我々のよく知る実数の集合RのI=(0,1]の元にはよく知られた2進展開表記があります
有限小数つまり分母が2べきの分数には2通りの表記があるので
長い方にしておきましょうか
すると2進表記に必ず1が無限個使われることになるので
J={(xm)∈2^N|∀n∈N,n<∃m∈N:xm=1}→I:(xm)→Σxm/2^m+1
が全単射になります
全単射ですのでこの逆写像が存在し
fn:(0,1]→J→Fn={(xm)∈2^N|n<∀m:xm=0}→I∩Q:Σxm/2^m+1→Σ{xm/2^m|m<n}
とすると
(0,1]→CS(Q):x→(fn(x))
が定義できこれが実数にコーシー列を対応させる写像に拡張できますね
ならば切断からコーシー列への写像も選択公理使わずに構成できるか