背理法は不要なのか

背理法被害者の会

https://abel.a.la9.jp/sub11.html

U.N.オーエンは彼女なのか

そう、これは昔に議論があったのか気になっていた。
この板の住人が好きそうな話題ではないか。

ハイリハイリフレハイリホー

片桐はいり

江田勝哉が全部答えてるじゃん

そして江田勝哉もまた変な人ということで

>>4
数理論理学的に意味のない主張

私自身も、他人に強要はしないまでも、（狭義の）背理法が必要ない証明では、否定を仮定して矛盾を導く形式の証明を（見かけ上）避けていた時期があるが、証明支援系の関係で数理論理を勉強して、全く無意味なことだと分かった

「Pと¬Qを仮定して矛盾が言えたら、P⇒Qが言える」を避けて、
「¬Q⇒¬Pが言えたら、P⇒Qが言える」に統一したところで、
どちらも排中律または二重否定除去を使っているので、全く無意味。

どちらの論法が教育的に分かりやすいとかも無い。
どちらが分かりやすいかは示す命題による。

はい、終了！

√2の無理数性は、有理数であると仮定したら矛盾が導かれることを示すことでしか証明できないの？

(1) 命題Pの否定¬Pに、「(P→⊥)├¬P」以外の導入規則がある
(2) 実数xが無理数であることに、「ある述語Pに対する¬P(x)」以外の特徴づけがある

のどちらかが言えればいい

>>13
(2)は、¬P(x)以外の特徴づけがあって、それを満たすことを、xを有理数だと仮定して矛盾を導く以外の方法で証明できる

では

√2が無理数であることは背理法使わずにどう証明するの？

連分数展開が循環することによる証明を
ラグランジュが考案した

なるほど

√2 - 1 = 1/(1 + √2)から

√2 = [1; 2, 2, ...]

なので、無理数

無限連分数が無理数であることの証明には背理法 (否定導入?) 使うんじゃないの？

有理数・無理数の定義を、連分数が有限かどうかに変えればいい

実数が有限連分数と無限連分数で尽くされることの証明は？

正の実数の連分数展開の
簡単明瞭な手続きから
存在と一意性は明らかだが
連分数展開が有限で終わるか無限に続くかの
いずれかであることの証明を
したいとは思わない

「有理数の連分数展開は有限」の証明にも
背理法が必要だと強弁することは可能かもしれない

有理数の連分数展開が有限なのはユークリッドの互除法なので自然数の整列性 or 数学的帰納法だけから言えるはず

実数は連分数展開を持って一意（最後に余分な+1を加えない限り）
有限連分数展開を持つ実数を有理数、そうでない実数を無理数と定義
x^2 - 2 = 0, x > 0の解は無限連分数展開を持つ

「無限連分数展開を持つ実数は有限連分数展開を持たない」を示すのに否定導入使うからこれも駄目

無限連分数展開を持つ実数を無理数、そうでない実数を有理数と定義すればいいのでは

実数が構成できてる時点で有理数は定義されとるやろ

関係ない話かもしれないけど、無限降下法の証明も怪しいやつがいっぱいあるからなぁ（汗）

>>12
有理数で無い実数が無理数の定義だから
無理数であることの証明は
有理数で無いことの証明
有理数で無いことの証明は
畢竟
有理数であるとすると矛盾することをいう他ナイだろう

背理法って
畢竟
排中律でしょ
だから
直観主義で証明できればいいかも
直観主義だと
√２が無理数でないとは言えない
までは言えるはず

>>28
だから例を出せって
例も無しに批判だけしてどうする

>有理数で無い実数が無理数の定義
ならば

>無理数であることの証明は
>有理数で無いことの証明
無理数であることの証明は
実数であり且つ有理数でないことの証明
じゃね？

無理数の定義が「実数xは有理数」の否定であって、命題Pの否定¬Pの導入は「Pを仮定したら矛盾が導びかれること」なのだから、この前提のもと、無理数であることを示す方法は「有理数であることを仮定して矛盾を導く」以外には無い。

整数nは奇数、整数nは偶数のように、命題の否定が具体的に記述できるものなら、矛盾を示す以外でも証明できる

>無理数であることを示す方法は「有理数であることを仮定して矛盾を導く」
は不十分。実際、その方法で√(-1)が無理数であることが導けてしまう。

実数でね

実数の連続の公理より sup{r∈R|r>0∧r^2≦2}:=x は実数。
x≠√2 と仮定すると定義から矛盾が導かれるから x=√2。

ラグランジュの証明に一応の「なるほど」が
言えないやつとは友達付き合いがしにくい

>>33
>命題Pの否定¬Pの導入は「Pを仮定したら矛盾が導びかれること」
そうか
(P→人)→¬P
は排中律関係ないただの否定の導入だから
「有理数と仮定して矛盾を導く」
を背理法だとするのは誤りか
たんに
無理数の定義通りに示しただけと
定義通り示すことが
「有理数と仮定して矛盾を導く」
ということなのだから
これを背理法と呼ぶのであれば
無理数であることの証明に背理法は避けられないことに
（でも背理法と呼ぶことの方があやまりと思うが）

>>41
>”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”が、天下りすぎ
任意の平方数の素因数は偶数個、よって2bbの素因数は奇数個
天下り過ぎ？　は？

そろそろ七夕

>>41 追加
実は、背理法被害者の会の話は、10年以上前に別スレで取り上げたことがある
下記は、プロ数学者の批判なので 参考になるだろう
渕野昌先生のコメントもあったのだが、検索ヒットしないので省く

(参考)
https://researchmap.jp/eda202110
江田 勝哉
基本情報
所属早稲田大学 理工学術院 基幹理工学部 名誉教授
学位
理学博士(筑波大学)

https://io.kuis.kyoto-u.ac.jp/mailman3/hyperkitty/list/[email protected]/message/QEVDOXW2PFXIMG7FCTMTKYYQALRRRLQY/attachment/4/temp.pdf
(2015 年に書いたもの）
数学基礎論の関連した、おかしな数学の先生たち
江田勝哉

脱背理法の本が出版されてしまった。今までにも、数学の先生の書
いた、数理論理学、集合論関係の本でおかしなものはある。この内容
よりも、ずっと凄まじいものもあるので、それらのおかしさを紹介し
ながら、数学基礎論(数理論理学、集合論) の専門外の人が、誤解しや
すいところを説明しようと思う。
P6
3. 背理法
関脇は初めに書いた本で「数理論理の手法- 証明の発見と背理法の
除去」安部直人中西泰雄共著で2015 年出版である。実は、この本は
読んでいない。ただ2013年2月の東京理科大の数学入試問題で、「この
問題の解答に背理法を用いてはならない」という但し書きのついた問
題が出題されたとき、安部直人先生にホームページに書かれている脱
背理法について、何をもって背理法といっているのか質問した。もち
ろん、これで話がつくはずもなく、また、丁度、ユタに3ヶ月いってい
るときであったので東京理科大のある先生と文科省にこの問題が不適
切であることを知らせた。そのため、私との間のやりとりで私の著書
に関してアマゾンに書いてあることが変であることも指摘した。そこ
で安部先生は当然、敢然と反論した、理解していないのだから仕方が
ないし、10 年以上、脱背理法にしがみついているのだから、変を認め
たら、死んでしまうかもしれない。そのようなわけで、ホームページ
の記述、アマゾンカスタマーレビューから変なことはよくわかってい
るので、本とは別に、この主張がいかに変かを書いてみる。横綱、大関
に比べると、数学的な主張としてインパクトのある点がない。その点
は三役に達していない、しかしこの教育効果という点では、横綱、大
関は引退しているのに比べ、現役でありかつ、共著者は引退に程遠い
事情から、三役入りした。

>>42
たぶん素因数分解の一意性を証明する際に
至る所で背理法使ってるはず

>>42
(引用開始)
>”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”が、天下りすぎ
任意の平方数の素因数は偶数個、よって2bbの素因数は奇数個
天下り過ぎ？　は？
(引用終り)

背理法の
√2＝a/b
2＝aa/bb
矛盾
√2≠a/b
QED

この証明を知った後
式をこねくって
天下りに”aa≠2bb”として
”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”だと

コロンブスのタマゴで
コロンブスのやり方（背理法）を知って
それを 少しだけ味付けと目先を変えただけに思えるってこと

>>45
>”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”
の証明に素因数分解の一意性は不要だけど

>>45
>たぶん素因数分解の一意性を証明する際に
>至る所で背理法使ってるはず

なるほど・・・
そうかも・・・（＾＾

道具に背理法が潜んでいる罠

>>46
なるほど
君が「天下り」の意味を知らないだけでしたか

>>47
>>”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”
>の証明に素因数分解の一意性は不要だけど

素因数分解の一意性の一つの系だということでは？
そして、そもそも 大学入試でも別解がしばしばあるように
いろんな 証明があっていいと思う

天下りに エレガントな式変形(実は知られた高等テクニックの一つ)を使うと 綺麗に解ける
昔の東大入試に多かった気がする
真正面から 力技で計算をすると 途中で式が発散して計算が大変になるとか
大学への数学の解答をみて、感心してました

背理法を目の敵にする意味わからん
証明テクニックの一つとして 自分の数学道具箱に入れて
何が悪い？ 意味わからん

>>47
素因数分解の一意性だよ？
aaと2bbの素因数が偶数個と奇数個を言うには
素因数分解に一意性が必要だし
もっと具体的に言えば
素因数分解の一意性が言えてなければ
aが偶数個の素因数分解ができてかつ奇数個の素因数分解ができるかも知れない

>>51
>>>”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”
>>の証明に素因数分解の一意性は不要だけど
>素因数分解の一意性の一つの系だということでは？
だから違うって言ってるんだけど

>>52
>aが偶数個の素因数分解ができてかつ奇数個の素因数分解ができるかも知れない
だとしてもaaの素因数は偶数個だけど？

任意の自然数nに対して2nは偶数
たったそれだけ　中学数学

>>46 補足
背理法
√2＝a/b
2＝aa/bb
矛盾
2≠aa/bb
2bb≠aa

左右入れ替えると
aa≠2bb
”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”だと？
これが 被害者の会の主張だと？

背理法証明を知ってるくせに
知らないふりで 言われても・・（＾＾

>>54
はぁ

aaの素因数の個数が偶数ってのが
素因数分解の一意性をフルに使った結果だっての

>>51
>天下りに エレガントな式変形(実は知られた高等テクニックの一つ)を使うと 綺麗に解ける
>昔の東大入試に多かった気がする
天下りの使い方間違ってる。

>背理法を目の敵にする意味わからん
>証明テクニックの一つとして 自分の数学道具箱に入れて
>何が悪い？ 意味わからん
古典論理なら何も
そうでないならそうでない
問題意識がズレてるよ君

>>56
>背理法
>√2＝a/b
>2＝aa/bb
>矛盾
この証明は否定の導入であって背理法と呼ぶべきではないと思うな

>>56
>”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”だと？
うん
任意の自然数nに対して2nは偶数、2n+1は奇数。君知らないの？　中学中退？

素因数分解の一意性が言えてないとねぇ

「背理法不要論」を言う人は
(P→人)→¬P
も否定するんだろうから
直観主義論理よりもキツイ主張だね

オイラーやラグランジュが
背理法不要論者だったとは思えない

>>59
>>天下りに エレガントな式変形(実は知られた高等テクニックの一つ)を使うと 綺麗に解ける
>>昔の東大入試に多かった気がする
>天下りの使い方間違ってる。

じゃ
天下り
　↓
神がかり

とでもすればいい
ポアンカレが 馬車に乗ろうとしたとき フックス関数のアイデアが降ってきたという
ある日本の数学者が 閉店前の喫茶店でコーヒーを飲んでいると ある数式が振ってきた

aa≠2bbは、背理法証明の √2＝a/b から自然に出てくるよ （>>56）
が、背理法証明の √2＝a/bを知らない人が それをどうやって思いつく？
そこをすっ飛ばして、3行証明が 背理法証明より短いし 背理法よりえらいと言われてもね

>>65 タイポ訂正

ある日本の数学者が 閉店前の喫茶店でコーヒーを飲んでいると ある数式が振ってきた
　↓
ある日本の数学者が 閉店前の喫茶店でコーヒーを飲んでいると ある数式が降ってきた

余談
　>>41より
背理法の証明の中では、
結果的に正しくない仮定から論理的に正しくない矛盾を導くわけですから、
途中に更に多くの誤った主張が並びます。
”「私自身が、背理法のおかげで頭が腐った被害者であると実感しています。十数年前から現在もリハビリ中です。」(背理法被害者の会)”
(引用終り)

この論でいえば
夏目漱石 我が輩は猫である を読むと
読んだ人は、猫はみな人と同じように考えると思う？
そんなバカな
みんな、小説の中だけのことと分る
同じように、背理法の証明の中における 矛盾を導く過程の命題が 背理法の外で成り立つと？

少し 小説とかマンガ読んで頭を柔らかくしよう！
その方が、数学にも役立つぜ
そもそも、理科大以外の数学書に 結構背理法使っているテキストあるよ
どうするんの？ ”背理法のおかげで頭が腐った被害者”？ そんな人いないと思うよ
みんな 小説とかマンガ読んで頭を柔らかくしていますから

