含まれている。だからそもそも作る必要は無い。
ということがどうしても理解できない。畜生だから当然か。
しかもそもそもQは可算集合だからQ上の整列順序の存在はZFで証明可能で整列可能定理は要らない。オチコボレは初歩の初歩から分かってない。
(引用終り)

公理的思考がダメ男くん

1）鶏が先か卵が先か？ これが問題だ by ハムレット
　直積集合を しばしば デカルト積という
　デカルトは、平面をデカルト積で表現することを提案した
　この場合は、ニワトリの平面R^2が先で 卵の(r1,r2)が後だ
2）しかし、集合論の公理ではどうか？
　当然 デカルト積(r1,r2)が先で 積(r1,r2)の集合を 平面R^2と名付けるべし
3）これを、Q^Nに見ると 当然 卵のQの可算デカルト積(r1,r2,・・)が先で、ニワトリのQ^Nは後
4）”そもそもQは可算集合だからQ上の整列順序の存在はZFで証明可能で整列可能定理は要らない”
　か・・ｗ、詰んだなｗ （可算選択公理とかをお忘れですよ）　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合
集合 A と集合 B の直積集合（ちょくせきしゅうごう）A×B とは、A の元 a と B の元 b の順序対 (a, b) 全体の集合である。内包的記法（英語版） では
A×B={(a,b)∣a∈A and b∈B}
と書くことができる。A×B の元 (a, b) に対して、a を第1成分（または第1座標）といい、b を第2成分（または第2座標）という[1]。
直積集合はまた、デカルト積（デカルト­せき、英: Cartesian product）、直積（ちょくせき、英: direct product）、積（せき、英: product）、積集合（せきしゅうごう）などともいわれる。
より一般に、n 個の集合の直積集合や、集合族の直積集合も定義される。

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product
Cartesian product
The Cartesian product is named after René Descartes,[5] whose formulation of analytic geometry gave rise to the concept, which is further generalized in terms of direct product.

A two-dimensional coordinate system
The main historical example is the Cartesian plane in analytic geometry. In order to represent geometrical shapes in a numerical way, and extract numerical information from shapes' numerical representations, René Descartes assigned to each point in the plane a pair of real numbers, called its coordinates.

（可算選択公理をも誤解か）

>>53
>4）”そもそもQは可算集合だからQ上の整列順序の存在はZFで証明可能で整列可能定理は要らない”
>か・・ｗ、詰んだなｗ （可算選択公理とかをお忘れですよ）　（＾＾
Qは可算だから定義により全単射 f:N→Q が存在する。Q上の順序<を f(0)<f(1)<・・・ で定義したとき<は整列順序。実際、Qの任意の空でない部分集合Xは<に関する最小元 f(min(f^(-1)(X)))∈X を持つ。
詰んでるのは何度教えても理解できないサル。

教えられなくても理解するのが利口
教えられて理解するのが普通のバカ
サルは教えられても理解できない

普通の🐴🦌
天才の🐴🦌ボン

>>55
>Qは可算だから定義により全単射 f:N→Q が存在する。Q上の順序<を f(0)<f(1)<・・・ で定義したとき<は整列順序。実際、Qの任意の空でない部分集合Xは<に関する最小元

論点ずらし オツ
そこは、下記の分母分子がNであることを利用した（特定の）辞書式の順序だろ？
（任意"∀"）有理コーシー列では、隣り合う有理数は 辞書式の順序ではない！ｗ （＾＾

でな、おっさん >>51より
”Qまでを構成した瞬間に有理数列の全体Q^Nは存在しており、その中に当然有理コーシー列も含まれている。だからそもそも作る必要は無い”
は どうなったんだ？ｗｗ　（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number
Rational number

Countability
The set of positive rational numbers is countable, as is illustrated in the figure.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Diagonal_argument.svg/500px-Diagonal_argument.svg.png
Illustration of the countability of the positive rationals

More precisely, one can sort the fractions by increasing values of the sum of the numerator and the denominator, and, for equal sums, by increasing numerator or denominator. This produces a sequence of fractions from which one can remove the reducible fractions (in red on the figure), obtaining a sequence that contains each rational number exactly once. This establishes a bijection between the rational numbers and the natural numbers, which maps each rational number to its rank in the sequence.

A similar method can be used for numbering all rational numbers (positive and negative).

>>52 追加
(引用開始)
S3×S3の位数36で、36には素因子5が含まれない
ゆえに、Z5の直積を作っても >>48の考察には影響しない
ゆえに、S3×S3×Z5の位数は180で
「Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例」
の候補は、>>48より C6とC6×Z5 ですな
これを一般化すれば、素数p≧5 のZpでも良いのでしょうね
(引用終り)

1）トリビアだが (S3×Z5)×(S3×Z5)
　も 同様成立するだろう・・
2）直積 Sn×Sn n>3 でどうか？
　思うに 群 Sn n>3 が複雑になって 二つの巡回群の積ではムリだろう
　（AI壁打ちはしていない）
3）直積 Sn×Sn以外の手法は？
　さあ？ これも AI壁打ちはしていない・・ （＾＾

>>58
私は最近お兄さんと呼ばれました。
3次元ユークリッド空間は可分である。

>>58
>（任意"∀"）有理コーシー列では、隣り合う有理数は 辞書式の順序ではない！ｗ （＾＾
そもそも有理コーシー列と有理数の整列順序は何の関係も無い。
何度教えても理解できないサル。

>でな、おっさん >>51より
>”Qまでを構成した瞬間に有理数列の全体Q^Nは存在しており、その中に当然有理コーシー列も含まれている。だからそもそも作る必要は無い”
>は どうなったんだ？ｗｗ　（＾＾
どうにもならんけど？
何度教えても理解できないサル。

教えられなくても理解するのが利口
教えられて理解するのが普通のバカ
サルは教えられても理解できない

>>58
>でな、おっさん >>51より
>”Qまでを構成した瞬間に有理数列の全体Q^Nは存在しており、その中に当然有理コーシー列も含まれている。だからそもそも作る必要は無い”
>は どうなったんだ？ｗｗ　（＾＾
集合 N,Q が存在するなら、集合 Q^N:={G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G} が存在する。これはNからQへの関数全体の集合である。
数学を初歩の初歩から分かってないおサルはあきらめた方が良い。

>>61
>そもそも有理コーシー列と有理数の整列順序は何の関係も無い。

関係はないが、両者は 無限長の数列を使うところが共通だ
さて、前スレより下記再録
下記の通り、選択公理を除く下記の八つの公理でZFで
C=選択公理が、Kunenの設定では 選択公理に同値な命題の整列可能定理で
直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理
これ以外には、直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理は無い！
まず、この客観事実を認めたら？ （＾＾

再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/878
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する[4]。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。
（連番は筆者が付けた）
1）外延性の公理：任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない
2）正則性公理：略
3）分出公理図式：分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できる
　ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる
4）対の公理：任意の集合 xと y について、少なくとも xと y を元とする集合が存在する
5）和集合の公理：略
6）置換公理図式：置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。
7）無限公理：略
8）冪べき集合公理：略
9）選択公理（または同値な命題）：任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。
(引用終り)

さて、このZFC公理群で、Kunenの設定：選択公理に同値な命題の整列可能定理
これが唯一の(無限集合）整列順序 R を与える公理です
この選択公理＝整列可能定理 以外には、直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理は無い！
整列順序 R から、無限長の数列を作ることは 容易だ
逆に、無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って 無限集合に 整列順序 R を与えることは容易
まず このことを認めたらどう？

そして『実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分』を、Chatさんにやってもらってね
弱い可算選択公理ACωも含めて 一切の選択公理を使わずにね
一つ二つコーシー列を作ってもダメだよ
求めているのは 集合としての実数Rで
有理数Qを完備化したもので、負数-1の平方根iを添加すると 複素数の集合Cが得られて 代数閉体になるもの

おサルは馬鹿なので有理コーシー列は作らないと存在しないと思っている。
ちょうど同値類も作らないと存在しないと思っているのと同じ様に。実際は集合X上の同値関係〜を定義した瞬間に同値類全体の集合X/〜が存在するにもかかわらず。
オチコボレに数学は無理なのであきらめた方が良い。

>>64
>C=選択公理が、Kunenの設定では 選択公理に同値な命題の整列可能定理で
>直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理
>これ以外には、直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理は無い！
可算集合の整列順序の存在証明は選択公理不要と教えてやってるのにどうしても理解できないサル

>逆に、無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って 無限集合に 整列順序 R を与えることは容易
数列と整列順序は関係無い。実際有理数列 0,0,・・・ はQのいかなる整列順序も与えない。と教えてやってるのにどうしても理解できないサル

>そして『実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分』を、Chatさんにやってもらってね
>弱い可算選択公理ACωも含めて 一切の選択公理を使わずにね
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
が読めない非人畜生のサル

オチコボレに数学は無理なのであきらめた方が良い。

>>63
>集合 N,Q が存在するなら、集合 Q^N:={G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G} が存在する。これはNからQへの関数全体の集合である。

だ か ら >>53
Qの可算直積 Q^Nというニワトリの前にね
公理的集合論では、決められた公理を使って
まず タマゴの、>>58 デカルト積 (q0,q1,q2,・・qi・・) qi∈Q
を作る必要がある これは
数列 q0,q1,q2,・・qi・・ と等価で
数列を作る公理は、ZFCで >>64 より 選択公理(C)＝整列可能定理 しかない
まず、これを認めたらどうだ？

(参考)（前スレ>>829より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる[1]。
略
この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、
全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]

使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである

>まず、この客観事実を認めたら？
>まず このことを認めたらどう？

論理式が読めないサル、
>{G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G}
を読めず発狂

（とうとう有限個のものを並べるのに整列可能定理使い始めたぞ）

>>67
>公理的集合論では、決められた公理を使って
>まず タマゴの、>>58 デカルト積 (q0,q1,q2,・・qi・・) qi∈Q
>を作る必要がある
君、直積も知らんの？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
の「集合族の直積集合」を読め。

>数列を作る公理は、ZFCで >>64 より 選択公理(C)＝整列可能定理 しかない
集合 {G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G} の存在証明に選択公理なんて要らんことも分からない白痴のサル。

>まず、これを認めたらどうだ？
まず、自分がオチコボレであることを認めたらどうだ？

>>66
>>これ以外には、直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理は無い！
>可算集合の整列順序の存在証明は選択公理不要と教えてやってるのにどうしても理解できないサル

フルパワー選択公理不要でも、可算選択公理や 従属選択公理が必要な場合があるぜよｗ （＾＾

>>逆に、無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って 無限集合に 整列順序 R を与えることは容易
>数列と整列順序は関係無い。実際有理数列 0,0,・・・ はQのいかなる整列順序も与えない。と教えてやってるのにどうしても理解できないサル

ふっふ、ほっほ
下記 『選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる』を百回音読してね（＾＾
具体的な構成の 有理数列 0,0,・・・の存在 をもって
選択公理を否定することはできない！

再録>>64より
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/878
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
選択公理（または同値な命題
選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる。

>>弱い可算選択公理ACωも含めて 一切の選択公理を使わずにね
>https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>が読めない非人畜生のサル

”en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers”
の日本語版がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90
実数の構成 な

en.wikipedia Construction_of_the_real_numbers
ja.wikipedia 実数の構成
とも
ZFCとは全く別の観点から実数の公理を論じている
こちらの Construction_of_the_real_numbers での公理系で 選択公理を使わないとしても
それは 別の公理の組合せで ZFC中での実数構成で選択公理を用いる必要があるかどうかは別で

その話はすでに前スレで終わっているが
Dedekind cuts を使った場合 コーシー列は不要だが
出来た実数Rの性質＝有理数Qを完備化した
を証明するときは、結局選択公理が必要で
さらに、コーシー列を使うときには コーシー列で 選択公理を用いる■

>>70
>集合 {G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G} の存在証明に選択公理なんて要らんことも分からない白痴のサル。

G∈2^(N×Q)は、冪集合か？ ならば、冪集合公理が使えるが
もし 冪集合から数列が導けるならば、選択公理は不要になる
任意集合Xについて 冪集合2^X の存在がいえて
もし それが X中の整列順序を含意するならば
選択公理は不要だぞ （＾＾

>>まず、これを認めたらどうだ？
>まず、自分がオチコボレであることを認めたらどうだ？

まあ、あんたよりマシ
あんたは ”ど”のつくオチコボレｗ （＾＾

>>71
>>可算集合の整列順序の存在証明は選択公理不要と教えてやってるのにどうしても理解できないサル
>フルパワー選択公理不要でも、可算選択公理や 従属選択公理が必要な場合があるぜよｗ （＾＾
アホなこと言ってる暇があったら>>55の何が分からないか言ってみ？

>具体的な構成の 有理数列 0,0,・・・の存在 をもって
>選択公理を否定することはできない！
なんでそれが選択公理の否定になるの？　頭おかしいの？

>en.wikipedia Construction_of_the_real_numbers
>ja.wikipedia 実数の構成
>とも
>ZFCとは全く別の観点から実数の公理を論じている
ZFCとは全く別の観点とは？　どの観点？
実数の公理を論じてるんじゃなくて実数の構成を論じてるんだけど。構成なんだから当然公理を満たすことも含まれるけど。だいじょうぶ？

>こちらの Construction_of_the_real_numbers での公理系で 選択公理を使わないとしても
じゃ間違ってるのは君で決着。

>それは 別の公理の組合せで ZFC中での実数構成で選択公理を用いる必要があるかどうかは別で
ちょっと何言ってるか分かりません。

>その話はすでに前スレで終わっているが
>Dedekind cuts を使った場合 コーシー列は不要だが
>出来た実数Rの性質＝有理数Qを完備化した
>を証明するときは、結局選択公理が必要で
君、ソース出せないじゃん

>さらに、コーシー列を使うときには コーシー列で 選択公理を用いる■
有理数列全体の集合の中に当然有理コーシー列は含まれてるから不要。
何度教えても理解できない白痴のサル。

>>72 補足
(引用開始)
>集合 {G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G} の存在証明に選択公理なんて要らんことも分からない白痴のサル。
G∈2^(N×Q)は、冪集合か？ ならば、冪集合公理が使えるが
もし 冪集合から数列が導けるならば、選択公理は不要になる
任意集合Xについて 冪集合2^X の存在がいえて
もし それが X中の整列順序を含意するならば
選択公理は不要だぞ （＾＾
(引用終り)

下記があるな
冪集合公理
”任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：”

きっちり書くと
冪集合公理により 任意の有限集合の類に対して、デカルト積を定義することが出来る
この対偶命題：
冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E5%85%AC%E7%90%86
冪集合公理
帰結
冪集合公理は、二つの集合
X と Y に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：
略
任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：
略

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_power_set
Axiom of power set
Consequences
The power set axiom allows a simple definition of the Cartesian product of two sets
X and Y:
略
One may define the Cartesian product of any finite collection of sets recursively:
略

>>72
>任意集合Xについて 冪集合2^X の存在がいえて
>もし それが X中の整列順序を含意するならば
>選択公理は不要だぞ （＾＾
整列可能定理は選択関数 f:2^X-{{}}→X を用いることが分からないサル。
可算集合が整列集合であることの証明に整列可能定理は不要であることが分からないサル。

>>まず、自分がオチコボレであることを認めたらどうだ？
>まあ、あんたよりマシ
>あんたは ”ど”のつくオチコボレｗ （＾＾
サル、事実を指摘されて発狂！

サルのレスを見ると大学数学がちんぷんかんぷんで勝手に妄想してることがよく分かる
オチコボレに数学は無理なので諦めればよいのに

教えられなくても理解するのが利口
教えられて理解するのが普通のバカ
サルは教えられても理解できない

>>73
>>さらに、コーシー列を使うときには コーシー列で 選択公理を用いる■
>有理数列全体の集合の中に当然有理コーシー列は含まれてるから不要。

それじゃダメ！ （＾＾
　>>74より 再録
下記の Axiom of power set → using the "Kuratowski" ordered pair
そして ”One may define the Cartesian product of any finite collection of sets recursively”
な

"Kuratowski" ordered pairと "finite" を、百回音読してねｗ （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_power_set
Axiom of power set
Consequences
The power set axiom allows a simple definition of the Cartesian product of two sets
X and Y:
x,y∈X∪Y
{x},{x,y}∈P(X∪Y)
and, for example, considering a model using the Kuratowski ordered pair,
(x,y)={{x},{x,y}}∈P(P(X∪Y))
and thus the Cartesian product is a set since
X×Y⊆P(P(X∪Y)).
One may define the Cartesian product of any finite collection of sets recursively:
X1×⋯×Xn=(X1×⋯×Xn−1)×Xn.

>>78
>それじゃダメ！ （＾＾
なにがどうダメと？

サル、悔しくて訳も分からずとりあえずダメ出し

もう畜生は山へ帰れよ　数学板は畜生が来るところではない

ダメよ～、ダメダメ

>"Kuratowski" ordered pairと "finite" を、百回音読してねｗ （＾＾
何回音読しても初歩の初歩から分かってないサルには無理

畜生の分際で数学を分かってるフリするのがそもそもの間違い
畜生は山でバナナでも探してろ

甘美なバナーナ空間

>>82
彼の人は自分では読んでないんだと思いますね
引用がトンチンカンです

>>85
order と finite というワードに脊椎反射しただけでしょう
いかにも畜生らしいね

>>79-86
>なにがどうダメと？

公理的思考が出来ていないのがダメ！
公理的集合論での議論は、どの公理を使った議論なのかが、きちんと示せないとダメ！
なんか こっそりQ^Nとか裏口から入れて使うのがダメ！
下記を百回音読してねｗ　（＾＾

(再録)
　>>64 >>67
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する[4]。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。
（連番は筆者が付けた）
1）外延性の公理：任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない
2）正則性公理：略
3）分出公理図式：分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できる
　ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる
4）対の公理：任意の集合 xと y について、少なくとも xと y を元とする集合が存在する
5）和集合の公理：略
6）置換公理図式：置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。
7）無限公理：略
8）冪べき集合公理：略
9）選択公理（または同値な命題）：任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。

(参考)（前スレ>>829より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる[1]。

公理DC(ℵα) ― 関係R⊂P(X)×Xが、
Xの部分集合Yが、
|Y|<ℵαならばある
x∈Xが存在して
YRxとできるとする。
このとき、関数f:ℵα→Xで、
(∀β<ℵα)[{f(γ)|γ<β}Rf(β)]
をみたすものが存在する
この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、
全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]

使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである

>>87
集合 N,Q の存在を前提とするとき、集合 {G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G} の存在証明のために必要十分な公理は、対の公理、和集合の公理、べき集合の公理、分出公理。
おサルは自分の頭で考えることができないからいちいち教えを乞うね。

まあおサルは馬鹿なので教えられても理解できないでしょうな
もういいから山へお帰り

ZFCの公理をリストアップしても
どう使うかを全く理解していない

彼の人は従属選択公理の主眼である
「二項関係に関して選ぶ」
ということの意味するところも認識していません

実は直積集合の存在証明のために必要十分な公理が対の公理、和集合の公理、べき集合の公理、分出公理。
https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product
Therefore, the existence of the Cartesian product of any two sets in ZFC follows from the axioms of pairing, union, power set, and specification.

{G∈2^(N×Q)|∀n∈N.∃!q∈Q.(n,q)∈G}
は、直積集合のべき集合から部分集合を切り出しているから、それ以上の公理は不要。

おサル、公理的集合論がちんぷんかんぷん。公理をリストアップしたところで無意味だぞｗ

コーシー列であるという条件式は
∀ε>0,∃n∈N,∀i,j>n: |a(i)-a(j)|<ε
ですかね
これで分出すれば良いわけです
そしてQ上のコーシー列の全体に同値関係を入れるわけですが
コーシー列同士の包含関係（部分列関係）を定義して
同じコーシー列に包含されるものは同値とすればいいですかね
それともコーシー列同士の順序（大小関係）を定義して同等であるものは同値にする方が面倒が少ないかも

コーシー列の大小は
a<b ::≡ ∃ε>0,∃n∈N,∀m>n: a(m)+ε<b(m)
かな
ちょっと格好良くないけれど目的は果たせそう
これによる同等の定義は
a〜b ::≡ ∀c: (c<a ⇔ c<b)
でしょうか

分出公理によって有理数列全体の集合からその部分集合である有理コーシー列全体の集合を切り出せるから、”有理コーシー列の構成”なんて要らないんだよおサルさん。
理解できる？　君、公理的集合論ちんぷんかんぷんだから理解できない？

つまり有理数体までを構成できた瞬間に有理コーシー列全体の集合も存在している
おサルの持論「従属選択公理を使わないと有理コーシー列を作れない」はただの妄想
君、数学板で発言するなら少しは勉強したら？　恥かくだけだよ

おサルは「俺はコピペしかしないから俺の発言に間違いは無い」と自称するが、実際は独自説を頻繁に発言し、それらはことごとく間違っている
おサルは勉強が大嫌いでいつも妄想を口から出まかせに語るから

>>93-94
>コーシー列であるという条件式は
>∀ε>0,∃n∈N,∀i,j>n: |a(i)-a(j)|<ε
>ですかね
>これで分出すれば良いわけです

なるほど それは一理あるが
ちょっと戻ると>>53の
"「Q上の整列順序を用いないと有理コーシー列は作れない」
Qまでを構成した瞬間に有理数列の全体Q^Nは存在しており、その中に当然有理コーシー列も含まれている。だからそもそも作る必要は無い"

ここの、有理コーシー列とは Qの可算無限直積 Q^Nの要素だということは 前提として認めるとする
そうすると、下記 可算無限直積と 選択公理の関係が問題になる
（下記より抜粋）
”無限のデカルト積 インデックス集合 I上で定義された関数のうち、特定のインデックスiにおける関数の値がX iの要素となるような関数の集合。各X iが空でない場合でも、選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある”
”Axiom of choice 空でない集合の任意の集合の直積は空でない。この形式は、より一般的な形式を意味しており、デカルト積は一般的なインデックス付き集合族（重複を含む場合もある）である”
”選択公理が不要な場合
有限個の空でない集合の集合に対する選択関数の存在は、選択公理に依拠することなく、有限帰納法の原理によって証明できます。[7] この証明は、単一の空でない集合 A が与えられた場合、一階述語論理では A の具体的な要素 a を選択できるという事実を利用しています。しかし、一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません。
選択公理が不要なもう一つのケースは、標準的な選択関数を与える明示的な規則が存在する場合です。例えば、集合 X の各要素が自然数の空でない部分集合である場合、そのような明示的な規則の一つは、各 A ∈ X の最小要素を選択することです。各 A ∈ X をその最小要素に写像する標準的な選択関数は、選択公理を用いずに ZF で構成できます。”

つまり、
１）”一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません”
２）”選択公理が不要なもう一つのケースは、標準的な選択関数を与える明示的な規則が存在する場合です。例えば、集合 X の各要素が自然数の空でない部分集合である場合、そのような明示的な規則の一つは、各 A ∈ X の最小要素を選択することです。各 A ∈ X をその最小要素に写像する標準的な選択関数は、選択公理を用いずに ZF で構成できます”
３）”無限のデカルト積 インデックス集合 I上で定義された関数のうち、特定のインデックスiにおける関数の値がX iの要素となるような関数の集合。各X iが空でない場合でも、選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある”
４）上記で言いたいことは、冒頭の条件式では 選択公理抜きで コーシー列 を構成できているかの”保証”がない と思う
　”選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある”と■

つづく

つづき

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product
Cartesian product
Infinite Cartesian products 無限のデカルト積
It is possible to define the Cartesian product of an arbitrary (possibly infinite) indexed family of sets. If I is any index set, and
{Xi}i∈I
is a family of sets indexed by I, then the Cartesian product of the sets in
{Xi}i∈I is defined to be
∏i∈IXi={f:I→⋃i∈IXi | ∀i∈I. f(i)∈Xi},
that is, the set of all functions defined on the index set I such that the value of the function at a particular index i is an element of Xi. Even if each of the Xi is nonempty, the Cartesian product may be empty if the axiom of choice, which is equivalent to the statement that every such product is nonempty, is not assumed.
(google訳)
すなわち、インデックス集合 I上で定義された関数のうち、特定のインデックスiにおける関数の値がX iの要素となるような関数の集合。各X iが空でない場合でも、選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
The Cartesian product of any collection of nonempty sets is nonempty.
This form implies a more general form where the Cartesian product is of a general indexed family of sets (which may contain duplicates), since one can always select the same element from duplicate factors.
(google訳)
空でない集合の任意の集合の直積は空でない。
この形式は、より一般的な形式を意味しており、デカルト積は一般的なインデックス付き集合族（重複を含む場合もある）である

Usage
Until the late 19th century, the axiom of choice was often used implicitly, although it had not yet been formally stated. For example, after having established that the set X contains only non-empty sets, a mathematician might have said "let F(s) be one of the members of s for all s in X" to define a function F. In general, it is impossible to prove that F exists without the axiom of choice, but this seems to have gone unnoticed until Zermelo.
(google訳)
19世紀後半まで、選択公理は正式には述べられていなかったものの、暗黙のうちにしばしば用いられていた。例えば、集合Xが空でない集合のみを含むことが確定した後、数学者は関数Fを定義するために「すべてのs∈Xについて、F ( s )をsの要素の一つとする」と述べることがあった。一般に、選択公理を用いずにFの存在を証明することは不可能であるが、このことはツェルメロまで気づかれずにいたようである。

つづく

つづき

Examples
Cases where the axiom of choice is not needed
The existence of a choice function for a finite collection of nonempty sets can be proved by the principle of finite induction, without appealing to the axiom of choice.[7] The proof uses the fact that, given a single nonempty set A, first-order logic allows choosing some concrete a∈A. However, since a proof in first-order logic must be finite, one cannot make an infinite number of choices with first-order logic alone.