>>41
べつに論破する必要はない

>>10に書いてあるとおり、見かけ上「仮定する～仮定に反する□」という記述を避けたところで、

・論理学的には何の意味もない
・教育的にも分かりやすくなるわけではない

分からなさに対する耐性をつけることは
調和の精神に反することではないだろう

>>61
aがn個の素数の積で表せたとして
aaが2n個以外の素数の積で表せないことは
素因数分解の一意性を使わないと示せないよ

わ、わかんないっピ…。

証明の途中で間違った式が出てくることが問題というなら、たとえば、

∀x∈ℤ(xは4の倍数⇒xは2の倍数)

の証明も、x = 1, 2, 3などの場合も証明しているわけなので、問題ということになる。

学生の頃はネタにしてたけど……改めて見ると頭イカれてるな
そもそも数学者として業績あんの？？？HPに論文リストすらないし

>>68
ID:gbVnYdQv は、御大か
巡回ご苦労様です

>>67
中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく
＜間接証明論：対偶法と背理法＞
１）対偶：命題 p→qに対して 対偶 ¬q→¬p(下記 進研ゼミ)は、同値（古典論理）
　（進研ゼミ ベン図見てね）
　但し、証明の容易さは 対偶の方が容易な場合がある
　例えば 3乗の因数分解 a3+b3+c3–3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ca)（下記理系ラボ）
　この式の証明は、右辺→左辺が圧倒的に易しい(逆はテクニック要)
　pとq同値命題でも、p→qとq→pの証明容易さに差がある。対偶でも同じ
２）背理法：P かつ ¬Q を仮定して矛盾（空集合）を導く方法
　下記 chiebukuro.yahoo ベストアンサー qxx********さんの図
　P ⋀ ¬Q → Φ（空集合）です
　ここで、対偶との比較で、使える条件が 対偶の¬QとPと二つの組み合わせが使える利点がある
　そして、上記と同様 元のP→Qよりも 対偶¬Q→¬Pよりも 証明容易の場合がある
３）纏めると、命題P→Qの証明のとき、間接証明として 対偶法と 背理法とがあって
　それぞれ利害得失がある。命題P→Qが簡単証明できるときは、間接証明を考える必要がない

纏めると、命題P→Qが難しいと思ったときは、上記二つの間接証明を考えてみるべし
数学常用手筋です（＾＾

(参考)
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0120.html
進研ゼミ高校講座 > Ｑ&Ａトップ > 数学のＱ&Ａ一覧 > 【数と式】逆・裏・対偶の関係
・対偶の真偽が一致することは，ベン図で理解することもできます。
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto,q_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1152_0_contraposition-207x300.png
（上側のベン図は，P ならば Q およびその対偶が真である状況。下側のベン図はいずれも偽である状況を表しています。）

https://manabitimes.jp/math/1152
高校数学の美しい物語
対偶を用いた証明のいろいろな具体例 2021/03/06

https://rikeilabo.com/cubic-expansion-and-factorization
数学�U 3乗の因数分解（展開）公式 理系ラボ
教科書では公式として扱われていませんが、次の式も大学入試では頻出なので、覚えておきましょう。
a3+b3+c3–3abc(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ca)

https://manabitimes.jp/math/1141
高校数学の美しい物語
背理法の意味といろいろな例 2021/12/15
対偶による証明と背理法
対偶法（対偶を用いた証明）と背理法による証明は混同されることがありますが，別物です。
ある命題 P→Q を示すときに，
背理法：P かつ ¬Q を仮定して矛盾を導く方法
対偶による証明：¬Q を仮定して ¬P を導く方法
です。しっかりと区別しましょう

つづく

つづき

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1399736633
chiebukuro.yahoo
ove********さん 2013/1/4
なぜp⇒qという命題の背理法では結論を否定して矛盾を見つけるんですか？

ベストアンサー
qxx********さん2013/1/5
証明方法の原理はベン図で考えると分かりやすいです。
p⇒qというのは、ベン図で言うなら、Pという集合の中に属しているなら、Qという集合の中に必ず属しているということと同義です。(図1)

背理法で行う「 p かつ (qでない) 」ことを仮定して、否定するというのはベン図で言うとどういうことか？
「 p かつ (qでない) 」は図2の斜線部分に相当します。
本当は図1のようにPは全てＱのなかにすっぽり入っていて欲しいのです。
ここで、ＰのくせにＱからはみ出している奴ら「 p かつ (qでない) 」を仮定してこいつらについて考えます。
そこで矛盾を導き出すことで、こんなはみ出し者どもは居ない、ということを証明し、PはすべてＱの中にすっぽりと入っていること、すなわちp⇒qを証明するのです。
これが背理法ですね
(引用終り)
以上

糞論はきちがいが寄り付きやすい

>>74
全然違う

>>73 補足

中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが

＜古典論理 vs 直観主義＞
１）特に断らない限り、普通は数学は 古典論理ベースと思っていい
　（ヒルベルトの形式主義が生き残った）
２）では、直観主義が完全に否定されたかというと 特殊分野では 生き残っている
　一つは、ラムダ計算 カリー＝ハワード対応 コンピュータプログラミング（除くAI）の世界
　（コンピュータプログラミングは、プログラム構成してなんぼの世界で、構成主義）
　一つは、量子論理の世界（流行りの量子コンピュータもこれ）
　つまり、普通のコンピュータプログラミングは 0か1のブール論理なのだが
　量子論理は 0か1に限られない（下記 en.wikipedia Boolean_algebra辺り からご自分で調べてください）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6)
直観主義（英: Intuitionism）とは、数学の基礎を数学者の直観におく立場のことを指す。
来歴と評価
これに類する主張は、カントールの集合論に対抗する形でクロネッカーやポアンカレによってもなされていたが、最も明確に表明したのはオランダの位相幾何学者ブラウワーである。ブラウワーの立場に対してポアンカレらの立場は前直観主義と言われることがある。ブラウワーは、数学的概念とは数学者の精神の産物であり、その存在はその構成によって示されるべきだという立場から、無限集合において背理法によって非存在の矛盾から存在を示す証明を認めなかった。それゆえ、無限集合において「排中律」、すなわちある命題は真であるか偽であるかのどちらかであるという推論法則を捨てるべきだと主張し、ヒルベルトとの間に有名な論争を引き起こした。 ヒルベルトの形式主義は、直接的にはブラウワーからの批判的主張に対し排中律を守り、数学の無矛盾性を示すためのものと考えることができる[1]。

ブラウワーの主張は感覚的で分かりにくかったが、その後ハイティング等によって整備され、結果的には古典論理から排中律を除いた形で形式化されたものが今日、直観主義論理として受け入れられている。 現代では直観主義論理は、数学の証明は全て構成的に為されなければならないという主張（数学的構成主義）と関連が深いと考えられている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9%E8%AB%96%E7%90%86
直観主義論理
ラムダ計算
カリー＝ハワード対応はIPCと直和と直積を持つ単純型付きラムダ計算との間に拡張できる。[6]

https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra
Boolean algebra

>>73 タイポ訂正

a3+b3+c3–3abc(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ca)
　↓
a3+b3+c3–3abc＝(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ca)

（補足）
右辺を展開して、左辺を得るのは簡単
左辺を因数分解して 右辺を導くのは いろいろテクニックが必要

ω

>>74
>p⇒qというのは、ベン図で言うなら、Pという集合の中に属しているなら、Qという集合の中に必ず属しているということと同義です。(図1)
背理法以前にp⇒qの真理値表から分かってないんじゃ？

ベン図は一般的な部分集合が4つある場合、真円で書くことが不可能な場合があるらしい。楕円では可能みたい。

問題に出来るかもね。
真円で書けない部分集合の例を挙げよとか。

対偶の話でベン図を持ち出す奴は十中八九何も理解できてない

>>74 補足
(引用開始)
証明方法の原理はベン図で考えると分かりやすいです。
p⇒qというのは、ベン図で言うなら、Pという集合の中に属しているなら、Qという集合の中に必ず属しているということと同義です。(図1)
背理法で行う「 p かつ (qでない) 」ことを仮定して、否定するというのはベン図で言うとどういうことか？
「 p かつ (qでない) 」は図2の斜線部分に相当します。
本当は図1のようにPは全てＱのなかにすっぽり入っていて欲しいのです。
ここで、ＰのくせにＱからはみ出している奴ら「 p かつ (qでない) 」を仮定してこいつらについて考えます。
そこで矛盾を導き出すことで、こんなはみ出し者どもは居ない、ということを証明し、PはすべてＱの中にすっぽりと入っていること、すなわちp⇒qを証明するのです。
これが背理法ですね
(引用終り)

あれあれ？
下記の高校数学の美しい物語
の対偶法説明のベン図も全く同じですぜ だんな

　>>73 より
https://manabitimes.jp/math/1152
高校数学の美しい物語
対偶を用いた証明のいろいろな具体例 2021/03/06

対偶の真偽は一致する
対偶の真偽が一致することは，ベン図で理解することもできます。
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto,q_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1152_0_contraposition-207x300.png
「P ならば Q」が真
  ⟺P が Q に含まれている
  ⟺Q の外側が P の外側に含まれている
  ⟺ 「Q でないならば P でない」が真

・上側のベン図は，P ならば Q およびその対偶が真である状況。
　下側のベン図はいずれも偽である状況を表しています。

>>84 補足

それで、ここで展開した論は
背理法は有用論であり
現代数学の主流の古典論理においては、
数学証明の一つの有力手法だよと

つまり、1)直説法、2)対偶法(間接法part1)、3)背理法(間接法part2)
この3つの証明手法を自由自在に 数学手筋として 使いこなす
それは数学ディープラーニングだよ
ある程度場数を踏めば、上記1〜3)のどれが良さそうか
判断がつく場合が増えるものだ

>>81
下らなさすぎ…・

Vennさんに言ってるんだよね、それは？
貴方よりはしょうもなくない人だと思うよw

>>86

>>84
>あれあれ？
>下記の高校数学の美しい物語
>の対偶法説明のベン図も全く同じですぜ だんな
説明のベン図とか言ってる時点でど素人
任意の含意とその対偶の同値性を証明できなければ大学1年で落第

下らないのなら、なんで描けないのか説明してくれw

楕円なら書けるようになる理由もねw

>高校数学の美しい物語
とか持ち出すど素人っ思考が大学受験で止まってんのかな？

トリビアルだから下らないという意味なのか。

2000年に入ってから「回転対称なベン図が描けることと、集合の個数が素数であることが同値である」ことが分かったらしい。

背理　背理振れ　背理法
大きくなれよ

>>94
>回転対称なベン図が描ける
の定義を

>>77 補足
>　一つは、ラムダ計算 カリー＝ハワード対応 コンピュータプログラミング（除くAI）の世界

下記「デカルト閉圏の等式理論と対応するある種の型付きコンビネータとの対応関係の証明を示した。このカリー＝ハワード＝ランベック対応は直観主義論理、型付きラムダ計算およびデカルト閉圏との間の対応として知られる」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%8F%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AF%BE%E5%BF%9C
カリー＝ハワード同型対応（カリー＝ハワードどうけいたいおう、英語: Curry–Howard correspondence）とは、プログラミング言語理論と証明論において、計算機プログラムと証明との間の直接的な対応関係のことである。「プログラム＝証明」(proofs-as-programs)・「型＝命題」(formulae-as-types)などとしても知られる。これはアメリカの数学者ハスケル・カリーと論理学者ウィリアム・アルヴィン・ハワード（英語版）により最初に発見された形式論理の体系とある種の計算の体系との構文論的なアナロジーを一般化した概念である。通常はこの論理と計算の関連性はカリーとハワードに帰属される。しかしながら、このアイデアはブラウワー、ハイティング、コルモゴロフらが定式化した直観主義論理の操作的解釈の一種（ブラウワー＝ハイティング＝ コルモゴロフ解釈（BHK 解釈）（英語版））と関係している。[要出典]

カリー＝ハワード＝ランベック対応
ヨアヒム・ランベックは1970年始めに直観主義命題論理とデカルト閉圏の等式理論と対応するある種の型付きコンビネータとの対応関係の証明を示した。このカリー＝ハワード＝ランベック対応は直観主義論理、型付きラムダ計算およびデカルト閉圏との間の対応として知られる。ここではオブジェクトは型あるいは命題に、モルフィズムは項あるいは証明に解釈される。この対応は等号レベルに於いて働き、カリー＝ハワード対応にあるような構文的・構造的同等性を表現しない：すなわち、デカルト閉圏のモルフィズムの構造と、対応する判定のヒルベルト流あるいは自然演繹の証明の構造と比較することはできない。もちろん構文的に対応するような証明体系を構成することはできる。この区別を明確にするために、デカルト閉圏の構文的な構造を次のように言い換える。すなわちデカルト閉圏を型付きの等式理論として形式化する。

https://ja.wikibooks.org/wiki/Haskell/%E3%82%AB%E3%83%AA%E3%83%BC%3D%E3%83%8F%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E5%90%8C%E5%9E%8B
Haskell/カリー=ハワード同型
カリー=ハワード同型(Curry-Howard isomorphism)は数学の一見無関係に思えるふたつの領域、型理論と構造論理を結びつける実に驚くべき関係である。

>>96
とりあえず「ベン図　～その2～」って検索して、見てくれない？
かなり壮大な話に発展しているが、それでも下らないの一言で済ませられるのか、一晩寝かせて考えてほしい。
詳しいことはお昼前に書くつもり。

>>98
>とりあえず「ベン図　〜その2〜」って検索して、見てくれない？
>かなり壮大な話に発展しているが、それでも下らないの一言で済ませられるのか、一晩寝かせて考えてほしい。
>詳しいことはお昼前に書くつもり。

あの〜（＾＾
下記のオイラー図も入れた話をおねがいします

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%9B%B3
オイラー図（オイラーず、英語: Euler diagram）は、集合の相互関係を表す図。 ベン図 と類似しているが、ベン図では、存在しない集合関係を含め、異なる集合間のすべての可能な関係を示すのに対し、オイラー図では、実際に意味のある関係のみを示し、不要な領域を省略するという違いがある（下図）

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/EulerDiagram.svg/langja-500px-EulerDiagram.svg.png
オイラー図
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/VennDiagram.svg/500px-VennDiagram.svg.png
ベン図

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_diagram
Euler diagram
(google訳)
オイラー図（/ ˈ ɔɪ l ər /、OY -lər）は、集合とその関係を表す図式的な手段です。複雑な階層構造や重複する定義を説明するのに特に役立ちます。別の集合図法であるベン図に似ています。[ 1 ]異なる集合間のすべての可能な関係を示すベン図とは異なり、オイラー図は関連する関係のみを示します。[ 2 ]

スイスの数学者レオンハルト・オイラー（1707〜1783）はこの種の図の歴史において最も重要な著者の一人ですが、彼は名前の由来となっただけで、発明者ではありません。オイラー図は当初、論理、特に三段論法のために開発され、後に集合論に転用されました。米国では、 1960年代の新しい数学運動の一環として、ベン図とオイラー図の両方が集合論の指導の一部として取り入れられました。それ以来、読書[ 3 ]などの他のカリキュラム分野や組織、企業 でも採用されています。

ベン図は、オイラー図よりも制約の厳しい形式です。ベン図は、構成要素となる集合の包含／除外のすべての組み合わせを表すn本の曲線間の、論理的に可能なすべての重なり合う領域を含まなければなりません。集合に含まれない領域は黒色で示されます。これは、集合への所属が色だけでなく重なりによっても示されるオイラー図とは対照的です。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Euler_diagram_of_solar_system_bodies.svg/960px-Euler_diagram_of_solar_system_bodies.svg.png
太陽系のさまざまな天体間の関係を示すオイラー図

つづく

つづき

ベン図の時代におけるオイラー図
ジョン・ヴェン（1834年〜1923年）は、オイラー図の驚くべき普及について次のように述べている。

「…この目的のために参照された、過去100年ほどの間に出版された最初の60の論理学論文のうち、最も入手しやすいものであったため、やや無作為に選ばれたもののうち、34が図表の助けを借りており、そのほとんどすべてがオイラー図法を使用していた。」[ 24 ]

ベン（1881a）の115〜116ページからの2ページを合成したもので、3つの部分からなる三段論法を彼独自の図に変換する方法の例を示しています。ベンは円を「オイラー円」と呼んでいます[ 25 ]。
しかし、彼は「このスキームは真に一般的な論理の目的には適用できない」と主張し[ 24 ]（100ページ）、そして次のように指摘した。

「それは、通常適用される共通論理の4つの命題にも適合するが、うまく適合しない。」[ 24 ]（101ページ）
ヴェンは、以下の例で示されているように、それらの使用は厳密なアルゴリズムに基づくものではなく、実践と直感に基づくものであるという観察で章を締めくくっている。

いずれにせよ、これらの観察と批判を武器に、Venn [ 24 ] (pp 100–125)は、どのようにして「…昔ながらのオイラー図」から、後にVenn図として知られるようになった図を導き出したかを示している。特にVennは、左に示す例を挙げている。

オイラー図の現代的利用
1990年代には、オイラー図が論理システムとして開発されました。[ 30 ]図の認知上の利点はすぐに明らかになりました。[ 31 ] [ 32 ]そのため、図は集合図としてだけでなく、人工知能やソフトウェア工学、情報技術、生命科学、医学、経済学、統計学など、コンピュータ科学のさまざまな方法や機能で使用されてきました。 [ 33 ]また、その哲学や歴史についても議論されています。[ 34 ] [ 35 ] 2000年には、オイラー図に関する最新の研究などを定期的に取り上げる国際会議シリーズ「The Theory and Application on Diagrams: An International Conference Series」が始まりました。

オイラー図とベン図の関係
ベン図は、オイラー図のより制約の厳しい形式です。

例：オイラー図からベン図とカルノー図へ
(引用終り)
以上

オイラー図やカルノー図は聞いたことがありませんね。
ベン図を調べ終わったら見てみますね。

p q ¬p ¬q p→q ¬q→¬p
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 1 1

∴(p→q)⇔(¬q→¬p)

説明のベン図がーとか言ってるオチコボレは大学一年で落第

>>97 補足
>下記「デカルト閉圏の等式理論と対応するある種の型付きコンビネータとの対応関係の証明を示した。このカリー＝ハワード＝ランベック対応は直観主義論理、型付きラムダ計算およびデカルト閉圏との間の対応として知られる」

Steve Awodey 圏論 第2版に、
デカルト閉圏 カリー＝ハワード 直観主義が書いてあった
思えば、圏論は”矢印かいてナンボ”の世界だから
本質的に構成主義かもしれない。圏論で背理法は聞かない

(参考)
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10003662.html
圏論 原著第2版 Steve Awodey 著・ 前原 和壽 著
発売日 2015/09/20
圏論が多分野に普及して30年を経た現在、誰もが読める圏論の本が必要だ――本書はこのモチベーションで執筆された。予備知識がほとんどない読者のために、例として半順序集合と半群がゼロから説明され、最後までそれらを用いて話が展開されている。これらのほかにも例が豊富に取り上げられている。なお、予備知識がほとんど必要ないとはいえ、数学的な厳密性は損なわれていない。すべての重要な命題と定理には完全な証明が付されている。本書は情報科学や論理学など、さまざまな分野へ役立てられるであろう。
(Steve Awodey :Category Theory　2nd edition、 Oxford University Press、 2010)

＜Steve Awodeyの講義動画＞
https://www.youtube.com/@p473r
p473r
https://youtu.be/ZKmodCApZwk?t=1
Category Theory Foundations, Lecture 1
p473r
2013/11/23 Oregon Programming Languages Summer School 2012
Steve Awodey - Category Theory Foundations, Lecture 1, Oregon Programming Languages Summer School 2012, University of Oregon
Homework excercises are available here: http://www.andrew.cmu.edu/user/awodey...

(p→q)⇔(¬q→¬p)は定理であって定理は証明するもの
説明するものではない　大学以上の数学では

とりあえずベン図について調べたら、集合が4つだと同じ楕円で線対称には描けるが、回転して一致するようには描けないらしい。
素数個の集合では回転して一致するようなベン図が描けるという話だと思う。
実用性が無いらしいから、それを下らないと表現するのなら、ある程度納得はできる。
さすがに言葉足らずではあると思うが…。

>ベン図をしっかり頭に叩き込もうね（＾＾
オチコボレ落第生が証明できない言い訳しても無駄

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%A4%E5%85%B8%E8%AB%96%E7%90%86
非古典論理（non-classical logic(s)）は、古典論理におけるいくつかの仮定を否定、もしくは置き換えることによって構築された論理、あるいは、古典論理における仮定をすべて認めた上で新たな仮定を付け加えることによって構築された論理の総称である。

古典論理の拡張としての非古典論理
古典論理の拡張としての非古典論理では、基本的に、古典論理のすべての定理がその論理体系でも定理となる。
様相論理
時相論理（時制論理）
線形時相論理
義務論理（規範論理）

古典論理の代替としての非古典論理
古典論理の代替としての非古典論理は、基本的に、古典論理の定理のいくつかがその論理体系では定理でない。

直観論理
排中律を認めない。
多値論理
「真」、「偽」以外にも様々な真理値を取る論理。
適切さの論理
別名 : 相関論理、関連性の論理、関連性論理
「1+1=3なら宇宙人がいる」のような命題を真とは考えない論理。
線形論理
矛盾許容論理
Aと¬Aから⊥を導けない。
なお、古典論理や直観主義論理のシークエント計算による定式化において、構造規則を制限することによって得られる論理を部分構造論理とよび、線形論理、適切さの論理や、ウカシェヴィチの多値論理が含まれる[1]。
→「部分構造論理」を参照

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96%E7%90%86
量子論理
(引用終り)
以上

簡単な論理式すら証明できないのにペタペタコピペしても無駄

>>110
ふっふ、ほっほ
文献読めない 数学イップスのオチコボレさん
これでも喰らえ！ｗ（＾＾

https://en.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum
Reductio ad absurdum
(google訳)
背理法
論理学において、reductio ad absurdum（ラテン語で「不条理への還元」）は、argumentum ad absurdum（ラテン語で「不条理への議論」）とも呼ばれ、アパゴジカルな議論、または矛盾による証明とも呼ばれ、反対の命題や議論の論理に従うと不条理や矛盾が生じることを示すことによって主張を確立しようとする議論の形式である。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]数学の証明ではかなり自由に使われているが、この種の非構成的な証明をすべての数学的思考の学派が受け入れているわけではない。[ 5 ]

この論証形式は古代ギリシャ哲学に由来し、歴史を通じて形式的な数学的・哲学的推論、そして議論において用いられてきた。数学では、この手法は背理法と呼​​ばれる。形式論理学では、この手法は「背理法（reductio ad absurdum ）」という推論規則によって表される。

より広義には、背理法とは、最初の仮定が証明すべき命題の否定ではない場合でも、矛盾にたどり着くことによって命題を確立するあらゆる形式の議論を指します。この一般的な意味では、背理法は間接証明、反対を仮定する証明[ 6 ]、および背理法[ 7 ]とも呼ばれます。

G・H・ハーディは背理法を「数学者の最も優れた武器の一つ」と表現し、「それはチェスのどんな策略よりもはるかに優れた策略だ。チェスプレイヤーはポーンや駒を犠牲にするかもしれないが、数学者はゲームそのものを提供するのだ」と述べている。[ 8 ]

正当化
古典論理では、命題¬¬P ⇒ Pの真理値表を調べることで、この原理が正当化される。真理値表は、この命題がトートロジーであることを示している。
略
この原理を正当化するもう一つの方法は、排中律からそれを導き出すことである。以下のようにする。¬¬Pを仮定し、 Pを証明しようとする。排中律によれば、P は成り立つか、成り立たないかのどちらかである。
1.Pが成り立つならば、もちろんPは成り立つ。
2.¬Pが成り立つ場合、 ¬Pと¬¬Pに矛盾律を適用して偽を導き、その後、爆発原理によりP を結論付けることができます。
いずれの場合も、我々はPを確立した。逆に、背理法を用いて排中律を導き出すことができることが分かった。

つづく

つづき

他の証明手法との関係
Refutation by contradiction
Proof by contradiction is similar to refutation by contradiction,[30][31] also known as proof of negation, which states that ¬P is proved as follows:
1.The proposition to be proved is ¬P.
2.Assume P.
3.Derive falsehood.
4.Conclude ¬P.

In contrast, proof by contradiction proceeds as follows:
1.The proposition to be proved is P.
2.Assume ¬P.
3.Derive falsehood.
4.Conclude P.
Formally these are not the same, as refutation by contradiction applies only when the proposition to be proved is negated, whereas proof by contradiction may be applied to any proposition whatsoever.[32] In classical logic, where
P and ¬¬P may be freely interchanged, the distinction is largely obscured. Thus in mathematical practice, both principles are referred to as "proof by contradiction".

Proof by contradiction in intuitionistic logic
In intuitionistic logic proof by contradiction is not generally valid, although some particular instances can be derived. In contrast, proof of negation and principle of noncontradiction are both intuitionistically valid.[33]
(引用終り)
以上

まーた訳も分からずペタペタ貼って懲りないサルだねえ

ハサミチョキチョキ
テープペタペタ
大好きな色クチュクチュ

>>112 補足
>Refutation by contradiction
>In contrast, proof by contradiction proceeds as follows:

下記 en.wikipediaでは √2の無理数証明は、
上記の ”Refutation by contradiction”で、”(and therefore are intuitionistically valid)”
だとある
後述の 仏語 Proof by contradictionでも同様で √2の無理数証明は
”There is therefore no proof by contradiction, despite appearances.
The reasoning presented is thus valid in both classical and intuitionistic logic.”
とある

国際的には √2の無理数証明は厳密には背理法でなく ”Refutation by contradiction”であって
”thus valid in both classical and intuitionistic logic”とあります
いやはや、背理法被害者の会の人、これ知ってるんかな？ （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum
より
Examples of refutations by contradiction
The following examples are commonly referred to as proofs by contradiction, but formally employ refutation by contradiction (and therefore are intuitionistically valid).[38]
（(google訳追加)以下の例は一般的に背理法による証明と呼ばれていますが、形式的には背理法による反駁を採用しています（したがって直観主義的に妥当です）。[ 38 ]）

Irrationality of the square root of 2
The classic proof that the square root of 2 is irrational is a refutation by contradiction.[39] Indeed, we set out to prove the negation ¬ ∃ a, b ∈ N.
a/b = √2 by assuming that there exist natural numbers a and b whose ratio is the square root of two, and derive a contradiction.