Another case where the axiom of choice is not needed is when there exists an explicit rule that gives a canonical choice function. For example, if each member of the collection X is a nonempty subset of the natural numbers, then one such explicit rule is to choose the smallest element of each
A∈X. The canonical choice function that maps each A∈X to its smallest element can again be constructed in ZF without the axiom of choice.
In general, if the union of all sets in X can be well-ordered, then a choice function for can be constructed without using the axiom of choice. Note that it does not suffice that each A∈X can be well-ordered, since the axiom of choice may be needed to choose a canonical well-ordering for each A anyway.

(google訳)
選択公理が不要な場合
有限個の空でない集合の集合に対する選択関数の存在は、選択公理に依拠することなく、有限帰納法の原理によって証明できます。[7] この証明は、単一の空でない集合 A が与えられた場合、一階述語論理では A の具体的な要素 a を選択できるという事実を利用しています。しかし、一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません。

選択公理が不要なもう一つのケースは、標準的な選択関数を与える明示的な規則が存在する場合です。例えば、集合 X の各要素が自然数の空でない部分集合である場合、そのような明示的な規則の一つは、各 A ∈ X の最小要素を選択することです。各 A ∈ X をその最小要素に写像する標準的な選択関数は、選択公理を用いずに ZF で構成できます。

一般に、X に含まれるすべての集合の和集合が整列可能であれば、選択公理を用いなくても選択関数を構築できる。ただし、各 A∈X が整列可能であればは 十分ではないことに注意が必要である。なぜなら、いずれにせよ、各 A に対して標準的な整列順序を選択するために選択公理が必要になる場合があるからである。
(引用終り)
以上

>>98-100
まったくトンチンカンないいがかり
論理がわからん素人の典型的ワードサラダ文

サラドはお嫌いですか。

生魚が嫌いなら、フライにしてあげれば良い。

>>98
>４）上記で言いたいことは、冒頭の条件式では 選択公理抜きで コーシー列 を構成できているかの”保証”がない と思う
> ”選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある”と■
空じゃないよ。実際、有理コーシー列 0,0,・・・ が存在している。君、頭悪いね。

おサルは 0,0,・・・ が有理コーシー列じゃないと言いたいのかな？
それは新説なので論文書いたら？
鼻で笑われるだろうけどｗ

鼻を笑われる小説

＞インデックス集合 I上で定義された関数のうち、特定のインデックスiにおける関数の値がX iの要素となるような関数の集合。
＞各X iが空でない場合でも、選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある。

IがNとする。
任意のn∈Nについて、Q(n)＝Qなら、
任意のn∈Nからあるq∈Qへの関数の存在が言えるけど

アタマ大丈夫？

大丈夫じゃないと思う
妄想と現実の区別が付かなくなってるのだろう

テンプレ入りです
>冪集合公理により 任意の有限集合の類に対して、デカルト積を定義することが出来る
>この対偶命題：
>冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない

チョットテンプレ入りの理由が分かりにくいかも

でもテンプレ

ZF公理系において任意の集合Xに対し直積集合 ΠX:={f:X→∪X|∀x∈X.f(x)∈x} が存在する。これはXの選択関数全体の集合に他ならない。
選択公理は ΠX≠{} を主張する。

Π(i∈I)X(i)で、一般にi≠iのときX(i)≠X(j)ならば、
iごとに異なるX(i)から元を選ぶ必要があり、
そのような関数が具体的に構築できない場合
Π(i∈I)X(i)は空だとすることもできる

一方、Π(i∈I)Xの場合、どのiでも同じXなのだから
Xが空でない場合その元xを一つ選ぶ
任意のiからxに写像する集合を考えれば
それがΠ(i∈I)Xだと証明できる
つまり、空でないことが直接証明できる

この程度の簡単な論理的推論もできない人が
大学数学の理論を理解することは…不可能

世田君が熱く語れば語るほど
「この人の考える数学ってホントつまんないな」
と思っちゃう

多分彼自身面白さが全然感じられないので
ムキになってる気がする

哀れだな

おサルは必死に反論を考えてることだろう
だが無駄だ　初歩の初歩から分かってないから
そんなことより口を閉じて初歩の初歩から勉強しなおせ　無駄なことはするな

アーチーチー、アーチー！
あれって実はカバーだよ。

>>101
彼の人の書いた
>冪集合公理により 任意の有限集合の類に対して、デカルト積を定義することが出来る
>この対偶命題：
>冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない
はおそらくだけど
「Nが有限集合で無いからQ^Nは存在しない」
と言いたいのでないかと思う

ここで
「Q^Nは存在しない」は
元が存在しないと言いたいのかと

デカルト積は順序対による
A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}
のこと
これを繰り返して
A1×…×An=(A1×…)×An
が定義できるが
これは有限個のところまでで
Π{Aλ|λ∈Λ}
は>>112の通りの定義だけど
これは普通はデカルト積とは呼ばれない（とおもう）
デカルト積との関係は
Π{Ak|k=1,…,n}→A1×…×An
f→(f(1),…,f(n))
による同一視で

デカルト積の段階でも
(A×B)×CとA×(B×C)は異なるけれど
((a,b),c)と(a,(b,c))を対応させて同一視するのが普通（とおもう）

1個だけの「デカルト積」は(a)とaを同一視でその聚合そのものでいいかな
0個の「デカルト積」は定義しないとするか
Aと1×Aをa→(0,a)で対応させて同一視することで
1(={0})とするかかな
実数の場合の
a^1=a,a^0=1
みたいな？
>>112の定義に基づくと
A^0={f:0→A}={φ}=1
でいいのか

>Aと1×Aをa→(0,a)で対応させて同一視することで
>1(={0})とするかかな
1じゃなくAじゃね？

>A^0={f:0→A}={φ}=1
>でいいのか
いいよ、定義域が空集合の写像は空写像のみだから

>>74 戻る
(引用開始)
冪集合公理
”任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：”
きっちり書くと
冪集合公理により 任意の有限集合の類に対して、デカルト積を定義することが出来る
この対偶命題：
冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E5%85%AC%E7%90%86
冪集合公理
帰結
冪集合公理は、二つの集合
X と Y に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：
略
任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：
略
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_power_set
Axiom of power set
Consequences
The power set axiom allows a simple definition of the Cartesian product of two sets
X and Y:
略
One may define the Cartesian product of any finite collection of sets recursively:
略
(引用終り)

ちょっと誤訳 に引きずられた チョンボです

和文：任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る
英文：One may define the Cartesian product of any finite collection of sets recursively
(google訳 任意の有限集合のデカルト積は、次のように再帰的に定義できる）
これ誤訳です
英文の趣旨：
”集合たちを 任意有限個集めた デカルト積は、次のように再帰的に定義できる”
ですね
対偶
デカルト積が 再帰的に定義できないのは、有限個集めた場合ではない（即ち無限に集めた場合だ）
ってことだね
＜余談＞
『P(P(X∪Y))』みたく "冪の冪"を作っているんだ。二重冪だね（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E5%85%AC%E7%90%86
冪集合公理
帰結
冪集合公理は、二つの集合
X と Y に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：
略
(x,y)={{x},{x,y}}∈P(P(X∪Y))
X×Y⊆P(P(X∪Y)).
任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：
X1×⋯×Xn=(X1×⋯×Xn−1)×Xn.
デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論（英語版）におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_power_set
Axiom of power set
Consequences
The power set axiom allows a simple definition of the Cartesian product of two sets
X and Y:
略
(x,y)={{x},{x,y}}∈P(P(X∪Y))
and thus the Cartesian product is a set since
X×Y⊆P(P(X∪Y)).
One may define the Cartesian product of any finite collection of sets recursively:
X1×⋯×Xn=(X1×⋯×Xn−1)×Xn.
The existence of the Cartesian product can be proved without using the power set axiom, as in the case of the Kripke–Platek set theory.

>>124
>ちょっと誤訳 に引きずられた チョンボです
言い訳無用
初歩の初歩から分かってないからいつも間違う

（意味も分からず引用するのみか）

>>124
>『P(P(X∪Y))』みたく "冪の冪"を作っているんだ。二重冪だね（＾＾
なんでP(P(X∪Y))が必要か分かってる？

>>124
>ちょっと誤訳 に引きずられた チョンボです
数学文献の自動翻訳なんて誤訳だらけなんだから原文読めよ　君、英語もできないの？
collection は族であって類なんて訳しちゃダメだろ

同値関係にまったく触れられてない時点で類はおかしいと思わない？　馬鹿だから思わないか

集合系

>>117
>>この対偶命題：
>>冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない
>はおそらくだけど
>「Nが有限集合で無いからQ^Nは存在しない」
>と言いたいのでないかと思う

サポートレスありがとう
ほぼその通り

１）対偶命題は、チョンボで >>124の通り
”英文：One may define the Cartesian product of any finite collection of sets recursively
(google訳 任意の有限集合のデカルト積は、次のように再帰的に定義できる）
これ誤訳です
英文の趣旨：
”集合たちを 任意有限個集めた デカルト積は、次のように再帰的に定義できる”
ですね
対偶
デカルト積が 再帰的に定義できないのは、有限個集めた場合ではない（即ち無限に集めた場合だ）
ってことだね
＜余談＞
『P(P(X∪Y))』みたく "冪の冪"を作っているんだ。二重冪だね”
と訂正するよ

２）>>98-100 に示した通りだが
　公理的集合論ZFCでは、
　無限デカルト積とか 無限数列を作る役割は、選択公理の役割だ
　だから、コーシー列ならば まず 選択公理で Q^Nなる無限デカルト積を 作って
　その後で
　Q^Nの元 q1,q2,・・qi,・・ に対して >>93-94 のような議論じゃないの？

素直になろうよ みんな （＾＾

>>131
>公理的集合論ZFCでは、
>無限デカルト積とか 無限数列を作る役割は、選択公理の役割だ
はい、大間違いです。

>だから、コーシー列ならば まず 選択公理で Q^Nなる無限デカルト積を 作って
はい、大間違いです。

>素直になろうよ みんな （＾＾
率直に言って、君、初歩の初歩から分かってないので数学板で発言しない方が良い

>>131
>公理的集合論ZFCでは、
>無限デカルト積とか 無限数列を作る役割は、選択公理の役割だ
妄想

>だから、コーシー列ならば まず 選択公理で Q^Nなる無限デカルト積を 作って
>>92で教えられても理解できないサル

教えられなくても理解するのが利口者
教えられて理解するのが普通のバカ
サルは教えられても理解できない

選択公理無しでも有理コーシー列 0,0,・・・ の存在を示せるんだから
>公理的集合論ZFCでは、
>無限デカルト積とか 無限数列を作る役割は、選択公理の役割だ
は妄想って分かりそうなもんだけど、サルは重度NPD患者なので自分の妄想こそ正しいと信じて疑わない

I love me. とは普通言わないみたい。

She don't care. という歌詞はある。

そもそも従属選択公理によって有理コーシー列の存在が言えるだけでは、有理コーシー列全体の集合を要する実数の構成に対し何の役にも立たない。
サルは初歩の初歩から分かってない。

そもそも選択公理の主張は ∀X((X≠{}∧¬{}∈X)⇒ΠX≠{}) であって、集合 ΠX の存在は選択公理に依らない。
サル、公理的集合論がチンプンカンプン。

サルは公理的集合論以前に論理がチンプンカンプン。
論理式が読めなければ大学一年で落第するのは当たり前。
だから言ってるだろ？
>口を閉じて初歩の初歩から勉強しなおせ　無駄なことはするな(>>115)
と

Nは無限集合ですからQ^Nは普通はデカルト積とは呼ばないでしょうね
（まあそう呼ぶと決めても良いですけどお薦めはしかねます）
彼の人は「選択公理がなぜ必要なのか」を理解してません
「無限に関する定義をするには選択公理が必要」と誤解してます
正しく理解できて初めてコーシー列による実数定義に選択公理は不用であるとの理解ができるようになるでしょうに

>>135
> ID:q9wIXpUf
キモ

悪口言ってる奴よりマシw

（）←これの方が…

ムダな人

>>59
>3）直積 Sn×Sn以外の手法は？
>　さあ？ これも AI壁打ちはしていない・・ （＾＾

AIがあるので、ガウスのまねで壁打ち追加
下記
一般n次対象群 sn n>3 の部分群で巡回群の最大位数は
”対象群の元の位数は、その置換を互いに素な巡回置換の積に分解したときの各巡回置換の長さの最小公倍数（LCM）で決まります”
という また
”ランダウの関数（Landau's function）と呼ばれる数論的な関数を用いて計算され、概ね \(e^{\sqrt{n\ln n}}\) に漸近する形で急激に大きくなります”
だが、一方で SnやAnの位数は nの階乗 n！ で増えて 指数関数よりも 増大度大だ
おそらく S3xS3が例外的に適合して n＞3ではダメな気がする（未確認 なお 下記の AIによる概要も未検証です）
ガウスのまねの壁打ち追加でした （＾＾

(google検索)
一般n次対象群 sn n>3 の部分群で巡回群の最大位数はnか？
AI による概要
いいえ、一般に \(n > 3\) の \(n\) 次対象群 \(S_{n}\) において、部分群としての巡回群の最大位数は \(n\) ではありません。
正解は 「 \(S_{n}\) の巡回群の最大位数は、 \(n\) 以下の整数の分割のなかで互いに素な和が \(n\) となる場合の最小公倍数の最大値」 です。たとえば \(n = 4\) の場合、\(S_{4}\) の元の最大の位数は 4（例えば \((1\ 2\ 3\ 4)\) のような長さ4の巡回置換）ですが、巡回群の最大位数は 6 になります。これは、位数 2 の元と位数 3 の元の積によって生成される巡回群などが該当します。
理由と具体例部分群が巡回群であるとき、その巡回群の位数は「その群に含まれる元の位数」と一致します。そして、対象群の元の位数は、その置換を互いに素な巡回置換の積に分解したときの各巡回置換の長さの最小公倍数（LCM）で決まります。
したがって、部分群としての「巡回群の最大位数」を知るには、\(n\) の分割の中で最小公倍数の最大値を求める必要があります。

\(n\) 次対称群における巡回群の最大位数の比較対象群巡回群の最大位数理由 (巡回置換の長さの最小公倍数の最大値)
\(S_{3}\)3\(\text{LCM}(3) = 3\)
\(S_{4}\)4\(\text{LCM}(4) = 4\)
\(S_{5}\)6\(\text{LCM}(3, 2) = 6\) (長さ3と長さ2の積)
\(S_{6}\)6\(\text{LCM}(3, 2, 1) = 6\)
\(S_{7}\)12\(\text{LCM}(4, 3) = 12\)
\(S_{10}\)30\(\text{LCM}(5, 3, 2) = 30\)

ランダウの関数（Landau's function）と呼ばれる数論的な関数を用いて計算され、概ね \(e^{\sqrt{n\ln n}}\) に漸近する形で急激に大きくなります。このため、\(n > 3\) において巡回群の最大位数が常に \(n\) になるのは \(n = 4\) の場合のみとなります。

>>140
まず選択公理の主張を理解していないし、「従属選択公理を仮定すればある種の数列の存在が言える」を仮定しなければ言えないと勝手に妄想している。
論理が分からない畜生だからしょうがない。

まあ「ある種の数列の存在」が言えたところで実数の構成にはまったく無駄なんだが
つまり何重にも間違ってて手が付けられない　初歩の初歩から勉強し直すしかない

>>この対偶命題：
>>冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない
は
>「Nが有限集合で無いからQ^Nは存在しない」
と言いたかったとのことだが
デカルト積を定義できないのは有限個でない時
と
有限個でない時デカルト積は定義できない
を混同しているのと
デカルト積を定義するのは（普通は）有限個のときに限る
のだから
Q^Nはデカルト積と呼ばないのが普通であって
それとは別の定義のものであるとは思い至らないらしい
定義を勝手に拡張して「デカルト積」と呼び
それは（通常の定義から）存在しないとするのは
さすがストローマンの使い手だな

ふっふ、ほっほ
ここは、中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペンを書いておくよ

>>137
>そもそも従属選択公理によって有理コーシー列の存在が言えるだけでは、有理コーシー列全体の集合を要する実数の構成に対し何の役にも立たない。

赤ペン
１）従属選択公理→可算選択公理
２）存在が言えるだけでは→”存在が言える”は
　数学では非常〜に 大事で、数学的モノゴトの始まり
　実際 ZFC公理は すべからく 集合の存在を主張する

>>140
>Nは無限集合ですからQ^Nは普通はデカルト積とは呼ばないでしょうね
>（まあそう呼ぶと決めても良いですけどお薦めはしかねます）

赤ペン
１）”Nは無限集合ですから”がダメ
２）デカルト先生は R^2でデカルト積 (r1,r2) ｜r1,r2∈R
　を考えた故事をしらないんだね
　”Rは無限集合ですから”って デカルト先生に言ってあげようｗ
３）勉強不足だよ 下記 ベクトル空間 の無限次元の項を 百回音読してね
　無限次元ベクトルの成分が実数Rなら R^N
　無限次元ベクトルの成分が複素数Cなら C^N
　量子力学やったら 常識 （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられる。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に関数をベクトルとする無限次元の関数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空傍間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相空間を備えており、それによって近傍や連続といったことを考えることができる。こういた線型位相空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された[11]。その当時、代数学と新しい研究分野であった関数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる[12]。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた。
クラス
・無限次元ベクトル空間: 有限次元ベクトル空間の定義を満たさないベクトル空間[19]

（Q^NのQには言及してないのにね）

彼の人の書いた
>冪集合公理により 任意の有限集合の類に対して、デカルト積を定義することが出来る
>この対偶命題：
>冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない
の有限集合はインデックスのことを書こうとして「チョンボ」したのかと思っていたら
本気で混同していたのか
これは恐ろしい

これもテンプレ入りかな？
>>Nは無限集合ですからQ^Nは普通はデカルト積とは呼ばないでしょうね
>赤ペン
>１）”Nは無限集合ですから”がダメ
>２）デカルト先生は R^2でデカルト積 (r1,r2) ｜r1,r2∈R
>　を考えた故事をしらないんだね
>　”Rは無限集合ですから”って デカルト先生に言ってあげようｗ

>>148
(引用開始)
>「Nが有限集合で無いからQ^Nは存在しない」
と言いたかったとのことだが
デカルト積を定義できないのは有限個でない時
と
有限個でない時デカルト積は定義できない
を混同しているのと
(引用終り)

中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペン書いておくよ

冪集合公理では、無限デカルト積を定義できないと
無限デカルト積が 存在しないとを混同していますよ

つまり、なんらの選択公理がない（可算選択公理さえない）
ZF公理系では Q^Nは否定も肯定もできない
つまり、Q^Nの存在を証明するための公理の強度が不足している

そこ（ZF）に 可算選択公理ACωを追加すれば
Q^Nは 証明できる

”有限個でない時デカルト積は定義できない”って
勉強不足（>>149）

（無限デカルト積って勝手な定義をして自家撞着か）

（Q^NはZFで存在示せるのにね>>92）

（そしてΠXでさえZFで定義はできるのに>>112）

（選択公理とは何であるかをまったく理解できてないとは）

>>150
>（Q^NのQには言及してないのにね）

ああ、これは失礼したね

　>>149
"２）デカルト先生は R^2でデカルト積 (r1,r2) ｜r1,r2∈R
　を考えた故事をしらないんだね
　”Rは無限集合ですから”って デカルト先生に言ってあげようｗ"
が、滑ったか

無限次元線形空間を 最初に考えたのはだれだっけ
下記が参考になるだろう

(google検索)
無限次元線形空間を 最初に考えたのはだれか？
AI による概要
無限次元線形空間（ベクトル空間）を単一の数学者が最初に生み出したわけではありません。19世紀後半、ジュゼッペ・ペアノがベクトル空間の抽象的な定義を与え、それを無限次元に拡張したダフィット・ヒルベルトとステファン・バナッハが20世紀初頭に現代的な理論を完成させました。

1. 抽象化の始まり（1888年）イタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノ (Giuseppe Peano) が、公理を用いて線形空間（ベクトル空間）の現代的な定義を初めて定式化しました。しかし、彼が主眼を置いていたのは主に有限次元の空間でした

2. 無限次元空間の登場（20世紀初頭）微分方程式などを扱う中で、個々の関数全体が無限次元の「ベクトル空間」を成すことが見出されました
・ダフィット・ヒルベルト (David Hilbert)：1900年代初頭、無限個の数列や二乗可積分関数がなす空間（後に「ヒルベルト空間」と呼ばれる）を研究し、積分方程式の理論を展開しました
・ステファン・バナッハ (Stefan Banach)：1920年代、より一般的な無限次元線形空間の枠組みである「バナッハ空間」を提唱し、関数解析学の基礎を築きました

数学史において無限次元空間がどのように生まれ、発展したかの詳細な解説（英語ですが視覚的な理解の助けになります）：
https://youtu.be/KaMHZGUBoT4?t=1
解析学（関数と微積分）を作った数学者8人、数学用語を完全解説
趣味の大学数学
13,237回視聴 2023/11/09
数学には、代数、幾何、解析という3つの分野があります。
解析学は、関数や微分、積分を扱う分野です。
今回は、解析学を生み出した数学者8人と、数学用語を解説します。

0:00 イントロ
0:24 1人目：アルキメデス
1:47 2人目：ニュートン
3:32 3人目：ライプニッツ
4:46 4人目：オイラー
6:03 5人目：フーリエ
7:51 6人目：コーシー
8:55 7人目：バナッハ
10:35 8人目：ルベーグ
12:27 まとめ

>>155
>（Q^NはZFで存在示せるのにね>>92）

下記な
無限 Cartesian product
”選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある”
百回音読してね

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product
Cartesian product
Infinite Cartesian products
It is possible to define the Cartesian product of an arbitrary (possibly infinite) indexed family of sets.
略
Even if each of the Xi is nonempty, the Cartesian product may be empty if the axiom of choice, which is equivalent to the statement that every such product is nonempty,
(google訳)
選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある

>>149
>１）従属選択公理→可算選択公理
はい、大間違いです。
可算選択公理により数列の存在が言えてもそれがコーシー列であることは言えません。
というか、実数の構成において欲しいの有理コーシー列全体の集合だからそもそも数列の存在だけ言えてもまったく無駄。何重にも間違ってる。根本から分かってない。

>２）存在が言えるだけでは→”存在が言える”は
>　数学では非常〜に 大事で、数学的モノゴトの始まり
まったくトンチンカン。

>実際 ZFC公理は すべからく 集合の存在を主張する
はい、大間違いです。
外延性公理は二つの集合が等しいための条件、正則性公理は集合の元の持ち方に関する制約を主張している。
サル、公理的集合論がちんぷんかんぷん。

>１）”Nは無限集合ですから”がダメ
>２）デカルト先生は R^2でデカルト積 (r1,r2) ｜r1,r2∈R
>　を考えた故事をしらないんだね
>　”Rは無限集合ですから”って デカルト先生に言ってあげようｗ
まったくトンチンカン。何を指摘されてるかすら理解できないサル。

>(参考)
>ベクトル空間
トンチンカンなコピペで分かってるフリしても無駄。恥を上塗るだけ。

>>153
>なんらの選択公理がない（可算選択公理さえない）
>ZF公理系では Q^Nは否定も肯定もできない
>>92で教えられても理解できないサル。
教えられなくても理解するのが利口者。
教えられて理解するのが普通のバカ。
サルは教えられても理解できない。

>つまり、Q^Nの存在を証明するための公理の強度が不足している
妄想。

>そこ（ZF）に 可算選択公理ACωを追加すれば
>Q^Nは 証明できる
妄想。

>”有限個でない時デカルト積は定義できない”って
>勉強不足（>>149）
「有限族の場合帰納的に定義できる」を「無限族の場合定義できない」と勝手読みするサル。
根本から分かってないので口を閉じて初歩の初歩から勉強し直せ。

🤭

>>159
>無限 Cartesian product
>”選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある”
>百回音読してね
空であることと存在しないことはまったく別であることが理解できていないサル。
なおかつ 0,0,・・・∈Q^N だから空でない。
またまた何重にも間違えるサル。もういいから口閉じて初歩の初歩から勉強し直せ。