Assume that √2 is rational,[40] so it can be written as a fraction a/b in lowest terms, where a and b are integers with no common factors. This assumption allows us to apply a proof by contradiction.[41] Squaring both sides gives 2 = a²/b², which implies that a² = 2b².[42] Therefore, a² is even, and it follows that a must also be even. Let a = 2k for some integer k. Substituting back into the equation gives (2k)² = 2b², which simplifies to 4k² = 2b², or b² = 2k². Hence, b² is even, and therefore b must also be even. This shows that both a and b are even, which contradicts the assumption that a/b was in lowest terms. Therefore, the original assumption is false, and √2 is irrational.[40]

Proof by infinite descent
略

つつく

つづき

＜仏語（仏語ダメなので英訳スイッチ入れた）＞
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
(google英訳)
Proof by contradiction

In logic and mathematics
In mathematical logic , we distinguish the rule of refutation [ref. needed] :
・p → False, therefore not( p ) , which can be taken as the definition of negation .
of the rule of reasoning by contradiction :
・not( p ) → False, therefore p is proof by contradiction.
Both classical and intuitionistic logic admit the first rule, but only classical logic admits the second rule, which involves the elimination of double negatives [citation needed] . Similarly, the law of excluded middle is rejected in intuitionistic logic . Therefore, no proof in intuitionistic logic can rely on proof by contradiction. In other words, any proposition provable in intuitionistic logic can be proven without using it. Conversely, a proposition demonstrable in classical logic but not demonstrable in intuitionistic logic requires proof by contradiction [citation needed] .

Examples and counter-examples
・Proof of the irrationality of √2 : We assume that √2 is rational. Therefore , there exist two integers a and b, which we can assume to be coprime , such that √2 =a/b
We then have 2b² = a² . If we take the remainders of both sides in the division by 2, we obtain a² = 0 mod 2 , so a is even and equal to 2a ' ( where a ' is an integer). We then have b² = 2a'² , which, by a comparable line of reasoning, leads to b being even . However , the fact that a and b are both even leads to a contradiction with a and b being coprime. The statement √2 is rational then leads to a contradiction, and therefore its negation is valid: √2 is irrational.
In this proof, we have only used the fact that if a proposition P leads to a contradiction, then not( P ) is true .
There is therefore no proof by contradiction, despite appearances.
The reasoning presented is thus valid in both classical and intuitionistic logic.
(引用終り)
以上

>>115
(引用開始)
下記 en.wikipediaでは √2の無理数証明は、
上記の ”Refutation by contradiction”で、”(and therefore are intuitionistically valid)”
だとある
後述の 仏語 Proof by contradictionでも同様で √2の無理数証明は
”There is therefore no proof by contradiction, despite appearances.
The reasoning presented is thus valid in both classical and intuitionistic logic.”
とある
国際的には √2の無理数証明は厳密には背理法でなく ”Refutation by contradiction”であって
”thus valid in both classical and intuitionistic logic”とあります
いやはや、背理法被害者の会の人、これ知ってるんかな？ （＾＾
(引用終り)

”Refutation by contradiction”
で
否定命題の背理法は、三重否定？
直観主義論理では、三重否定除去があって
¬¬¬p→¬p が 成立するからか・・

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9%E8%AB%96%E7%90%86
直観主義論理
古典論理において二重否定導入
p→¬¬p と二重否定除去はともに定理であるが、
直観主義論理においては、二重否定を導入することはできるが、除去することはできない。
ただし三重否定除去
¬¬¬p→¬p は定理である

>>71
>x = 1, 2, 3などの場合も証明しているわけなので
証明しては居ないでしょ

背理法は対偶証明法の一種か
対偶証明法は背理法の一種か

背理法は二つの論理的帰結関係 A1,・・・,An|=B と A1,・・・,An,¬B|=⊥ が互いに必要十分であることを用いた証明法。
対偶法は二つの論理的帰結関係 A1,・・・,An|=B と ¬B|=¬A1∨・・・∨¬An が互いに必要十分であることを用いた証明法。

>>119-120
>背理法は対偶証明法の一種か
>対偶証明法は背理法の一種か

下記のen.wikipedia Contraposition(対偶) が参考になるだろう
"この等価性は命題の証明を容易にするために使用できます"ご参照
背理法も同様に、命題の証明を容易にするために使用できます

https://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition#Proof_by_contrapositive
Contraposition
(google訳)
対偶
直感的な説明
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/500px-Venn_A_subset_B.svg.png
図示されたオイラー図では、Aに含まれるものは必ずBにも含まれます。したがって、「AのすべてがBに含まれる」は次のように解釈できます。
A→B
また、B（青色の領域）内にないものはA内にも存在できないことは明らかです。このことは次のように表現できます。
¬B→¬A
これは上記の命題の対偶である。したがって、次のように言える。
（A→B）↔（¬B→¬A）。
実際には、この等価性は命題の証明を容易にするために使用できます。

証明
単純な背理法による証明
Let:
（A→B）∧¬B
Aが真ならばBも真であり、Bは真ではないとされている。このとき、背理法を用いてAは真ではないことを示すことができる。なぜなら、Aが真であればBも真でなければならないからである（モーダス・ポネンスによる）。しかし、Bは真ではないとされているので、矛盾が生じる。
したがって、Aは真ではない（真か偽かの二値命題を扱っていると仮定した場合）。
（A→B）→（¬B→¬A）
同じプロセスを逆方向にも適用できます。その際、以下の前提から始めます。
（¬B→¬A）∧A
ここで、Bは真か偽かのどちらかであることがわかっています。Bが偽であれば、Aも偽です。しかし、Aは真であると与えられているので、Bが偽であるという仮定は矛盾を生じさせ、Bが偽ではないという状況はあり得ないことを意味します。したがって、Bは真でなければなりません。
（¬B→¬A）→（A→B）
証明された2つの命題を組み合わせると、条件文とその対偶との間の、求められていた論理的同値性が得られます。
（A→B）≡（¬B→¬A）

対偶の等価性に関するより厳密な証明
略

>>122 追加

背理法利用の大物で 下記 ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明がある
『ワイルズは半安定楕円曲線に関してモジュラリティ定理を証明し、そこからフェルマーの最終定理が背理法で導かれることを明らかにした。』

これと下記望月氏IUT以外には、証明は知られていない
下記 望月氏のIUT５人論文は
abc予想を明示的に解決して 解の存在範囲を示し
値が小さいところを、コンピュータ数値計算で潰して
フェルマーの最終定理を証明している（まだ学会で認められずLEANで検証中）

素直に、間接証明の背理法が適する場面と
そうでない場面と どちらでも証明できる場面と
３つあることを認めたら良いと思うのだが・・

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

ワイルズの証明の概要
ワイルズは半安定楕円曲線に関してモジュラリティ定理を証明し、そこからフェルマーの最終定理が背理法で導かれることを明らかにした。

証明は大きく2つの部分に分かれる。
略す

ワイルズの証明の数学的詳細
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
IUT関係者による研究
関連研究
2022年7月、楕円曲線の6等分点を用いて、論文中のディオファントス的不等式中の定数の数値を明示したもの（非明示的な「定数」が現れない）に変更した、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された[51][52]。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている[53]。

誰も聞いてない背理法使用例をぺたぺた貼るオチコボレ憐れ

>>123
下記 鈴木 通夫先生の”有限単純群の分類”数学/34 巻 (1982)
背理法を使う
即ち 最小反例
『以下Gは分類定理にあげられた単純群のいずれとも同形でない最小位数の単純群と仮設する.
この仮設から矛盾を導くのが目的である』
という

背理法 分かり易いと思うけど・・（＾＾
まあ、背理法を使わない 分類定理の表現もあるんでしょうねぇ
（私には それを 考える気が全く起きないのですが・・ｗ）
追記
下記 田中康彦先生と 岩波 群論（下）鈴木通夫（多分大学の図書館なら読めるだろう）が詳しい
（後者の本は チラ見したｗ（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
(有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [2])
出典
2. “P141 9. 有限単純群の分類問題について 田中康彦（大分大学）構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題（第27回整数論サマースクール報告集）2019年” (2019年9月6日).
https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/records/33655
SS2019proceedings写真なし.pdf (7.8 MB)
https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/record/33655/files/SS2019proceedings%E5%86%99%E7%9C%9F%E3%81%AA%E3%81%97.pdf
9. 有限単純群の分類問題について・・・・・・・・・・・・・・・141
田中康彦（大分大学）

外部リンク
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_pdf/-char/ja
J-STAGEトップ/数学/34 巻 (1982) 3 号/
有限単純群の分類
鈴木 通夫
P204
§3.分類定理の証明
P205
以下Gは分類定理にあげられた単純群のいずれとも同形でない最小位数の単純群と仮設する.
この仮設から矛盾を導くのが目的である.
P208
さてこの段階で残っていた4つの散在単純群がすべて現われた.定理11により分類定理に対する最小の反例は定理9(3)の条件をみたすことがわかる.

定理12.非成分型の連結単純群Gがe(G)≧3かつ定理9の条件(3)をみたすことはできない.
ここにいたって分類定理に対する最小の反例の存在から矛盾が起り,分類定理が証明されたのである.
定理12の証明には可換部分群の弱閉包,2元体上の表現,特性核,いわゆるAschbacherブロックなどの多様な概念が必要で,[D],[SC]に証明の要点が述べられている

https://www.iwanami.co.jp/book/b266825.html
岩波 現代数学　 18
群論　（上）（下）（岩波オンデマンドブックス）
鈴木　通夫 著
この本の内容
有限群論で国際的に評価される著者自らが執筆した教科書．上巻で基本定理や方法，一般群論，下巻で有限群論を解説する．

>>124
ふっふ、ほっほ
数学文献イップス（下記）が さわぐ（＾＾

　ワイルズの>>123 フェルマーの最終定理の証明は
背理法による証明で いま公式に認められているのは これのみ（そのうち望月IUT）
　鈴木 通夫先生の”有限単純群の分類”の証明も 背理法によるものです

(google検索)
イップス 心理
AI による概要
イップスは、心理的な要因やプレッシャーが原因で、これまで無意識にできていた動作が突然できなくなる運動障害です。失敗への恐怖や「完璧にこなさなければ」という過度な緊張が脳に誤作動を引き起こし、筋肉の硬直や不随意運動をもたらします
イップスを引き起こす主な心理メカニズム
・失敗のトラウマ（フラッシュバック）過去の重大なミスや、その際に受けた強い叱責の記憶が無意識にフラッシュバックし、再び同じ失敗をする恐怖から体がすくんでしまいます。
・過度な競技不安とプレッシャー「ミスをしてはいけない」「結果を出さなければならない」という強いプレッシャーが自律神経を乱し、極度の緊張状態を生み出します
・意識の過剰（分析しすぎ）本来は無意識に行うべき動作（例：ボールを投げる、楽器を弾く）を、意識的にコントロールしようとしすぎることで、脳の指令と筋肉の動きにズレが生じます

イップスになりやすい性格的傾向
・完璧主義：ミスを極端に嫌い、理想のフォームや結果を常に追い求める人

また誰も聞いてないことをペタペタ貼ったり相手がイップスと妄想したり、オチコボレ憐れ

ホイップストロベリーケーキ

コピペ・連投・長文は
知能が低い証し

>>116 追加

中間値の定理の襲名に、背理法が必要とあるぞｗ
面白いなｗ（＾＾

https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
(google英訳)
Proof by contradiction
Examples and counter-examples
・Proving the Intermediate Value Theorem :
even though proof by contradiction does not appear in the proof of this theorem, it nevertheless relies on the principle of excluded middle, the validity of which depends on proof by contradiction. The existence of the root asserted by the theorem is purely formal and not actual. This theorem is not accepted in constructive analysis unless stronger hypotheses are added [ 3 ] .
(google和訳)
中間値の定理の証明：
この定理の証明には背理法は用いられていないものの、排中律の原理に基づいている。排中律の妥当性は背理法によって証明される必要がある。定理が主張する根の存在は形式的なものであり、実際的なものではない。より強い仮定が加えられない限り、この定理は構成的解析では受け入れられない[3]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E9%96%93%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
中間値の定理

証明
#概要に述べた一般化された定理について証明する。必要な事実は
連結空間の連続像は連結である
ということだけである（この事実はここでは認めて話を進めることにする）。
証明[4][表示]
背理法によって示そう
略
存在型の定理
この種の定理は「存在」に関しては保証してくれるが、「具体的にどこにあるか」については分からない。具体的にどこにあるのか知りたい場合には別の考察が必要であるが、「存在」さえ確かめられれば、それでいい場合も多い[注 3]。
似たような存在型の定理に、ロルの定理や平均値の定理などがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
Intermediate value theorem
Proof
The theorem depends on, and is equivalent to, the completeness of the real numbers.
In constructive mathematics
In constructive mathematics, the intermediate value theorem is not true.
（仏語）
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_valeurs_interm%C3%A9diaires
Théorème des valeurs intermédiaires
(google英訳)
Demonstrations
The intermediate value theorem is one of the so-called existence theorems . However, there is no general constructive proof of its existence [ 7 ] .