サルは数学板で発言禁止な
おまえが口開けば嘘デタラメを大量にまき散らすだけだから

>ここは、中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペンを書いておく
重度NPD患者の症例

🙊

>>159 補足

10年ほど前から、なんども旧ガロアすれで紹介した
九州大 原隆先生 実数の構成に関するノート 2007 ホイヨ

（その前は、落合理先生が 阪大助教授時代に アップしてくれていた 実数の構成 pdfファイルがあって それを使っていたが
先生は、東工大の教授に行かれて ホームページにあったいろいろなpdfが 参照できなくなったのは 残念です。代わりに原隆先生をば ）

(参考)
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原　隆　（九州大学数理学研究院）
Lastupdated: Juy10,2007
概要
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたものです．具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を2章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構成を3章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を4章で述べました．そのあと，更に舞台を拡げて，実数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に5章で説明してあります．

(参考)
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/
原隆（数理物理学）九州大学

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/lectures-past.html
２００７年度の講義
数学II（理系コア科目）
　（理系）１，２年向け，2007年度春学期，毎週月曜４限 より詳しいページへ

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/core07.html
数学II (理系コア科目)

実数についてのプリントの書きかけ(2007.07.10 改訂版) （PDF file, 676KB）
これは去年の講義の参考資料として 作ったもので，４回目くらい以降に役に立つでしょう．一杯ミスがあると思うので，そのつもりで ご覧下さい．内容は今までのものとあまり変わってませんが，旧版では数の「切断」というべきところが 「分割」となっていたところが多かったので（指摘してくれた学生さん，どうもありがとう）それを「切断」に 統一しました．このミスで混乱した学生さん，申し訳ありません．深くお詫びします．
配布プリントの中には，もしかしたら単純なタイプミスや計算間違いがあるかもしれません． このようなものはない方が良いのは当たり前ですが，実際問題として少々のミスが混入する事を 防ぐ事は不可能です．この点はご了承の上，ご利用ください．

原君は選択公理が要るとか嘘言ってんの？
なんで貼った？

貼ったものをおまえが理解してると人は思うと思った？
おまえ一個も理解しとらんやん

彼の人の存在は邪魔なだけでなく有害です
どんどん頭が悪くなっているのは本人の問題であり自業自得でしょうが
この振る舞いを容認するなりあるいは見習うかのような
愚かな者を産み出して数学板全体に悪影響を及ぼしています

サル、>>127に答えられず
>二重冪だね
とか分かってる風な口きいたところで肝心なことはさっぱり分かってない
分かってないのに分かってるフリはみっともないからやめろと何度注意されても治らない重度NPD患者

>>167
河東泰之， 線形代数と関数解析学
『以下，線形代数が無限次元でどのような形を取るのか見ていくことにする』

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/surikagaku.htm
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0806.pdf
河東泰之， 線形代数と関数解析学，「数理科学」 Vol.46-6, pp.39-43, サイエンス社，2008．

1. はじめに
線形代数は線形空間とその上の線形作用素を取り扱う．
ごく基礎的な部分は線形空間が有限次元でも無限次元でも違いはないが，線形代数の中心的な話題，すなわち対角化，ジョルダン標準形，ランクの話などは，線形空間が有限次元でないと話がうまく進まない．
そもそも行列を具体的に書く話が線形代数の中心であり，無限サイズの行列は最初から話に入っていない．
この意味で通常の線形代数は有限次元の理論であると言ってもさしつかえない．
これを無限次元で考察するのが関数解析学である．
しかし，単に無限次元の線形空間やその上の線形作用素を考えたのでは，手がかりが少なすぎて，意味のある一般論はほとんど何も展開できない．
そこで新たな手法が必要になる．
それが収束の概念である．
これを導入し，位相的な考察を加えた無限次元の線形代数が関数解析学である．
そもそもなぜ「関数」解析というのだろうか．
それはさまざまな関数のなす無限次元空間が基本的な対象だからである．
関数解析学成立の重要な動機を与えたのは，微分(あるいは積分)方程式と量子力学である．
これら二つについては本号の特集でそれぞれ別に記事があるのでここでは詳しいことは書かないが，前者については関数が出てくるのは当然であり，後者についてもさまざまな関数が物理的状態を表すものとして現れることに注意しておこう．
以下，線形代数が無限次元でどのような形を取るのか見ていくことにする．

ここは中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが
ZFC公理系は、無限集合を扱う
最初に無限集合を生成するのが ”7）無限公理”
ここから、最初の無限集合の自然数の集合N(可算無限)ができる
一方、無限集合の整列順序を扱うのが、”9）選択公理（または同値な命題）”
選択公理と同値な命題は、いろいろある。整列可能定理とか
無限デカルト積を作るとか、下記の従属選択公理の記載にあるように
可算無限列やそれ以上の 超限列の生成を認めるものを考えることができる
この常識を 頭に入れよう！ （＾＾

>>87 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。
（連番は筆者が付けた）
1）外延性の公理：任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない
2）正則性公理：略
3）分出公理図式：分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できる
　ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる
4）対の公理：任意の集合 xと y について、少なくとも xと y を元とする集合が存在する
5）和集合の公理：略
6）置換公理図式：置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する
7）無限公理：略
8）冪べき集合公理：略
9）選択公理（または同値な命題）：任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである

(参考)（前スレ>>829より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる

公理DC(ℵα) ― 関係R⊂P(X)×Xが、
Xの部分集合Yが、
|Y|<ℵαならばある
x∈Xが存在して
YRxとできるとする。
このとき、関数f:ℵα→Xで、
(∀β<ℵα)[{f(γ)|γ<β}Rf(β)]
をみたすものが存在する
この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり
全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける

使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである

分出公理はある集合の部分集合として切り出す必要がある。その制限の無い内包公理はラッセルのパラドックスの原因となるから。
その意味で X×Y:={(x,y)|x∈X∧y∈Y} は実は不十分な表記で、何の部分集合かの指定が必要。それが P(P(X∪Y))。つまり十分な表記は X×Y:={(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y}。
(x,y):={{x},{x,y}},{x},{x,y} の存在は対の公理、X∪Y の存在は和集合の公理、P(X∪Y),P(P(X∪Y)) の存在はべき集合の公理、{(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y} の存在は分出公理がそれぞれ必要。これですべて網羅してるから選択公理は不要。

分かったかい？おサルさん　君、手取り足取り教えないと分からない馬鹿なんだね　諦めて山へ帰れば？

>>173
>ここは中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが
またNPD発作か？

>一方、無限集合の整列順序を扱うのが、”9）選択公理（または同値な命題）”
妄想。
整列可能定理は任意の集合が整列集合であることを主張するが、順序数はZF公理系で（つまり選択公理無しで）整列集合であることが示される。（「無限のスーパーレッスン」はここを誤解している。）
また可算集合も同じ。何度教えても理解できないサル。

>選択公理と同値な命題は、いろいろある。整列可能定理とか
>無限デカルト積を作るとか、
>>92で教えられても理解できないサル。
教えられなくても理解するのが利口者。
教えられて理解するのが普通のバカ。
サルは教えられても理解できない。

>この常識を 頭に入れよう！ （＾＾
と、何度教えても理解できず嘘デタラメをまき散らす非常識な畜生に言われてもね

>>172
無駄コピペで分かってるフリはみっともないからやめような

ですね
憐れです

N×Qとそれを使ったQ^Nの定義をそれぞれ示した上で存在証明に必要な公理を一つ一つ丁寧に解説したのに、それでも理解できないサルは山へ帰るべき
数学板で分かってるフリして発言するのはみっともないし害悪しか無いから厳に慎むべき
まあサルの場合は病気（NPD障害）の治療から始めた方が良いだろう

>>174
(引用開始)
分出公理はある集合の部分集合として切り出す必要がある。その制限の無い内包公理はラッセルのパラドックスの原因となるから。
その意味で X×Y:={(x,y)|x∈X∧y∈Y} は実は不十分な表記で、何の部分集合かの指定が必要。それが P(P(X∪Y))。つまり十分な表記は X×Y:={(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y}。
(x,y):={{x},{x,y}},{x},{x,y} の存在は対の公理、X∪Y の存在は和集合の公理、P(X∪Y),P(P(X∪Y)) の存在はべき集合の公理、{(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y} の存在は分出公理がそれぞれ必要。これですべて網羅してるから選択公理は不要。
(引用終り)

詰んだな
１）有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
２）下記より 19世紀後半まで 選択公理は 暗黙に使用されていた
　選択公理が不要な場合：有限帰納法の原理など
　選択公理が必要な場合：一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません
３）下記 ヒルベルト有限主義を百回音読しよう
　基本的に ”一階述語論理における証明は有限でなければならない”という原理は、厳然と維持されている

(参考)>>98-100 より抜粋再録
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice 選択公理
(google訳)
19世紀後半まで、選択公理は正式には述べられていなかったものの、暗黙のうちにしばしば用いられていた。例えば、集合Xが空でない集合のみを含むことが確定した後、数学者は関数Fを定義するために「すべてのs∈Xについて、F ( s )をsの要素の一つとする」と述べることがあった。一般に、選択公理を用いずにFの存在を証明することは不可能であるが、このことはツェルメロまで気づかれずにいたようである。
(google訳)
選択公理が不要な場合
有限個の空でない集合の集合に対する選択関数の存在は、選択公理に依拠することなく、有限帰納法の原理によって証明できます。[7] この証明は、単一の空でない集合 A が与えられた場合、一階述語論理では A の具体的な要素 a を選択できるという事実を利用しています。しかし、一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません。
選択公理が不要なもう一つのケースは、標準的な選択関数を与える明示的な規則が存在する場合です。例えば、集合 X の各要素が自然数の空でない部分集合である場合、そのような明示的な規則の一つは、各 A ∈ X の最小要素を選択することです。各 A ∈ X をその最小要素に写像する標準的な選択関数は、選択公理を用いずに ZF で構成できます。
一般に、X に含まれるすべての集合の和集合が整列可能であれば、選択公理を用いなくても選択関数を構築できる。ただし、各 A∈X が整列可能であればは 十分ではないことに注意が必要である。なぜなら、いずれにせよ、各 A に対して標準的な整列順序を選択するために選択公理が必要になる場合があるからである。

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Finitism
Finitism
(google訳)
有限主義
歴史
もう一つの立場は、デイヴィッド・ヒルベルトによって支持された。すなわち、有限な数学的対象は具体的な対象であり、無限な数学的対象は理想的な対象であり、理想的な数学的対象を受け入れることは有限な数学的対象に関して問題を引き起こさない、という立場である。より厳密に言えば、ヒルベルトは、理想的な無限対象を用いて得られる有限な数学的対象に関する定理は、それらを用いなくても得られることを示すことができると信じていた。したがって、無限な数学的対象を認めることは、有限な対象に関して問題を引き起こさない。このことから、ヒルベルトは有限的な手段を用いて集合論の無矛盾性と完全性の両方を証明するという計画に着手した。これは、理想的な数学的対象を追加することは有限的な部分に関して保守的であることを意味するからである。ヒルベルトの見解は、数学の形式主義哲学とも関連付けられている。有限的な手段によって集合論、あるいは算術の無矛盾性と完全性を証明するというヒルベルトの目標は、クルト・ゲーデルの不完全性定理のために不可能な課題であることが判明した。しかし、ハーヴェイ・フリードマンの壮大な予想は、ほとんどの数学的成果は有限的な手段を用いて証明可能であることを示唆している。

ヒルベルトは、彼が有限主義的と考え、初等的と呼んだものについて厳密な説明を与えなかった。しかし、ポール・ベルネイズとの共同研究に基づき、テイト（1981）などの一部の専門家は、原始再帰算術はヒルベルトが有限主義的数学と考えたものの上限とみなすことができると主張している。 [ 1 ]
(引用終り)
以上

>>179
>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
自己紹介ですか？

（誰が詰んでいるのやら）

>>179
>選択公理が不要な場合：有限帰納法の原理など
>選択公理が必要な場合：一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません
>基本的に ”一階述語論理における証明は有限でなければならない”という原理は、厳然と維持されている
何をどう誤解したらQ^Nの存在証明が無限長と思うの？　頭おかしいの？

おサルは「Q^Nの構成には無限回の選択が必要！」と妄想してるのかな？
NPDこじらせ過ぎでは？　早く治療した方が良いよ

（選択関数についてデタラメな理解をしているようです）

>詰んだな

現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP　が

Π(i∈I)Q(i)と
Π(i∈I)Qは
違う

それぞれ異なる集合であるQ(i)に対して
その元を選ぶ関数は必ず構成できるとはいえない

しかし同じQなら一つq∈Qを選べば
どのiについてもそのqを選べばよいので
空集合でないことがただちに示せる

詰んだな　現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP

無限直積の各集合が異なる場合と全部同じ場合では全然違う

論理が分かっていれば即座に分かる
トンチンカンな誤りを吠え続けるのは・・・論理が分かってない証拠

空でないQの無限個の直積は
選択公理を前提しない場合
空であることもあり得る、というのは
正方行列＝正則行列、と同レベルのポカ

誤　現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
正　現代数学の落伍者 雑談 ◆yH25M02vWFhP

「Qの無限個の直積は
選択公理を前提しない場合
空であることもあり得る」
には反例 (0,0,・・・) が存在する。
たったこれだけのことが理解できないサルに数学は無理。

おサルは従属選択公理のステートメントを「数列の存在を示すには従属選択公理が必要」と勝手読みしてるのだろう。
勝手読み癖を治さないとオチコボレを卒業できないぞおサル。

サルですが話題を変えるための長文コピーを鋭意検索しておるところです
しばらくお待ちください

話題変更wktk

彼の人は
一階述語論理の論理式は可算個しかないから
数学の対象はすべて可算といいたいのかも？

ファン・デル・サル

集合 2^N は存在し、かつその元はほとんど論理式で記述できない
なぜなら 2^N は非可算、論理式の全体は可算だから

おサルは一階述語論理という用語を使ってるが、どこまで理解してるか怪しい
論理式すらまともに読めないしな

>>179
分出公理はある集合の部分集合として切り出す必要がある。その制限の無い内包公理はラッセルのパラドックスの原因となるから。
その意味で X×Y:={(x,y)|x∈X∧y∈Y} は実は不十分な表記で、何の部分集合かの指定が必要。それが P(P(X∪Y))。つまり十分な表記は X×Y:={(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y}。
(x,y):={{x},{x,y}},{x},{x,y} の存在は対の公理、X∪Y の存在は和集合の公理、P(X∪Y),P(P(X∪Y)) の存在はべき集合の公理、{(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y} の存在は分出公理がそれぞれ必要。これですべて網羅してるから選択公理は不要。

から、何をどう勘違いしたら
>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
なる感想が出るのやら　数学を初歩の初歩から分かってないから変な妄想してるんだろうね

ふっふ、ほっほ
オチコボレさんの数学素人
中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく
下記の Axiom of choice 百回音読して勉強してね （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
(含むgoogle訳)
選択公理を援用することなく作成できます。特に、要素を選択する集合の数が有限である場合（この場合、帰納法を適用できます）、または要素の選択方法に関する標準的な規則（各集合のちょうど1つの要素に対して成り立つ何らかの特徴的な性質）が利用可能な場合です。
「最小の数を選択する」は選択関数です。自然数から無限個の集合が収集されたとしても、各集合から最小の要素を選択して集合を作成することで選択関数を形成することは常に可能です。ここでは選択公理は必要ありません。一方、実数のすべての空でない部分集合の集合については、それぞれの部分集合から1つの要素を選択するための既知の標準的な規則は存在しない。この場合、目的の選択関数を構築するには、選択公理を適用する必要がある。
現在ではほとんどの数学者によって何の留保もなく使用されており、[ 3 ]標準的な公理的集合論である選択公理付きツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）にも含まれている。その理由の一つは、チコノフの定理など、一般的に受け入れられている多くの数学的結果の証明には選択公理が必要であることである。現代の集合論者は、決定性公理など、選択公理と両立しない公理も研究している。
Statement
A choice function (also called selector or selection) is a function
f, defined on a collection
X of nonempty sets, such that for every set
A in X, f(A) is an element of
A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom—For any set
X of nonempty sets, there exists a choice function
f that is defined on
X and maps each set of
X to an element of that set.

Formally, this may be expressed as follows:
∀X[∅∈X∨∃f[dom f=X∧∀A∈X[f(A)∈A]]].
Each choice function on a family
X of nonempty sets is an element of the Cartesian product of the sets in X, and vice versa.
したがって、選択公理の同等の形式は次のようになる：
空でない集合の任意の集合の直積は空でない
This form implies a more general form where the Cartesian product is of a general indexed family of sets (which may contain duplicates), since one can always select the same element from duplicate factors.

>何をどう勘違いしたら
>>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
>なる感想が出るのやら

あぁ、なるほど
「数列を作るには無限回の選択が必要」
という見当外れな妄想が原因ですね。

0,0,・・・は数列ですよ？　無限回の選択なんて全く不要です。
Q^N とは 有理数列全体の集合ですよ？ ZF公理系（つまり選択公理無し）において Q^N が存在することを>>174と>>92で完全に示してますよ？

つまり正解（>>174と>>92）を教えられても理解できずに見当外れな妄想から抜け出せないのが原因ですね。
数学は諦めた方が良いでしょう。基礎学力が壊滅してますから。

２６℃
晴れのちくもり

>>199
コピペは無意味ですよ？「数列を作るには無限回の選択が必要」が妄想と認識できない限り「実数の構成に選択公理が必要」も妄想と認識できない、それだけのことですから。
しかし「0,0,・・・ は数列」も理解できないんですかね？　理解できたなら妄想であることは認識できるはずなんだが。よっぽど頭が悪いんでしょうね。とてもじゃないが数学は無理かと。

２６℃
晴れのちくもり

「0,0,・・・ は数列」は高校生でも分かるでしょう。それが分からないんじゃ大学数学は無理ですね。諦めた方がよろしいかと。

２６℃
晴れのちくもり

ID:inVeCxPO
荒らし行為は慎みましょう

２６℃
晴れのちくもり

ID:inVeCxPO
君は「実数の構成に選択公理が必要」をどう思う？　コメントしないということは是認？

不必要

いやー、ここ最近は大変だった。
まったりやっていこうw

不必要

おサルさんさあ、君が御大と呼ぶ人も「実数の構成に選択公理が必要」は間違いだとさ
御大には
>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
って言わないの？　なんで？　ねえなんで？

>>212
"実数の構成"の数学的定義が、問題になる

下記 "実数の構成"の数学的定義が、>>167の
原隆　九州大
『実数の構成に関するノート』全体を意味するならば
その中に、選択公理を使う場面はある
（つまり 実数の性質の完備性の証明など）
デデキントカットの部分に限れば不要

(参考)
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原　隆　（九州大学数理学研究院）
Lastupdated: Juy10,2007
概要
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたものです．具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を2章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構成を3章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を4章で述べました．そのあと，更に舞台を拡げて，実数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に5章で説明してあります．

>>209,211
不必要な人が何か言ってますね

>>213
だから完備性の証明に選択公理なんて要らないって言ってんの
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
君、英語も読めんの？

>>213
>下記 "実数の構成"の数学的定義が、>>167の
>原隆　九州大
>『実数の構成に関するノート』全体を意味するならば
>その中に、選択公理を使う場面はある
要するに君は検索でヒットしたから必要って言ってるだけ。中身をぜんぜん理解せずに。

従属選択公理を仮定すればある種の数列の存在を言える。
そのことと実数の構成における選択公理の必要性はまったく別問題。
中身を1ミリも理解せずに検索でヒットしたから必要に違いないと妄想してるだけ。そんなサルに数学は無理。

>>214-217
ふっふ、ほっほ

下記”Axiom of countable choice”（可算選択公理）と ”Axiom of dependent choice”（従属選択公理）を 百回音読しよう！ （＾＾
１）”Each set in the countable sequence of sets (Si) = S1, S2, S3, ... contains a non-zero, and possibly infinite (or even uncountably infinite), number of elements. The axiom of countable choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding sequence of elements (xi) = x1, x2, x3, ...”
　とありますがなｗ
２）”ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers. For instance, in order to prove that every accumulation point x of a set S⊆R is the limit of some sequence of elements of S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.”
　とありますがなｗ

”Axiom of countable choice”（可算選択公理）さえ仮定しない ZFのみでは
デデキントカットで なにか実数R らしき集合が出来ても
それと、コーシー列との関係がつかない
そうすると 困るでしょｗ （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Axiom_of_countable_choice.svg/500px-Axiom_of_countable_choice.svg.png
Each set in the countable sequence of sets (Si) = S1, S2, S3, ... contains a non-zero, and possibly infinite (or even uncountably infinite), number of elements. The axiom of countable choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding sequence of elements (xi) = x1, x2, x3, ...

Applications
ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers. For instance, in order to prove that every accumulation point x of a set S⊆R is the limit of some sequence of elements of S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.
When formulated for accumulation points of arbitrary metric spaces, the statement becomes equivalent to ACω.
The ability to perform analysis using countable choice has led to the inclusion of ACω as an axiom in some forms of constructive mathematics, despite its assertion that a choice function exists without constructing it.[1]

>>218 追加
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
Formal statement
A homogeneous relation
R on X is called a total relation if for every
a∈X, there exists some
b∈X such that
aRb is true.
The axiom of dependent choice can be stated as follows: For every nonempty set
X and every total relation
R on X, there exists a sequence
(xn)n∈N in X such that xnRxn+1 for all n∈N.
In fact, x0 may be taken to be any desired element of X.
(To see this, apply the axiom as stated above to the set of finite sequences that start with x0 and in which subsequent terms are in relation R, together with the total relation on this set of the second sequence being obtained from the first by appending a single term.)

If the set X above is restricted to be the set of all real numbers, then the resulting axiom is denoted by DCR.
Use
Even without such an axiom, for any n, one can use ordinary mathematical induction to form the first
n terms of such a sequence. The axiom of dependent choice says that we can form a whole (countably infinite) sequence this way.

The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices.

Relation with other axioms
The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences. If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.

＞百回音読しよう！

一回も読めてない素人が何言っても無駄

>>218
(引用開始)
”Axiom of countable choice”（可算選択公理）さえ仮定しない ZFのみでは
デデキントカットで なにか実数R らしき集合が出来ても
それと、コーシー列との関係がつかない
そうすると 困るでしょｗ （＾＾
(引用終り)

１）解析を考えると、すぐ R→C（複素数）へ拡張したくなる
　このとき、デデキントカットより コーシー列の方が使いやすい！
２）つまり、 コーシー列ならば
　実数 Rから そのまま 複素数Cのコーシー列の議論に移るのが容易（ワイエルシュトラス）

下記 ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
を、百回音読しよう！ （＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2844
高校数学の美しい物語
コーシー列 2023/08/31
この記事では，コーシー列の意味と性質について解説します。

目次
実数のコーシー列
コーシー列の応用
有理数のコーシー列
展望〜距離空間への一般化

実数のコーシー列について，次の定理が重要です。

定理1
実数列
{an}がコーシー列であるならば，数列
{an} は収束する。
逆に収束する実数列はコーシー列である。

逆から証明します。
収束するならコーシー列であることの証明
略
一方「コーシー列なら収束する」の証明は少し難しいです。まず
{an} の収束値がないと議論できないので，それを構成します。そのために ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 を使います。
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有界な実数列
{an} は収束する部分列を持つ。
この定理を用いるために，まず
{an} の有界性を証明します。
コーシー列ならば収束すること
略
ステップ2：収束値の構成
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 より
略
よって {an} は α に収束する。

コーシー列の応用
略
つまり，
1.実数のコーシー列の収束値は実数
2.有理数のコーシー列の収束値は有理数とは限らない
です。1を実数の完備性といいます。

展望〜距離空間への一般化
複素数の絶対値に対してコーシー列を考えることができます。複素数のコーシー列も複素数に収束します。
実数や複素数の絶対値は 距離空間 に一般化できるのでした。コーシー列も距離空間に一般化できます。
コーシー列(一般の距離空間)
略
これまで見てきたように実数の集合は完備距離空間になります。一方，有理数の集合は完備ではありません。

有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます。

実は有理数を完備化する方法は1通りではありません！ 興味がある人は
p 進数 で調べてみましょう。

また関数列に対してもコーシー列を考えることができます。これはまた次の機会にお話します。

>>218
>”Axiom of countable choice”（可算選択公理）さえ仮定しない ZFのみでは
>デデキントカットで なにか実数R らしき集合が出来ても
>それと、コーシー列との関係がつかない
つまり 0,0,・・・ はコーシー列でないと言いたいの？
君、初歩の初歩から分かってないね　数学無理だから諦めれば？