指摘を理解できないバカ

>>130 追加

en.wikipedia を見ると
Intermediate value theorem（中間値の定理）
より
Proof version B が、背理法
Proof version A が、見かけ背理法ではないが 非構成部分は
”a consequence of the completeness property of the real numbers”
と、実数の完備性を使う

さらに In constructive mathematics
”構成的数学においては、中間値の定理は成り立たない。その代わりに、弱められた結論として、値は任意に小さい範囲内でのみ見つかる可能性がある、と述べる必要がある”
とありますね
つまり、中間値の定理自身は、構成的数学では不成立で それを弱めた定理になる
ということ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
Intermediate value theorem
中間値の定理
Proof
Proof version A
The theorem may be proven as a consequence of the completeness property of the real numbers as follows:[3]
略

Proof version B
(google訳)
略
矛盾を生じさせるために、次のように仮定してみましょう。
g(c)<0。
略
しかし、 x<cこれは、最小上界の最小性質に矛盾する。
つまり、 g(c)>0 不可能だ。
(注：背理法)

In constructive mathematics
In constructive mathematics, the intermediate value theorem is not true. Instead, the weakened conclusion one must take states that the value may only be found in some range which may be arbitrarily small.
（google訳：構成的数学においては、中間値の定理は成り立たない。その代わりに、弱められた結論として、値は任意に小さい範囲内でのみ見つかる可能性がある、と述べる必要がある。）
・Let a and b be real numbers and
f:[a,b]→R be a pointwise continuous function from the closed interval
[a,b] to the real line, and suppose that
f(a)<0 and 0<f(b). Then for every positive number
ε>0 there exists a point
x in the open interval
(a,b) such that
|f(x)|<ε.[15]

>>132 補足
>Proof version B が、背理法
>Proof version A が、見かけ背理法ではないが 非構成部分は
>”a consequence of the completeness property of the real numbers”
>と、実数の完備性を使う

いまの場合、古典論理では
背理法は、非構成的証明として機能していて
Proof version Bのような形で、非構成的証明を実行できるということかと
つまり、背理法は ある場面では 強力な証明手段とみることができる
（直接法では ムリかややこしい場面で、威力をはっきする）

背理　背理振れ　背理法
背理背理　振れ　法　法
背理　背理振れ　背理法
背理背理　振れ　法　法
大きくなれよー

>>130 誤変換訂正

中間値の定理の襲名に、背理法が必要とあるぞｗ
　↓
中間値の定理の証明に、背理法が必要とあるぞｗ

余談
　>>122の対角線論法で
”　なお、対角線論法はLawvereにより、
(不動点定理の形で)積閉圏へと一般化されています。
勿論、背理法は不要です。”
とか書いているが

パイオニアとして、世界で一番最初の証明を考えた人と
それを見て 別解・別証明を考えることとは、天と地の差があるということを認識しないと
そこをマゼコゼにしてしまうと、パイオニア精神が不足している 日本の凡庸な数学者が、
評論家的に 趣味的に 背理法を使わない別証明を考えて エッヘンとやってる

別にそれは個人の趣味としては良いが
それやってると、パイオニアにはなれない

と、オチコボレが申しております

>>136
勘違いしている人が多いが
教養で教える数学と
東大数学科で教える数学は違う

教養で教える数学は、
いまどきは数学以外の分野でいろんな数学が使われるから
その基礎部分を教える数学であって

東大数学科で教える数学は、
プロ数学者を養成するためのものだ

東京理科大の数学科が、前者だとすれば
できるだけ 背理法以外の証明も勉強しよう
という趣旨は分かるが

　>>41
”「私自身が、背理法のおかげで頭が腐った被害者であると実感しています。十数年前から現在もリハビリ中です。」(背理法被害者の会)”
は、明らかにいいすぎ

背理法が、数学の発展の中で
果たした役割を過小評価している

>>135 補足
　>>122の対角線論法で
”　なお、対角線論法はLawvereにより、
(不動点定理の形で)積閉圏へと一般化されています。
勿論、背理法は不要です。”

まあ、下記など
余談：なお 下記のだれも背理法不要とは言っていない

(参考)
(google検索)
対角線論法 不動点定理
AI による概要
「対角線論法」と「不動点定理」は、一見すると無関係に思えますが、実は数理論理学や計算機科学において「自己言及（自分自身について語ること）」を扱う際の表裏一体の概念です
対角線論法と不動点定理のつながり
・対角線論法: 集合の要素をリストアップし、それと対角線上になる要素を変更することで、「リストに漏れている新しい要素」を作り出す手法。カントールの集合論（実数の非可算性）やゲーデルの不完全性定理の証明に使われます。
・不動点定理: \(f(x) = x\) となる点（不動点）が存在することを主張する定理です
・本質的な共通点: 「対角線論法による新しい要素の構成」は、論理学や圏論の文脈では「不動点を作り出す操作」と完全に同じ構造（ローヴェアの不動点定理など）として定式化できます
具体的な応用例
1. ゲーデルの不完全性定理ゲーデルは、自身の論文でカントールの対角線論法に酷似した手法（対角化補題）を用いました。これにより、「自分自身が証明できないことを主張する命題」という自己言及的な数式を構成し、数学の無矛盾性をその内部の公理系からは証明できないことを示しました。
2. 計算機科学（不動点コンビネータ）ラムダ計算やプログラミング言語の関数型プログラミングにおいて、再帰処理（ループ構造）を実装するために「不動点コンビネータ（Yコンビネータなど）」が使われます。これは対角線論法の自己言及の構造を計算機上で具現化したものです
3. ラッセルのパラドックス「自分自身を要素として含まない集合全体の集合」を考えると矛盾が生じるという論理学のパラドックスです。これも対角線論法と同一の自己言及構造が引き起こす問題であり、この矛盾を回避するための枠組みが現代の集合論（ツェルメロ＝フレンケル集合論など）の基礎となっています。

さらに深掘りしたい場合は、以下のどのテーマに興味があるか教えてください：
・カントールの対角線論法の具体的な証明手順
・ゲーデルの不完全性定理と自己言及の仕組み

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96%E5%AE%9A%E7%90%86
対角化定理
歴史
対角化定理はカントールの対角線論法と類似しているため、「対角化」と呼ばれる
ルドルフ・カルナップ (1934)は、一般自己言及補題 を最初に証明した

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/index-j.html
長谷川 真人
講義資料 「自己言及の論理と計算」(2006年5月改訂；2007年8月追記)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf
自己言及の論理と計算∗長谷川真人
（ ∗京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002）
以下では，数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例として，自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題，また自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題などについて，統一的な視点から考察します

訳も分からずペタペタ貼る病が治らないオチコボレ

まあな
人のスレで悪いが
自分のスレでもやっている
ここ5chは、おれのメモ帳
備忘録なのさｗ （＾＾

>>138 追加
下記は、旧ガロアすれでも紹介したので
覚えている
ペタペタ貼ると記憶に残る（＾＾

対角線論法に関する目次貼るね
（１投稿の容量制限で省いた部分な）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/index-j.html
長谷川 真人
講義資料 「自己言及の論理と計算」(2006年5月改訂；2007年8月追記)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf
自己言及の論理と計算∗長谷川真人
（ ∗京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002）
以下では，数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例として，自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題，また自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題などについて，統一的な視点から考察します

目次
I 自己言及と対角線論法
1 ラッセルの逆理
2 カントールの対角線論法
3 自己適用
4 停止性問題
5 対角線論法から不動点へ
6 不動点定理から具体例を見直す
II 矛盾したものを構成する
1 完備半順序集合と連続関数
2 最小不動点の発想
3 最初の試み
4 埋め込みと射影
5 なぜ失敗したか
6 正しい解の構成—逆極限法

記憶には残るが何一つ理解していない

目次が数学のすべての人がいるね

>>141-142
数学徒は、すぐに反例が示せる主張はしない方がいいだろう
数学センスを問われるからなｗ

記憶には残るが何一つ理解していない
　↓
何か少なくとも一つ以上は理解した

目次が数学のすべての人がいるね
　↓
それ以外にも 表題とか著者とかの記載あるよ！ｗｗｗ（＾＾

>>144 リンク訂正

>>141-142
　↓
>>142-143

算数のセンスを
問われるなｗｗ　（＾＾

屁理屈しか返せない憐れなオチコボレ

数学では、屁理屈であろうが
すべからく 理屈が通っていないといけないとしたもの
ヘリクツでも rigorous であるべし
その上で、“post-rigorous” stage ＝“big picture” by Terence Tao

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1781308317/31
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

＜再録＞
　>>130より ”中間値の定理の証明に、背理法が必要”
（中間値の定理は、本質的に非構成的な定理であり、非構成部分を実数の完備性が担うと
　見かけは非背理法に見える証明が可能。そうでなければ、背理法証明が可能）
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
(google英訳)
Proof by contradiction
Examples and counter-examples
・Proving the Intermediate Value Theorem :
even though proof by contradiction does not appear in the proof of this theorem, it nevertheless relies on the principle of excluded middle, the validity of which depends on proof by contradiction. The existence of the root asserted by the theorem is purely formal and not actual. This theorem is not accepted in constructive analysis unless stronger hypotheses are added [ 3 ] .
(google和訳)
中間値の定理の証明：
この定理の証明には背理法は用いられていないものの、排中律の原理に基づいている。排中律の妥当性は背理法によって証明される必要がある。定理が主張する根の存在は形式的なものであり、実際的なものではない。より強い仮定が加えられない限り、この定理は構成的解析では受け入れられない

　>>132より 『Proof version B が、背理法
Proof version A が、見かけ背理法ではないが 非構成部分は
”a consequence of the completeness property of the real numbers”
と、実数の完備性を使う』
https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
Intermediate value theorem
中間値の定理
Proof
Proof version A
The theorem may be proven as a consequence of the completeness property of the real numbers as follows:[3]
略
Proof version B
(google訳)
略
矛盾を生じさせるために、次のように仮定してみましょう。
g(c)<0。
略
しかし、 x<cこれは、最小上界の最小性質に矛盾する。
つまり、 g(c)>0 不可能だ。
(注：背理法)
In constructive mathematics
In constructive mathematics, the intermediate value theorem is not true. Instead, the weakened conclusion one must take states that the value may only be found in some range which may be arbitrarily small.
（google訳：構成的数学においては、中間値の定理は成り立たない。その代わりに、弱められた結論として、値は任意に小さい範囲内でのみ見つかる可能性がある、と述べる必要がある。）
・Let a and b be real numbers and
f:[a,b]→R be a pointwise continuous function from the closed interval
[a,b] to the real line, and suppose that
f(a)<0 and 0<f(b). Then for every positive number
ε>0 there exists a point
x in the open interval
(a,b) such that
|f(x)|<ε.[15]

また屁理屈

>>148 追加

ZFC公理系で、非構成的な公理がただ二つある
一つは 無限公理（無限集合は他の公理から構成できない）
もう一つは、言わずと知れた 選択公理
（下記 ”選択公理は選択集合の存在を主張するが 非構成的”）

実数に完備性を与えるには、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1780699023/173より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。
（連番は筆者が付けた）
1）外延性の公理：任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない
2）正則性公理：略
3）分出公理図式：分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できる
　ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる
4）対の公理：任意の集合 xと y について、少なくとも xと y を元とする集合が存在する
5）和集合の公理：略
6）置換公理図式：置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する
7）無限公理：略
8）冪べき集合公理：略
9）選択公理（または同値な命題）：任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである
（選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる）

>>150
>実数に完備性を与えるには、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする
有理コーシー列全体の集合の構成に選択公理は不要。
なんで口から出まかせに嘘デタラメ吐くかねえこのオチコボレは。

連投，長文，コピペは
頭が悪い

>>150
>ZFC公理系で、非構成的な公理がただ二つある
>一つは 無限公理
無限公理は帰納的集合の存在を主張する。帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・ を持つ。
なぜこれが構成的でないのか？　また口から出まかせ？　懲りないオチコボレだねえ。

>>150
>ZFC公理系で、非構成的な公理がただ二つある
>一つは 無限公理（無限集合は他の公理から構成できない）
>もう一つは、言わずと知れた 選択公理
外延性の公理、正則性公理はいかなる集合も構成しない。
口から出まかせもほどほどにな。

コピペバカの吐く独自主張はことごとく間違えている。
>記憶には残るが何一つ理解していない
の証拠。

>>150 訂正

正確には
実数に完備性を与えるには、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする
　↓
実数が完備距離空間であることを示すのに、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする

だな
完備距離空間は下記ね
完備距離空間として考えると、p進距離とか別の距離を考えることができる
また、実数Rから複素数Cを考えるときも、完備距離空間として考えることができる
これが、デデキントカットに対する完備距離の優位性

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
完備化
完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。空間 M′ は等距変換の違いを除いて、この普遍性によって決まり、M の完備化と呼ばれる。
M の完備化は M 内のコーシー列のある同値類集合として構成することができる。
略

>>153
赤ペン先生

無限公理は帰納的集合の存在を主張する。帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・ を持つ。
　↓
無限公理は帰納的無限集合の存在を主張する。帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・（可算無限） を含む。

だな。詳しくは 下記 Set-theoretic definition of natural numbers ご参照
要するに、帰納的定義だけでは、有限の範囲でいくらでも大きな自然数nが作れるが
しかし、無限集合としてのNは構成できない
従って、非構成的に なんらかの無限集合公理を与える必要があるのです■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers
Set-theoretic definition of natural numbers
Definition as von Neumann ordinals
In Zermelo–Fraenkel (ZF) set theory, the natural numbers are defined recursively by letting 0 = {} be the empty set and n + 1 (the successor function) = n ∪ {n} for each n. In this way n = {0, 1, …, n − 1} for each natural number n. This definition has the property that n is a set with n elements. The first few numbers defined this way are: (Goldrei 1996)
略
The set N of natural numbers is defined in this system as the smallest set containing 0 and closed under the successor function S defined by S(n) = n ∪ {n}. The structure ⟨N, 0, S⟩ is a model of the Peano axioms (Goldrei 1996). The existence of the set N is equivalent to the axiom of infinity in ZF set theory.