現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP が誤解していること

１．有理コーシー列の同値類としての実数の定義に選択公理が必要
→×　必要ない

２．実数の連続性の証明に選択公理が必要だから、実数の定義に選択公理が必要
→×　実数の定義のみから実数の連続性が証明できるわけではないから

（定義できないと言っていたのに今では完備性の証明ができないに主張をねじ曲げましたね）

コーシー列の同値類で実数を作る場合
同値関係はどっか上に書いた大小関係から得るものでいいのかな？
つまり
(xn),(yn)∈CS={(xn)∈Q^N|0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i,j∈N: |xi-xj|<ε}
について
(xn)<(yn) ::⇔ ∃p,q∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: xi<p<q<yi
とするとき
(xn)〜(yn) ::⇔ ¬((xn)<(yn)∨(yn)<(xn))
で
R=CS/〜
と

このときRのコーシー列は
CS(R)={(ξn)∈R^N|0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: |ξi-ξj|<ε}
のように定義したいので
α=[xn],β=[yn],γ=[zn]∈R
に対して
|α-β|<γ
すなわち
α<β+γかつβ<α+γ
とはどういうことかを定義しなくてはいけないか
コーシー列の和は
(xn)+(yn)::=(xn+yn)
でよいから
(xn)<(yn) ::⇔ ∃p,q∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: xi<p<q<yi
そのまま使えば良いかな

こう定義した時
Rの完備性は
∀(ξn)∈CS(R),∃η∈R,0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i∈N: |ξi-η|<ε
ということになるか

>>221
>１）解析を考えると、すぐ R→C（複素数）へ拡張したくなる
>　このとき、デデキントカットより コーシー列の方が使いやすい！
>２）つまり、 コーシー列ならば
>　実数 Rから そのまま 複素数Cのコーシー列の議論に移るのが容易（ワイエルシュトラス）
実数体をRと書く。
実数の公理から x^2+1 は実根を持たない。すなわち x^2+1 はR上既約だから C:=R[x]/(x^2+1) はRの2次拡大体で {1,√(-1)} はCをR上の線形空間と見たときの基底。よってCは複素数体。
コーシー列も選択公理も不要。

>百回音読しよう！
何回音読しても勝手読みしたら無駄。むしろ変な妄想を持たないだけ全く読まない方がマシ。

彼の人はおそらく
α∈R=CS/〜
を
α=[xn]
と表せる代表元
(xn)∈CS
を選ぶのに選択公理が必要と言うような気もするが
ここにはいらない
なぜなら選択関数を使って（作って）いるわけでは無いので
どの代表元でも同じ結論が言えるということを示せば良いだけ

>>227
>∀(ξn)∈CS(R),∃η∈R,0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i∈N: |ξi-η|<ε
これはいわゆる対角線論法で示せるかな
η=((ξn)n)
でよさそう

切断で定義するRが完備は確かもっと簡単だったはず
(X,Y)をQの切断でYに最小がない奴だとして
R={(X,Y)|X,Y≠φ,X∪Y=Q,∀x∈X,∀y∈Y,∃z∈Y: x<z<y}
そのコーシー列は
CS(R)={(ξn)∈R^N|0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: |ξi-ξj|<ε}
において
|α-β|<γ
すなわち
α<β+γかつβ<α+γ
の定義を切断の和と大小で定義して
∀(ξn)=((Xn,Yn))∈CS(R),∃η∈R,0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i∈N: |ξi-η|<ε
を満たす
η=(X,Y)
を
X=∩{∪{Xn|m<n}|m∈N},Y=Q＼X
のように定義するのかな
Yに最小が無いのを示せないかも？その場合Yに最小が有っても無くてもいいことにして最小がある場合それをXに移した切断と同値にして考えるか

>>218
>１）”Each set in the countable sequence of sets (Si) = S1, S2, S3, ... contains a non-zero, and possibly infinite (or even uncountably infinite), number of elements. The axiom of countable choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding sequence of elements (xi) = x1, x2, x3, ...”
>　とありますがなｗ
>２）”ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers. For instance, in order to prove that every accumulation point x of a set S⊆R is the limit of some sequence of elements of S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.”
>　とありますがなｗ
「実数の構成に選択公理が必要」なんて書いてありませんがなｗ

>下記”Axiom of countable choice”（可算選択公理）と ”Axiom of dependent choice”（従属選択公理）を 百回音読しよう！ （＾＾
何回音読しても勝手読みしたら無意味。むしろ勝手読みにより変な妄想抱くくらいなら一回も読まない方がマシ。

一回も読まなければさすがに分かった気にならないだろう。
勝手読みで分かった気になって変な妄想が正しいと信じ込むのは害悪でしかない。

２０℃
晴れ時々くもり

>>222-234
ID:3ZBTbAUT は、御大か
巡回とお天気日誌ありがとうございます

さて、前スレより再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/831-833
>>830
なるほど・・・
君の論にも一理ある
が >>829にも一理あるぞ

つまり 下記 google検索で
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

まあ、おサルさんと痛み分けか・・（＾＾

(google検索)
Construction of real numbers using rational Cauchy sequences and Axiom of countable choice in ZF axiomatic set theory
AI概要
Constructing real numbers as equivalence classes of rational Cauchy sequences formalizes the idea that any real number is the limit of approximations. In ZF, the Axiom of Countable Choice (ACω) is required to prove that these equivalence classes form a mathematically complete field.
1. The Setup: Rational Cauchy Sequences
We begin within ZF (Zermelo-Fraenkel set theory without Choice). We assume the rational numbers, Q, have already been constructed.
・A Cauchy sequence of rationals is defined as a function f: N → Q such that for every rational ε > 0, there exists an integer N such that for all m, n > N:
｜f(m) - f(n)｜ < ε
・Let C be the collection of all such Cauchy sequences. This forms a set via the Axiom of Replacement and the Power Set Axiom.

2. The Equivalence Relation
Intuitively, two sequences represent the same real number if and only if the distance between their terms tends to 0 as n → ∞.
・We define a relation 〜 on C by f 〜 g if and only if lim_n → ∞ ｜f(n) - g(n)｜ = 0).
・This relation 〜 is an equivalence relation.
・The set of real numbers R is defined as the set of equivalence classes:R = C / 〜

3. Arithmetic Operations
The algebraic field operations (addition and multiplication) are defined pointwise on the sequences:
・(𝑓+𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)+𝑔(𝑛)
・(𝑓⋅𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)⋅𝑔(𝑛)
We must verify that these operations are well-defined (i.e., if f_1 〜 f_2 and g_1 〜 g_2, then f_1 + g_1 〜 f_2 + g_2). This is entirely proven within standard ZF and requires no choice axioms.

つづく

つづき

4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.

5. Alternative Without Choice: Dedekind Cuts
If we strictly want to avoid the Axiom of Countable Choice altogether in ZF, mathematicians typically use the Dedekind cut construction instead of Cauchy sequences. Dedekind reals construct the continuum directly by partitioning Q into two non-empty sets (a lower set and an upper set), bypassing the need to patch together sequences and invoke choice functions.

If you are interested, I can help you by:
・Comparing the Cauchy vs. Dedekind constructions in ZF
・Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
・Explaining how these real number models differ without choice
Let me know how you'd like to proceed!

追加検索
Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
結果
The relationship between the Axiom of Countable Choice (AC_ω) and the Axiom of Dependent Choice (DC) is hierarchical. Both are weak forms of the full Axiom of Choice (AC) used to restore standard analysis in ZF, but DC is strictly stronger than AC_ω.
略
4. Impact on Real Numbers and Analysis
While AC_ω is enough to construct the real numbers via Cauchy sequences and prove that R is Cauchy complete, it is not enough for other fundamental properties of calculus.
・What AC_ω can do: It proves that every countable union of countable sets is countable, and that the regular Cauchy completion of Q equals the Dedekind completion.

つづく

つづき
（関連ページ）
https://www.reddit.com/r/math/comments/1kcnu7l/are_cauchy_sequences_the_most_useful_ways_to/
質問 r/math
1年前
PhantomSasuke
Are Cauchy sequences the most useful ways to define Real numbers?
Proof assistants like lean define real numbers as equivalence classes of Cauchy sequences which allows it to formalise the various results in analysis and so on.
I was curious if alternate definitions (such as Dedekind cuts) of the real numbers could be used to streamline/reduce the complexity of formal proofs.
（回答(抜粋)）
Melchoir
1 年前
In the context of Lean, Kevin Buzzard started a thread asking a related question in 2019 here, then wrote some thoughts on the topic in 2020 here.
The current documentation for the standard library addresses the choice in Mathlib.Data.Real.Basic:
This choice is motivated by how easy it is to prove that ℝ is a commutative ring, by simply lifting everything to ℚ.
There is some further discussion of different constructions in Mathlib.Topology.UniformSpace.CompareReals, hinting that Dedekind hasn't been done:

Thesaurius
1 年前
I personally really like the construction using Cauchy sequences, because to me it is the most clear one. But the Cauchy Reals have less constructive power than Dedekind Reals, in the sense that without assuming further axioms, the second implies the first, but not the other way round. There are a dozen or so ways to construct the Reals, and they form a hierarchy of strength, Dedekind Reals being on the top (together with a few other constructions).
The comparisons are done in a paper where there is also a strict definition of strength, but I unfortunately can't find it anymore. Also: In the classical setting of ZFC, all the constructions are equivalent, so as long as you only do classical math, it doesn't really matter which one you use.
(引用終り)
以上

>>235
>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

サルの悪い癖
正解を提示されているのに無視して独善持論を繰り返す

重度NPD患者だから絶対に間違いを認めない
病院行け

>>235-237
前スレからの引用再録
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

これは、google AI概要で まあまあだろう（>>235-237の英文を読むか 自分でAI壁打ちをしな。英語でね。日本語はダメ）
上記をもとに >>235-237についてみると

>>222
>つまり 0,0,・・・ はコーシー列でないと言いたいの？

意図が分らん
我々は、ZF公理系(選択公理C無し)で有理数Qが構成されたあとの
実数Rの構成を論じている。つまり、有理数Qを使って → 無理数を構成すること
コーシー列 0,0,・・・ は、無理数を構成しない

>>224
>（定義できないと言っていたのに今では完備性の証明ができないに主張をねじ曲げましたね）

誤解だよ >>235に引用したが 前スレ830の2026/06/04で
すでに 下記 を示している
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

>>225
>コーシー列の同値類で実数を作る場合

コーシー列の同値類で実数を作る場合に
>>236に前スレから引用してあるが googleのAIは下記
”4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.”

>>238
>実数の公理から

実数の公理を裏口から密輸している
ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ

（嘘しか書かないのだな）

>>238
>>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
>https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
>を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

意味分らん
そのリンク先は
(引用開始)
>選択公理抜きの ZF だけの 有理コーシー列による実数構成を きちんと最後までやってもらえ
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
(引用終り)
だね

で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
例えば
Tarski's axiomatization of the reals
とか
それ 笑えるんだけど？（＾＾

>>241
>コーシー列 0,0,・・・ は、無理数を構成しない
3,3.1,3.14,3.141,・・・が属す同値類は無理数を構成しないと？　頭大丈夫？

>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

>”4. The Role of Countable Choice
ソースは？

>実数の公理を裏口から密輸している
>ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ
これは酷い
ZF公理系で構成された集合が実数の公理を満たすことを示すことが構成のゴールって理解できないの？
君、根本から分かってないね　とてもじゃないが数学は無理だから諦めたら？

>>231
ξn=(Xn,Yn)
(ξn)がコーシー列とは
0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: ξi<ξj+ε∧ξj<ξi+ε
ということだが
ε>0
なので
0<ε∈Q
でよくて
ξi=(XiYi)<ξj+ε=(Xj+ε,Yj+ε)
とは
Xi⊂Xj+ε
ξj=(XjYj)<ξi+ε=(Xi+ε,Yi+ε)
とは
Xj⊂Xi+ε
てこと
つまりコーシー列であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i,j∈N: Xi⊂Xj+ε∧Xj⊂Xi+ε
が成立するということ
そして
η=(X,Y)
が
η=limξn
であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: Xi⊂X+ε∧X⊂Xi+ε
ということ
ここで
X=∩Xj
とすると
n<i,j
について
X⊂Xj⊂Xi+ε
はOK
Xi⊂Xj+ε
より
Xi⊂∩Xj+ε=X+ε
もOKだから
このηが
η=limξn
ということすなわち
R={(X,Y)|X,Y≠φ,X∪Y=Q,∀x∈X,∀y∈Y,∃z∈Y: x<z<y}
は完備

>>243
>で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
>例えば
>Tarski's axiomatization of the reals
>とか
>それ 笑えるんだけど？（＾＾
あぁ、君、根本から分かってないね
それは実数の公理な
ZF公理系で構成された集合が実数の公理を満たすことを示さないと構成できたことにならんって理解できないの？　初歩の初歩の初歩からちんぷんかんぷんなんだね

テンプレ入りです
>・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
>　完備であることの証明はできない

サルは初歩の初歩の初歩からちんぷんかんぷんで迷言連発しとるな
ここまで頭悪いと自分が馬鹿であることすら認識できないんだろう
畜生は手に負えんな

>>230
コーシー列による実数の構成でもこのηがlimξnであることの証明は>>225-227,229の流れで何とかなりそう

ホームラン級のバカ発言
>実数の公理を裏口から密輸している
>ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ
と
>で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
>例えば
>Tarski's axiomatization of the reals
>とか
>それ 笑えるんだけど？（＾＾
もテンプレ入りで

サルの習性・・・文書から単語を抜き取って勝手に妄想膨らませる。
例えば「太陽は日光を放射し、それが物体に当たると暗い影を作る」という文章から「日光」と「暗い」を抜き取って「日光は暗いんだ！」と主張する。
文書を読む能力が決定的に壊滅している。検索＆コピペで分かってるフリしてきた長年の習慣の弊害だろう。

>>245
>X=∩Xj
>とすると
コリャあかんな
やっぱ
X=∩{∪{Xj|n<j}|n∈N}
でないと
でこれで
X⊂∪{Xj|n<j}⊂Xi+ε
はOK
Xi⊂Xj+ε⊂∪{Xj|n<j}+ε
より
Xi⊂∩{∪{Xj|n<j}|n∈N}+ε=X+ε
もOK

だから「コピペをやめて初歩の初歩から地道に勉強しろ」とアドバイスしてるのにサルは決して言うことを聞かない
重度NPD患者だからアドバイスを敵対行為と受け取ってしまう
病気を治さない限りどうにもならんぞサル

Q.NPD患者は他者からの善意のアドバイスを敵対行為と受け取ってしまいますか？
A.
はい、自己愛性パーソナリティ障害（NPD）の患者は、善意のアドバイスであっても「自分への批判」や「攻撃」として受け取ってしまうことが非常に多いです。これは彼らの抱える「自分は完璧で特別でなければならない」という強い防衛機制によるものです。
具体的な理由は以下の通りです。
・アドバイス＝能力の否定と解釈： 誰かから改善点などを指摘されると、「自分は劣っていると言われた」「自分を支配しようとしている」と歪んで認識してしまいます。
・プライドの防衛： 理想の自分を保つために、指摘や助言を「敵の敵対行為」として捉え、激しい怒りを示したり、逆に無視（シンプソン）したりして自分を守ろうとします。
そのため、彼らにアドバイスをする際は、真っ向から改善点を伝えるのではなく、工夫が必要です。
もしよろしければ、以下のような状況について教えていただけますか？
・その方との関係性（例：職場、家族、友人など）
・どのようなシチュエーションでアドバイスが必要になったか
・過去にアドバイスをした際、相手がどのような反応を示したか
具体的な状況を共有していただければ、相手を無用に刺激せず、安全でスムーズにコミュニケーションをとるための具体的な対処法をアドバイスできます。

>>252
説明ちょっと分かりにくかったかも
X=∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}
としたとき
n<∀i,j: Xi⊂Xj+ε∧Xj⊂Xi+ε
なので
X=∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}⊂∪{Xj|n<j}
このn<jであるXjはすべて
Xj⊂Xi+ε
なので
∪{Xj|n<j}⊂Xi+ε
よって
X⊂Xi+ε
はOK
次に
Xiはn<jであるすべてのXjについて
Xi⊂Xj+ε
なので
∀m∈N
で
m,n<∀j: Xi⊂Xj+ε
つまり
Xi⊂∪{Xj|m,n<j}+ε⊂∪{Xj|m<j}+ε
だから
Xi⊂∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}+ε=X+ε
もOK
よって
η=(X,Q-X)
は
η=limξn

おサルの持論「有理コーシー列を作るには無限回の選択が必要」は見当外れな妄想。
実際
0,0,・・・
3,3.1,3.14,・・・,[π×10^n]/10^n,・・・　（[x]はxを超えない最大の整数）
は有理コーシー列。無限回の選択は不要。
そしてZF公理系における有理数列全体の集合 Q^N の存在を>>174と>>92で完全に示している。
よって不服なら>>174と>>92に具体的に反論するしかない。一方的に独善妄想を吐いても反論になっていない。

教えられなくても理解するのが利口者。
教えられて理解するのが普通のバカ。
サルは教えられても理解できない。

重度NPD患者だから「俺の持論が間違っているはずがない」と思い込み理解を妨げているのだろう。だからまず病気を治せと言ってるのに人のアドバイスを聞かないサル。

サル病

>よって不服なら>>174と>>92に具体的に反論するしかない。一方的に独善妄想を吐いても反論になっていない。
サルは箱入り無数目でも一方的に独善妄想を吐くばかりで記事の証明への具体的反論は皆無。
数学どうこう以前に議論の仕方を知らない。

整数の準同形ぽい写像で直接実数作ることができるらしいよ
作り方見たらm/n∈Qをすっとばすのに準同形ぽい写像使ってるだけだから
全く異なるって感じでも無かったけど

Qのコーシー列も
X=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
で
(X,Q-X)
が切断だから
本質的には変わらない定義と言える

>>244-259
ここは 中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが

１）抽象化された現代数学では、数学的対象の存在と その数学的対象の性質とを分離して考えることが多い
　例えば 単位的環がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0
　”単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) とは[注釈 1]、乗法単位元を持つ環のことである”
　もし 単位元が存在すれば 環の中では一意である
（ chiebukuro.yahoo ”Rを環とすると、零元と単位元は一意的に定めることを示してください” 2023/4/15 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13278590893）

２）似た例は いろいろあるだろうが 例えば O–T L2 extension theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Ohsawa%E2%80%93Takegoshi_L2_extension_theorem
　とかね（ある条件を満たすn次元複素関数が より高次の空間に 拡張が存在する）
　存在がいえると、その関数の性質はどうか？ と考えるのが 人の常

３）さて、>>173に示したように ZFC公理系で (Cの選択公理以外で)
　3）分出公理図式：部分集合、4）対の公理：xと y を元とする集合、5）和集合の公理 があり
　そして 6）置換公理図式：定義可能な関数において集合の像も集合内にある （例えて簡便にいえば 他の3〜4）などの組み合わせ可だと）

４）集合に整列順序を与える公理が必要で それが 9）選択公理で 英語ではChoice のCで表して ZFCとなる
　実は、こいつは 多様な働きをする (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 )
　整列可能定理、ツォルン補題、比較可能定理（任意の集合の濃度は比較可能である）
　直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）
　ベクトル空間における基底の存在（全てのベクトル空間は基底を持つ）
　チコノフの定理（コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクト）など

５）コーシー列と直接関係するのが
　整列可能定理と 直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）の二つ
　整列可能定理で、有理数Qから 可算ωの整列が生成できる。それに収束という色を付ければ コーシー列
　直積定理で Q^Nを作れば (q0,q1,q2,・・・) の存在が言える これに収束という色を付ければ コーシー列ができる

このように、選択公理Cを認めれば 無限列や 無限直積の存在がいえて （両者の存在が同値であることを再度強調しておく）
コーシー列の存在も容易に言えるだろう（少なくとも 選択公理Cを使わない場合よりも容易にね）
可算ωに限れば、選択公理C→可算選択公理ACω で間に合う

そして、後の展開も楽だ
つまり、有理数Qからコーシー列とかで 実数の集合Rを作ったとして
直後に Rのコーシー列が必要になる 完備をいうために
そのときになって 選択公理Cを使うならば、最初から認めておけば良い その方が話の展開が楽だってこと

勿論、基礎論として 何がどこまで厳密に必要なのか は、学術的には重要である
それは、基礎論屋さんがやれば良いし それはもう終わっている話だろう■ （＾＾

我々のよく知る実数の集合RのI=(0,1]の元にはよく知られた2進展開表記があります
有限小数つまり分母が2べきの分数には2通りの表記があるので
長い方にしておきましょうか
すると2進表記に必ず1が無限個使われることになるので
J={(xm)∈2^N|∀n∈N,n<∃m∈N:xm=1}→I:(xm)→Σxm/2^m+1
が全単射になります
全単射ですのでこの逆写像が存在し
fn:(0,1]→J→Fn={(xm)∈2^N|n<∀m:xm=0}→I∩Q:Σxm/2^m+1→Σ{xm/2^m|m<n}
とすると
(0,1]→CS(Q):x→(fn(x))
が定義できこれが実数にコーシー列を対応させる写像に拡張できますね
ならば切断からコーシー列への写像も選択公理使わずに構成できるか

（嘘しか書かない）

>>262
>けれどコーシー列や切断から作られるRは
>どちらも実数の公理を満たすので同じもの

ご苦労様です

”どちらも実数の公理を満たすので同じもの”は、ZFCでは いろいろ文献があるようで
問題は、C抜きのZFそのまんまで どこまで言えるか？ですね
（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）

>>264
>ならば切断からコーシー列への写像も選択公理使わずに構成できるか
具体的にはこうかな？
Z/2^n={m/2^n|m∈Z}
と書くことにしたらこれはZと全単射だから
切断(X,Y)に対して
X∩Z/2^n→Z:x→(2^n)x
の像が上に有界だから最大値があるので
それを与えるxをxnとすれば
(xn)はコーシー列であってここから
X=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
が復元できそう

つまり
具体的にQの上で切断とコーシー列との相互の対応を構成できて
それらが定義する"実数"は同じものと示せるわけか

（嘘しか書かない）

>>263
>集合に整列順序を与える公理が必要で それが 9）選択公理で 英語ではChoice のCで表して ZFCとなる
はい、大間違いです。
選択公理は整列順序を与える公理ではありません。実際、選択公理に依ることなく可算集合も順序数も整列集合です。

>コーシー列と直接関係するのが整列可能定理と 直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）の二つ
はい、大間違いです。

>整列可能定理で、有理数Qから 可算ωの整列が生成できる。それに収束という色を付ければ コーシー列
トンチンカンです。
整列可能定理に依ることなく有理コーシー列 0,0,・・・ の存在が言えます。

>直積定理で Q^Nを作れば (q0,q1,q2,・・・) の存在が言える これに収束という色を付ければ コーシー列ができる
はい、大間違いです。
直積定理に依ることなく Q^N の存在も有理コーシー列 0,0,・・・ の存在も言えます。

>このように、選択公理Cを認めれば 無限列や 無限直積の存在がいえて
はい、大間違いです。
実際認めなくても言えますから。

>（両者の存在が同値であることを再度強調しておく）
はい、大間違いです。
有理数列とはNからQへの写像、その全体が Q^N です。

>コーシー列の存在も容易に言えるだろう（少なくとも 選択公理Cを使わない場合よりも容易にね）
0,0,・・・ はコーシー列でないと？　頭だいじょうぶ？

>可算ωに限れば、選択公理C→可算選択公理ACω で間に合う
そもそも選択公理が不要

>そして、後の展開も楽だ
>つまり、有理数Qからコーシー列とかで 実数の集合Rを作ったとして
>直後に Rのコーシー列が必要になる 完備をいうために
>そのときになって 選択公理Cを使うならば、最初から認めておけば良い その方が話の展開が楽だってこと
0,0,・・・ はコーシー列でないと？　頭だいじょうぶ？

>勿論、基礎論として 何がどこまで厳密に必要なのか は、学術的には重要である
実数の構成に選択公理は不要

>それは、基礎論屋さんがやれば良いし それはもう終わっている話だろう■ （＾＾
不要で終わってる

>>181
なんで区別をつける必要があるんですか!？
区別をつける必要なんてないじゃないですか！
（自問自答）

KFCのCはchickenのCです。

>>266
>”どちらも実数の公理を満たすので同じもの”は、ZFCでは いろいろ文献があるようで
つまりあなたはまったく理解していないと。

>問題は、C抜きのZFそのまんまで どこまで言えるか？ですね
同型の違いを除いて一意であることが言えます。なぜなら実数の公理は二階の言語で記述されており（連続の公理は任意の上に有界な非空部分集合についての主張）範疇性が従うから。
ペアノ算術には超準モデルが存在するがペアノの公理には標準モデルしか存在しないのとまったく同じ理由で実閉体には超準モデルが存在するが実数体には標準モデルしか存在しません。

>（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）
まったくデタラメな妄言です。

>>271
それはおサルさん（現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP）が「数列を作るには無限回の選択が必要」と妄想しており、「証明の有限性に反する」とトンチンカンな言いがかりをしてるだけですねー
もともとが妄想にもとづく誤解から生まれた言いがかりなので無視でおｋ

>（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）
おサルの分かってるフリする病は治らないですね
1ミリも分かってないのに口から出まかせにデタラメ吐いてどうしたいのでしょう　赤っ恥かくだけなのに

ですね