Frege and Russell
For enabling natural numbers to form a set, equinumerous classes are replaced by special sets, named cardinal. The simplest way to introduce cardinals is to add a primitive notion, Card(), and an axiom of cardinality to ZF set theory (without axiom of choice).[2]

>>156
コーシー実数がコーシー完備であることの選択公理を使わない証明。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97#%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90

複素数体=R[x]/(x^2+1)　つまりRにx^2+1の根を添加した二次拡大体。

初歩の初歩から分かってないオチコボレの妄言は聞き飽きた。

>>157
君、帰納的集合は無限集合であることも知らんの？

>従って、非構成的に なんらかの無限集合公理を与える必要があるのです■
なんらかのじゃなく帰納的集合の存在を主張する無限公理。帰納的集合が持たなければならない元は明示的に定められているのだから構成的。君、頭悪いね。

名物 赤天先生

>赤ペン先生
大学1年の授業についていけず落第したオチコボレは赤ペンされる側だろｗ

青天井の優しさ

集合Xが元{}を持っていなければXは帰納的集合ではない。
「帰納的集合は”なんかほわ〜んとした無限集合”」とイメージして非構成的とほざくのはオチコボレが初歩の初歩から分かってないだけ。
実際、
>帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・ を持つ。

ホワミル

オチコボレは初歩の初歩から分かってないから間違いだらけなのに重度NPD患者なので決して間違いを認めない
まずは病気治せ　数学はその後

補題　有限集合は帰納的集合である
って書いてある資料がある。

>>158
>コーシー実数がコーシー完備であることの選択公理を使わない証明。
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97#%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90

ふっふ、ほっほ
1）それな ZFだけで証明したと謳ってないよね
2）実際、コーシー列に二種類 あることを認めようね
　一つは、構成可能なコーシー列 （例えば オイラー数 (Euler's number)e =1+1+1/2!+1/3!+・・ https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)）
　もう一つは、非構成可能なコーシー列
　非構成可能なコーシー列の存在を示すのに、(可算)選択公理を使う
　非構成可能なコーシー列の存在を示せないと 完備がいえない

>複素数体=R[x]/(x^2+1)　つまりRにx^2+1の根を添加した二次拡大体。

おっさんな
複素数C にL^2距離を導入して、距離空間にするんだよ
導入した距離を利用して 複素コーシー列を作る
(可算)選択公理を使って、非構成可能を含むコーシー列の複素数C内への収束を示すんだよ！

これだから、素人は・・（＾＾

背理法と排中律（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E4%B8%AD%E5%BE%8B
排中律（英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 P に対し「P であるか、または P でない」という命題は常に成り立つという原理である。
直観主義論理においては排中律は公理として採用されておらず、また排中律は直観主義論理の定理ではない（すなわち、排中律は直観主義論理において証明できない）。ただし、排中律の二重否定 ¬¬(P ∨ ¬P) [注釈 1]や三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P [注釈 2]などは直観主義論理においても証明可能であり、すなわち排中律が否定されているわけでもない。

例
排中律に依存した論証の例を次に示す。これは、よく知られた例である[7][8]。
『a と b ２つの無理数からなるabが有理数となる a 、 bが存在する』
√2 が無理数であることは知られている。そこで、次のような数を考える。
√2^√2
排中律に基づくと、明らかにこの数は有理数か無理数かのどちらかである。これが有理数なら証明が完了する。もし無理数なら、次のような数を考える。
a=√2^√2
および
b=√2
すると、
a^b=(√2^√2)^√2
=(√2)^(√2・√2)
=(√2)^2
=2
2 は明らかに有理数である。従って証明が完了する。
この論証において、「この数（√2^√2）は有理数か無理数かのどちらかである」という主張は排中律に基づいている。直観主義では、aが
√2であるのか
√2^√2 であるのか特定されていないような上記の論法、あるいは
√2^√2 について何らかの証拠（数・実数としての存在可能性、あるいは有理数であるか無理数であるかといった具体的な証明）がない限り、このような主張を認めない。この変形として、ある数が無理数（あるいは有理数）であることの証明や、ある数が有理数かどうかを判定する有限なアルゴリズムなどが考えられる。

無限に関する非構成的証明
上記の例は直観主義では許されない「非構成的; non-constructive」証明の例である。
「この証明は、定理を満足する a と b という数を特定せずに可能性だけで論じているため、非構成的である。実際には
a=√2^√2 は無理数だが[注釈 3]、これを簡単に示す証明は知られていない」(Davis 2000:220)　
（なお、上記の設題に関して別の数を用いれば、特定の構成的な証明を行うのは困難な事ではない。例えば
a=√2 及び
b=log2 (9)
は共に無理数であることは容易に証明でき、
a^b=3。これは直感主義で認められる証明方法の１つである[9]。）

Davis は「構成的」について「実際に一定の条件を満たす数学的実体が存在するという証明は、明示的に問題の実体を表す方法を提供する必要があるだろう」(p. 85) としている。そのような証明は全体の完全性の存在を前提としており、それは直観主義者にとっては、決して完全ではない「無限」に拡張することは許されない

つづく

つづき

古典数学では、「非構成的」あるいは「間接的」な存在証明があるが、直観主義者はそれを受け入れない。例えば、「P(n) が成り立つような n がある」ことを証明するとき、古典数学では全ての n について P(n) が成り立たないと仮定することで矛盾が生じることを示す。古典論理でも直観論理でも、帰謬法により「全ての n について P(n) が成り立たないということはない」ことが示される。古典論理はその結果を「P(n) が成り立つ n が存在する」に変換することを許すが、直観論理では総体として無限な自然数の集合が完全であって、P(n) となるような n が存在するということは言えない。なぜなら、直観主義では自然数が全体として完全であるとは考えないからである。[10] (Kleene 1952:49-50)

一般に、直観主義では有限な集合に関して排中律の適用を許すが、無限集合（例えば、自然数）に対しては許さない。したがって、「無限集合 D に関する全ての命題 P について、P であるかまたは P でないかのどちらかである」(Kleene 1952:48) という言い方は、直観主義では絶対できない。詳しくは、数学基礎論と直観主義を参照されたい。

排中律についての推定的反例として、嘘つきのパラドックスあるいはクワインのパラドックスがある。Graham Priest の dialetheism では、排中律を定理とするが、嘘つきのパラドックスは真でもあり偽でもあると説明する。この場合、排中律は真だが、真であるがゆえに選言は排他的ではなく、選言肢の一方が逆説的だったり、両者がともに真でありかつ偽であることもありうるとする。

注釈
2. 直観主義論理においても二重否定の導入 P → ¬¬P は真である。ここから、Pの三重否定とPは矛盾することが従うため、¬¬¬P ならばPでないことが成り立つ。
(引用終り)
以上

くっちゃらハピハピ

>>166
京大の資料か

>>167
>それな ZFだけで証明したと謳ってないよね
証明のどこで選択公理使ってると？　具体的な箇所を示して。
示せないなら黙ろうな　オチコボレの妄言は聞き飽きた。

>>168-169 補足
>三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P [注釈 2]などは直観主義論理においても証明可能であり、
>注釈
>2. 直観主義論理においても二重否定の導入 P → ¬¬P は真である。ここから、Pの三重否定とPは矛盾することが従うため、¬¬¬P ならばPでないことが成り立つ。

下記が参考になるだろう

https://scrapbox.io/takker/%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%90%A6%E5%AE%9A%E9%99%A4%E5%8E%BB
takker 2024-02-18
三重否定除去
¬¬¬P ⊢ ¬Pのこと。
一般的に呼ばれている名前はない
　名前がないと指し示しづらいので、[takker]が勝手につけておいた
[二重否定除去]とは違って、[直観論理]でも成立する

解釈
　この解釈を思いつけたら面白そうだ
証明
方針
P ⊢ ¬¬P と¬(¬¬ P)⇔ (¬¬P ⇒⊥)]を使うだけ
https://scrapbox.io/files/65d16b685a09250023130bf5.svg

注：”P ⊢ ¬¬P”は、二重否定の導入ですね(下記)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%90%A6%E5%AE%9A%E3%81%AE%E9%99%A4%E5%8E%BB
二重否定の除去（にじゅうひていのじょきょ、英: double negation elimination）および二重否定の導入（にじゅうひていのどうにゅう、英: double negation introduction）は、いずれも推論の種類の一つである

二重否定の導入は直観主義論理でも定理であり、また
¬¬¬A⊢¬A も成立する。
素朴集合論でも、補集合が同様の性質を持つ。集合 A と集合 (A^C)^C は等価である（ここで、A^C は A の補集合を意味する）。

>>168
コピペ癖が治らない重度NPD患者は病院行け

オチコボレ、選択公理使ってる具体的な箇所を示せず
まーた口から出まかせに妄言吐いてるだけでしたとさ

>>172
>証明のどこで選択公理使ってると？　具体的な箇所を示して。

すでに述べた
　>>167より
『コーシー列に二種類 あることを認めようね
　一つは、構成可能なコーシー列 （例えば オイラー数 (Euler's number)e =1+1+1/2!+1/3!+・・ https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)）
　もう一つは、非構成可能なコーシー列
　非構成可能なコーシー列の存在を示すのに、(可算)選択公理を使う
　非構成可能なコーシー列の存在を示せないと 完備がいえない』

なお、下記が参考になるだろう
選択公理の能力は、出力できる非構成可能な列の長さで測れる
可算選択公理は実はDC(ω)と同値
任意の順序数 αについて DC(ℵα)⟺AC（フルパワー選択公理）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された

従属選択公理とは、次の言明である
略
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる
R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)

使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。

公理 DC はACの断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。

従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる
公理
DC(ℵα)
略す

この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]。

定理(ZF) ― 「任意の順序数 αについて DC(ℵα)⟺AC

>>176
おまえの独善持論なんて聞いてねーよサル
証明のどこで選択公理を使ってるか聞いてんだよ　言葉分かる？　サルだから分からない？

サルはヒト語の学習から　数学は100年早い

ヒト語すら解さぬサルが数学を解す訳が無い　サルは山へ帰れ　シッシ

来世は数学に転生するラノベ

数学者に転生

サル、証明のどこで選択公理を使ってるか答えられず
しかし重度NPD患者なので決して間違いを認めない
マジ病院行けよサル

自分が大好き次男♪

>サル、証明のどこで選択公理を使ってるか答えられず
そもそもオチコボレのサルは証明を読めないから答えようが無い説

>>41 戻る
中高一貫生も来るから ハッキリと書いておこう
結論：背理法は、現代数学の多くの分野が古典論理であるから 背理法は有用であり強力な証明手段である■

例：ワイルズ氏のフェルマー最終定理は、背理法で得られた
つまり、a^n+b^=c^n 　nは3以上の整数 a,b,cは整数として
これから、楕円曲線理論に持ち込んで
楕円曲線理論の谷山志村予想から導かれる 楕円曲線の性質と
a^n+b^=c^nから導かれる 楕円曲線とが矛盾することから
a,b,c 整数解の不存在を導く

これの 簡単な非背理法証明*)を思いついてから
「背理法不要論」を唱えてね

詳しくは、下記の 「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明」見てね
*)なお 望月氏の宇宙際タイヒミュラー理論で、
「宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている」
が、abc予想の解決を用いる（いま検証中）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
2022年7月、楕円曲線の6等分点を用いて、論文中のディオファントス的不等式中の定数の数値を明示したもの（非明示的な「定数」が現れない）に変更した、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された[51][52]。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている[53]

おサル、誰からも求められてない説明で悦に入る

証明が読めずどこで選択公理を使ってるか答えられないサルが何語ろうと無駄

>>185 追加
背理法のように、複雑な対象は
いろんな角度から 多角的多面的な切り口で考えるべき

ワイルズ氏のフェルマー最終定理の背理法について
下記の 仏語 Raisonnement par l'absurde （Proof by contradiction）
の”The reductio ad absurdum is therefore represented by:
S∪{¬p}⊢F
↓
S⊢p”
が、一つの切り口だね

命題 p：a^n+b^=c^n 　nは3以上の整数 a,b,cの整数解を持たない
”S is a set of assertions that are taken as already established”
ここで、ワイルズ氏がチャレンジした時は、Sの中では 谷山志村予想であって
当時は、まだ予想は 解かれていなかった
だが、谷山志村予想が証明できれば、背理法が成立して フェルマー最終定理が証明できるのだった

これを 背理法被害者の会の人たちは、否定するの？
それはヘンですよｗ
少なくとも、ワイルズ氏の背理法によるフェルマー最終定理の証明に対する
代案（直接法）を、提出してから 寝言を言ってね （＾＾

(参考)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
英訳
Proof by contradiction
In logic and mathematics
The reductio ad absurdum is therefore represented by:
S∪{¬p}⊢F
↓
S⊢p
In the preceding discussion, p is the proposition we wish to prove, and S is a set of assertions that are taken as already established; these could be, for example, the axioms of the theory in which we are working or specific hypotheses. Considering the negation of p in addition to S , if this leads to a logical contradiction F , then we can conclude that p can be deduced from the propositions in S.

>背理法のように、複雑な対象は
>いろんな角度から 多角的多面的な切り口で考えるべき
と、証明のどこで選択公理が使われてるかも答えられないオチコボレが申しております

複素数の範囲で因数分解

オチコボレが必死に分かってるアピールしても無駄
証明のどこで選択公理が使われてるかも答えられないアホとバレてるから

選択公理を使ってると言っておきながらどこで使ってるかは答えられない
その口から出まかせ癖を治さない限りヒトとして認められないぞおサル

話が無限ループするときには、選択公理は要りそうか。

ループから抜けたいなら間違いを認めような

素因数分解の一意性を
ガッツリ使ってるのに
背理法使ってないと偽る愚

無理数の定義が有理数でないことなんだから
√2=a/b→矛盾
は背理法とは言わないのが普通

>無理数の定義が有理数でないことなんだから
有理数でない実数

実際、√(-1)は有理数でないが無理数でもない

がっつり背理法で草

>>191
>複素数の範囲で因数分解

ふむ、下記のクンマー理論 背理法か
フェルマーの最終定理 a^n+b^n=c^n
これが複素数の範囲で因数分解できて
Cyclotomic polynomial 円分多項式の理論が使える
これぞ、クンマー・デデキント 理想数・イデアルぞ！（＾＾
素因数分解の一意性と類似が成り立ち、背理法が使える！！！
となったらしい
詳しくは下記など

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Fermat's Last Theorem
Proofs for specific exponents
Early modern breakthroughs
Ernst Kummer and the theory of ideals
(It is often stated that Kummer was led to his "ideal complex numbers" by his interest in Fermat's Last Theorem; there is even a story often told that Kummer, like Lamé, believed he had proven Fermat's Last Theorem until Lejeune Dirichlet told him his argument relied on unique factorization; but the story was first told by Kurt Hensel in 1910 and the evidence indicates it likely derives from a confusion by one of Hensel's sources. Harold Edwards said the belief that Kummer was mainly interested in Fermat's Last Theorem "is surely mistaken".[144] See the history of ideal numbers.)

https://math.stackexchange.com/questions/3684655/factorization-of-anbn
stackexchange
asked May 21, 2020 user730322
Factorization of a^n+b^n
I am trying to figure out a way to factor a^n+b^n,
but all I found is odd cases where a^n+b^n=(a+b)(a^n−1 −a^n−2 b +...−ab^n−2 + b^n−1).

1 Answer answered May 21, 2020 Angina Seng
Let's look at X^n+1 instead. Then
X^n+1=(X^2n −1)/(X^n−1).
Over the rationals, the irreducible factorisation of X^n−1 is
X^n −1=∏d∣n Φd(X)
where Φd is the d-th cyclotomic polynomial. Therefore
X^n +1=(∏d∣n Φ2d(X))/(∏d∣n Φd(X))=∏d∣2n,d∤n Φd(X).
Now homogenise:
an+bn=∏d∣2n,d∤n Φd(a,b)
where
Φd(X,Y)=Y^degΦd Φd(X/Y).

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial
Cyclotomic polynomial

つづく

つづき

(参考)
https://people.reed.edu/~jerry/
Jerry Shurman
Professor
Reed College
Department of Mathematics and Statistics
3203 SE Woodstock Blvd
Portland, OR 97202-8199, USA
https://people.reed.edu/~jerry/332/mat.html
Course Materials for Mathematics 332: Algebra
These writeups are based on various standard texts, especially Van der Waerden and Garrett.
・Cyclotomic polynomials
https://people.reed.edu/~jerry/332/21cyclo.pdf
CYCLOTOMIC POLYNOMIALS
・Cyclotomic-intermediate fields via Gauss sums
https://people.reed.edu/~jerry/332/30kummer.pdf
Cyclotomic-intermediate fields via Gauss sums

https://www.reed.edu/math-stats/courses.html
MATH 332 - Abstract Algebra Reed College
An elementary treatment of the algebraic structure of groups, rings, fields, and/or algebras.
Unit(s): 1
Group Distribution Requirement(s): Distribution Group III
Prerequisite(s): MATH 201 and MATH 113
Instructional Method: Lecture-conference
Grading Mode: Letter grading (A-F)
Group Distribution Learning Outcome(s):
Use and evaluate quantitative data or modeling, or use logical/mathematical reasoning to evaluate, test or prove statements.
Given a problem or question, formulate a hypothesis or conjecture, and design an experiment, collect data, or use mathematical reasoning to test or validate it.
(引用終り)
以上

3次式のリゾルベントの話でした。

>>201
>>複素数の範囲で因数分解
>ふむ、下記のクンマー理論 背理法か
それを言うなら代数学の基本定理とか代数閉体やろ

デジモン完全体

>>203
>3次式のリゾルベントの話でした。

ありがと
ついでに ふと思い出したが 下記
『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）

背理法による普通の証明
1）e + π, e − π の 両方が 超越数ではないと仮定する
2）(e + π)=α、(e − π)=βとおく
　α+β＝(e + π)+ (e − π)=2e
　α-β＝(e + π)- (e − π)=2π
　となり矛盾（仮定より 2e=α+β、2π=α-βとも代数的数になってしまう）
3）背理法により 「e + π, e − π の 両方が 超越数ではない」は否定され
　命題の『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』成立！■

これを、背理法を用いないで証明しようとすると
ちょっと面倒かも・・ねｗ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,・・略・・
などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
注釈
4 しかしながら、例えば e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことから分かる。

>>206
>超越数かどうかが未解決の例
>e+π,e−π,・・略・・

まあ、常識的には
e+π,e−π 両方とも 超越数でしょうけどね
しかし、その厳密な証明が まだ無い という・・・ｗ（＾＾

γには果敢に挑戦されても、πやeにはチャレンジされない…。

有限体で問題でも作れんかな。
色々見てみよう。

>>208
>γには果敢に挑戦されても、πやeにはチャレンジされない…。

ああ、おっちゃんの話ね
γでも e+π,e−πなどどれでも
未解決の超越数の判定がキチンとできれば
日本の張益唐（ちょう えきとう）ですね （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B5%E7%9B%8A%E5%94%90
張益唐（ちょう えきとう、ジャン・イータン、Yitang Zhang、1955年2月5日 - ）は、中華人民共和国生まれのアメリカ合衆国の数学者である。数論を専門とする。
ニューハンプシャー大学（英語版）に講師として在籍中の2013年、隣り合った素数の間隔として無限回みられる値の最小値に関して、有限な上界を初めて確立する論文を数学誌『Annals of Mathematics』に提出した。この研究により、2014年のマッカーサー・フェローに選出され[5]、カリフォルニア大学サンタバーバラ校の教授に任命された[6][7][8]。

>>206 追加
>『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
>の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）

いまふと思いついたが
e、πを 二つの超越数 a、bに 簡単に拡張できる・・ 背理法で

つまり
『二つの超越数 a、bの 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
が、上記の” e + π, e − π”と 全く同じ背理法証明で得られるｗ

背理法を使わないで・・？
さあ？ どうするんでしょうねぇ・・ｗｗ　（＾＾

>>203
>3次式のリゾルベントの話でした。

うん
下記の 三次方程式 還元不能の場合だね
en.wikipediaを読むと
カルダノ ”called casus irreducibilis”とかあって
”casus irreducibilis”を読むと（下記）
ガロア理路で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ
背理法嫌いな人は、どうすんの？ これｗｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式
還元不能の場合
相異なる 3 個の実数解を持つ条件である。実数解しかないのにもかかわらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある
カルダノはこの場合を還元不能（かんげんふのう、casus irreducibilis）と呼んだ。この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
Cubic equation
Cardano's formula
ardano's result is that if
t^3+pt+q=0
is a cubic equation such that p and q are real numbers

If 4p^3+27q^2<0,there are three real roots, but Galois theory allows proving that, if there is no rational root, the roots cannot be expressed by an algebraic expression involving only real numbers. Therefore, the equation cannot be solved in this case with the knowledge of Cardano's time. This case has thus been called casus irreducibilis, meaning irreducible case in Latin.

https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis
Casus irreducibilis
Formal statement and proof
(注：背理法)
Suppose that p(x) = 0 can be solved by real radicals.
中略
At the final step of the tower, p(x) is irreducible in the penultimate field K,
but splits in K(3√α) for some α.
But this is a cyclic field extension, and so must contain a conjugate of 3√α and therefore a primitive 3rd root of unity.
However, there are no primitive 3rd roots of unity in a real closed field,
since the primitive 3rd roots of unity are the roots of the quadratic equation ⁠
x^2+x+1=0⁠ which has a negative discriminant.
（注：矛盾により背理法成立）

>>212 誤変換訂正

ガロア理路で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ
　↓
ガロア理論で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ

ついでに アーベル–ルフィニの定理
関連文献 アーベル、ガロア『群と代数方程式』守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉
が手元にある
アーベルの証明は、背理法によっている
P23の最後「10次の方程式によってpを与えている。ところが・・・pは120の異なる値を持つ。それは矛盾である」（脚注：しかるにpは10次方程式の根として、異なる値は10個以下である）
とある
en.wikipedia Abel–Ruffini theorem における Proofは ガロア理論を流用している

この例は、背理法証明の特徴を表している例かも
つまり、ガロア理論が完成すれば、アーベル–ルフィニの定理は構成的な証明が可能だが
しかし、アーベルがこれに関する論文を書いたときは、当然ながら ガロア理論は未完成
ゆえに、強力な証明手法である背理法の出番になったのですｗ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アーベル–ルフィニの定理
関連文献
アーベル、ガロア『群と代数方程式』守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉、1975年4月20日。ISBN 4-320-01164-3。 - 1824年および1826年の原論文の翻訳とその解説。
https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem
Abel–Ruffini theorem
Proof
The proof of the Abel–Ruffini theorem predates Galois theory. However, Galois theory allows a better understanding of the subject, and modern proofs are generally based on it, while the original proofs of the Abel–Ruffini theorem are still presented for historical purposes.[1][7][8][9]
The proofs based on Galois theory comprise four main steps:
略

>>213 追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アーベル–ルフィニの定理
関連文献
高木貞治『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月。ISBN 4-320-01000-0。

ここ 手元の 高木貞治『代数学講義』
P195 §39 五次以上の方程式の代数的解法の不可能
ここに アーベルの証明の紹介がある
P197から200にかけて 背理法による証明が記されている
（要するに 五次以上の一般方程式が冪根によって解かれるとすると矛盾が導かれる）
おっと
§41 実根のみを有する三次方程式
があった
これは>>213 三次方程式 還元不能の話で やはり背理法を使っているね

追記
背理法を全て封印したら・・
高木貞治『代数学講義』が読めなくなる・・（＾＾

3次多項式が既約のときのガロア群の見分け方

既約判定はmodを利用する方法も。
4次多項式は2次式✕2次式の場合もあり得るが、3次多項式の場合は少し楽。

否定導入は直接証明
矛盾によらない証明のほうが迂回している

論理学的にと数学的には
厳密に言えば異なる

>>218
>論理学的にと数学的には
>厳密に言えば異なる

ID:esbZuJig は、御大か
巡回ありがとうございます

思うに
”論理学的に”：基礎論屋さん
”数学的に”：一般数学者、自然言語を縦横に使い 必ずしも一階述語に縛られない
上記以外にも：数理哲学屋さん（基礎論っぽいが、そもそも数学の枠にとらわれない議論をする）
という具合に、大まかに３つの立場がありそうですね

追伸
背理法被害者の会>>1とは？
なんでしょうかね？
意味不明

>>217
>否定導入は直接証明
>矛盾によらない証明のほうが迂回している

独 wikipedia Reductio ad absurdum （背理法）
で ”This relationship is also known as the introduction of negation in the calculus of natural reasoning .
(https://de.wikipedia.org/wiki/Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens )”
とありますね （＾＾

(参考)独語読めないで 英訳つけた
https://de.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum
Reductio ad absurdum
(google英訳)
Formal representation
Formally, the proof by contradiction can be represented as follows:
Applies
Γ∪{A}⊢B and
Γ∪{A}⊢¬B , then the following applies:Γ⊢¬A.
Read: Does it hold true that from the set of statements
Γtogether with the statement
A both the statement
B as well as the statement not-B
It follows that
Γ not-A.
This relationship is also known as the introduction of negation in the calculus of natural reasoning .
(https://de.wikipedia.org/wiki/Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens )

Classical and intuitionistic proof by contradiction
There is a second form of reductio ad absurdum, which is important in the debate between classical and intuitionistic logic:
Applies
Γ∪{¬A}⊢Band
Γ∪{¬A}⊢¬B, then the following applies:
Γ⊢A.
Read: Does it hold true that from the set of statements
Γ together with the statement not-A both the statement
B as well as the statement not-B
It follows that ΓA.
The difference between the two forms is that in the first, the negation of a statement is inferred from a statement and a contradiction, while in the second, the statement itself is inferred from the negation and a contradiction. The second form can be summarized as follows: A claim is considered proven if a contradiction can be derived from its negation.
The first form can be transformed into the second using classical negation elimination :
Applies
Γ⊢¬¬A, so the following also applies:
Γ⊢A.
However, since this law is only valid classically, not intuitionistically, the second form is also not universally valid intuitionistically.
Alternatively, the second form can also be derived from the first using the law of excluded middle . However, this law is also not intuitionistically valid.
The rejection of the second form of proof by contradiction means that in intuitionistic mathematics the existence of certain objects of classical mathematics is not recognized (see also constructivism ).

コピペが止まらない重度NPDのオチコボレ

3重連結度の領域を平行截線写像で写す。

>>221
ふっふ、ほっほ
わざわざ要点をコピペしているのに
それが読めない 数学文献イップスくんだったとさｗ （＾＾

　>>126より再録
数学文献イップス（下記）が さわぐ（＾＾

(google検索)
イップス 心理
AI による概要
イップスは、心理的な要因やプレッシャーが原因で、これまで無意識にできていた動作が突然できなくなる運動障害です。失敗への恐怖や「完璧にこなさなければ」という過度な緊張が脳に誤作動を引き起こし、筋肉の硬直や不随意運動をもたらします
イップスを引き起こす主な心理メカニズム
・失敗のトラウマ（フラッシュバック）過去の重大なミスや、その際に受けた強い叱責の記憶が無意識にフラッシュバックし、再び同じ失敗をする恐怖から体がすくんでしまいます。
・過度な競技不安とプレッシャー「ミスをしてはいけない」「結果を出さなければならない」という強いプレッシャーが自律神経を乱し、極度の緊張状態を生み出します
・意識の過剰（分析しすぎ）本来は無意識に行うべき動作（例：ボールを投げる、楽器を弾く）を、意識的にコントロールしようとしすぎることで、脳の指令と筋肉の動きにズレが生じます

イップスになりやすい性格的傾向
・完璧主義：ミスを極端に嫌い、理想のフォームや結果を常に追い求める人

x^3+x^2−2x−1のガロア群はA3

>>223
初歩の初歩からちんぷんかんぷのオチコボレが何かほざいとる

>>217-218
>否定導入は直接証明
>論理学的にと数学的には
>厳密に言えば異なる

なるほど・・・
下記 Negation introduction 否定導入は
数学とは少し異なるようだね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Negation_introduction
Negation introduction
(google訳)
否定の導入
否定導入は、命題論理の分野における推論規則、または変換規則である。
否定導入では、与えられた前件が後件とその補件の両方を含意する場合、否定された前件も含意すると述べている。[ 1 ] [ 2 ]

正式な表記法
これは次のように書くことができます。
（（P→Q）∧（P→¬Q））→¬P
その使用例としては、一つの事実から二つの矛盾する主張を証明しようとする場合が挙げられる。例えば、「電話が鳴るたびに私は幸せだ」とある人が言い、次に「電話が鳴るたびに私は幸せではない」と言った場合、その人は電話が鳴る音を一度も聞いたことがないと推論できる。
背理法による証明の多くは、否定の導入を推論の枠組みとして用いる。¬ Pを証明するには、まず矛盾を導くためにPを仮定し、そこから矛盾する 2 つの推論Qと ¬ Qを導き出す。後者の矛盾によってP が不可能になるため、¬ P が成り立つことになる。

Proof
With ¬P identified as
P→⊥, the principle is as a special case of Frege's theorem, already in minimal logic.
略す

（（P→Q）∧（P→¬Q））→¬P
⇔((¬P∨Q) ∧ (¬P∨¬Q)) →¬P
⇔((¬P) ∨ (Q∧¬Q)) →¬P
⇔¬P→¬P
⇔P∨¬P
⇔T

この程度の証明もできないオチコボレに大学数学は無理

分配律

>>206 &>>211 補足
>>『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
>>の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）
>いまふと思いついたが
>e、πを 二つの超越数 a、bに 簡単に拡張できる・・ 背理法で
>つまり
>『二つの超越数 a、bの 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
>が、上記の” e + π, e − π”と 全く同じ背理法証明で得られるｗ

富岳百景
重要なものごとは、いろんな角度から見るのが良い

場合分けで考えてみよう
記号を用意しよう
実数の集合R、実数の代数的集合D、実数の超越数の集合Tr(=transcendental)

さて
命題：二つの異なる超越数 a≠b、a,b ∈Tr で、その和か差 少なくとも一方は超越数である
　つまり a+b ∈Tr or a-b ∈Tr
証明：
場合分けをしよう
我々は、カントールの理論を知っている
代数的集合Dは高々可算であり、ゆえに 実数の超越数の集合Trは非可算
ケース1： a+b と a-b とも超越数の場合、これが非可算ある
ケース2： a+b のみが 超越数の場合、a+b＝d、 d∈Dと書けて b=d-a となる場合、これが可算ある
ケース3： a-b のみが 超越数の場合、a-b＝d、 d∈Dと書けて b=a-d となる場合、これが可算ある
ケース4： a+b と a-b とも代数的数の場合、a+b=d1 と a-b=d2、 d1,d2∈D と書けるが 2a=d1+d2∈D、2b=d1-d2∈D ∵代数的集合Dは体を成し 和と差で閉じている。矛盾で ゆえに空（Φ）
QED
大げさに ”背理法で御座い”というほどのこともない

同様に
命題：√2は無理数
証明：
記号を追加しておく、有理数Q、無理数の集合Mr
場合分けをしよう
我々は、現代数学の知識がある
実数Rは非可算、有理数Qは可算、無理数の集合Mrは非可算
√2は、方程式 x^2＝2 の正の実数解
つまり 式 y=x^2 で考えると 中間値定理で y=2に 実数解が二つあることが分かり √2は正の解と知っている
場合分け２つ
ケース1： √2は無理数である？
　（無理数Mrは非可算、有理数Qは可算 を思い出して 先に進もう）
ケース2： √2は有理数である？ √2＝a/b , aとbは整数 と書ける あとはご存知 素因数分解の一意性違背で ケース2は 否定される
まとめると ケース1の √2は無理数であるが残る

さて、時代が遡って いま古代ギリシャとしよう
知られている数は、有理数Qのみ（それも 体だの環だのという代数学的理解は皆無）
ピタゴラスの定理から 1辺1の直角二等辺三角形の斜辺の長さxが x^2=1^2+1^2=1+1=2
ユークリッドは考えた xは当然数だ（当時の数は有理数のみ）
だが、x=a/b とおくと 良く知られているように 矛盾！
「たいへんだぁ！」とパニックにｗ

21世紀の我々からは、そんなの当たり前
有理数Qは可算、無理数の集合Mrは非可算なのだからね

「ユークリッドの背理法証明はおかしい」と上から目線の 背理法被害者の会>>1
論点ズレていると思うのは 私だけ？ｗ （＾＾

だいじょぶだぁ

>重要なものごとは、いろんな角度から見るのが良い
簡単なトートロジーの証明もできない無学者がどんな角度から見ても無駄

だーじーだぁ

>>230
で、いつになったらコーシー実数がコーシー完備であることの証明のどこで選択公理が使われてるか答えるの？
答えられないなら間違いを認めたら？　重度NPD患者だから認めることができない？

じゃあ病院行こうな
コピペしてても拗らすだけって気づこうな

２５℃
くもり

>>237
>式 y=x^2 で考えると 中間値定理で y=2に 実数解が二つあることが分かり √2は正の解
中間値の定理、f(x)=x^2 が適当な定義域の各点で連続関数であることの証明が抜け落ちている。

>現代数学の知識がある
そんなごまかしが通用するなら「√2は無理数であるという知識がある」が通用しない道理が無い。

>中高一貫生向け サマースクールのテキストを書いていると思え
なおさらダメじゃん
数学とはどんな仮定からどんな結論を帰結できるかを探る学問
この仮定から結論へのロジックがめちゃくちゃな君が子供向けテキスト書いちゃダメだろ

√2が実数であることは公理から直接言える。
あることAを言うのにAより難しいB,Cを持ち出すのがおかしいし、証明無しで持ち出すのはさらにおかしい。
数学とはどんな学問かを根本から分かってない。

>>240-241
>数学とはどんな仮定からどんな結論を帰結できるかを探る学問

小平先生、怠け数学者の記で 別の考えを書かれていた（下記）
なお、上記はヒルベルトの数学観に近いと思うが 小平先生はそれに批判的
(師匠のワイルが これでヒルベルトと対立したのは有名)
小平先生も だれかと同じで ”寄り道の多い”数学者だったが・・ （＾＾

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怠け数学者の記 (岩波現代文庫 社会 19)
小平 邦彦 (著), 上野 健爾 (解説)
発売日 ‏ : ‎ 2000/8/17
レビュー
ksan
星5つ中4つ回想録と呼べる本。
2025年2月28日
若い頃に、夏目漱石の「夢十夜」を読んで、感銘を受けた内容が出てきている。放送大学で、前原先生との座談会でも出てきた。運慶が、丸太にノミを入れて仏像を彫りだしていく話で、見物客が丸太の中に既に仏像が入っており、土の中から石を掘り出していくようなものだと解説している。物が下に落ちるのは、古代から知られていたが、ニュートンがそれに初めて万有引力という解説をつけた。自然界に潜んでいることを、人間が発見していく。こういうことを、小平先生もやってきたと。自分がやらなければ、誰かがやっているだろうと。謙虚な人柄を感じた。

https://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~yoshihara/hisao/koumoto.html
　知的エッセイを味わう楽しみ
新潟大学理学部 吉 原 久 夫　
私の専門にゆかりの深い小平先生の『怠け数学者の記』を軸にして展開された作品を中心としながら、いささか感慨を述べてみたい。

理念的な内容に関する見解もたくさんある。その一例として、『小平邦彦‘怠け数学者の記’を読む』が書かれるもとになったと思われる箇所をあげておきたい。つぎの文章自体は小平氏のものであるが、恐らくこれは著者が内々に感じていたことを小平氏が明確に述べたもので、著者と小平氏の共鳴の原点を示す一節であり、ここで特筆しておくに価すると思う。

「物質的自然界が数学の対象よりはっきりした実在だという一般的な考え方を、私は疑っている。・・・さらに最近話題になっているブラック・ホールは、もともとアインシュタインの一般相対論の方程式の数学的な解にあらわれるだけで、まさか本当のこととは思われなかった。それがどうも実在するらしいというのだから、数学が単に物理的事象を記述する言葉だとはとうてい思われない。・・・私の感じでは、むしろ物理現象の背後に数学的現象が実在していて、あらゆる自然現象はこの数学的実在の上に乗って存在しているのではないか」

第二部の冒頭では、これまで数学者が世間に知らせることを怠っていた、数学に対する世の誤解がじつに明瞭に指摘されている。

「一般に，数学を専門にしない人が数学を学ぶ意義は，論理的なものの考え方を身につけることだといわれている。しかし本当にそうだろうか。・・・数学は論理の皮をかぶっているので，かなりの知識人でも数学の才能を論理的思考力とまちがえている人があるが，本当はこの感受性（数学的センス）に対応して成立している特殊な学問なのである」

実際、私自身３０年近く数学の研究をしているが，論理には一向に強くなっていない。まわりの数学者をみてもどうやらそのようである。論理でいえば実験科学者のほうがはるかに強いように思う。

まーたオチコボレが知ったかか

背理法の議論ひとつのためにやたら色々な方向に体力使ってるね

数学は体力だ

無駄遣いしないのも技術のうち

>>240
setaの劣化コピーなんて増やされても迷惑千万。

>>243-247
うん
1）いまどき 数学の文書で参考文献の無い文書は、ありえない
2）参考文献添付は、「それ あなたの感想でしょ」を封じる効果あり（同意見の人がいるよと）
3）”迷惑千万”が、相手からの声なら コピー効果あり！
4）なお、リンクだけなく 要点のコピーで 自分がタイプする手間が省ける（＾＾

>>248
貞子しか定かに映ってないガビガビ裏ビデオの多重レンダリング劣化コピーの果てに変な奴の呪いトロイ

トロイア文明

>>245
>数学は体力だ

木村 達雄先生ね
旧ガロアすれで 何度も引用させてもらった （＾＾

https://program.math.tsukuba.ac.jp/emeritus/kimurata/
数学は体力だ！
HOME
名誉教授アーカイブス
数学は体力だ！
木村 達雄 数学系教授(当時)
初出: 筑波フォーラム 45, 104-107, 1996年11月 （筑波フォーラム編集室了承済）

2. 数学は体力だ（ヴェイユの言葉）
一般に世間では数学者というと，青白い顔をして，やせ細った弱々しい体で，頭脳ばかりを使っているというイメージをもつ人が多いようです。特に日本ではその傾向があるようですが，私が外国で会った一流の数学者たちは，みな相当な体力の持ち主ばかりでした。

かつてアメリカのプリンストン高等学術研究所に滞在中，今は亡き久賀道郎先生は，私に「数学は体力だよ」と言って次のような話をして下さいました。

1955年の秋に日光で代数的整数論の国際シンポジウムが開かれたとき，久賀先生たちは来日したヴェイユ（シモーヌ・ヴェイユの兄で日本の数学に多大な影響を与えた大数学者，当時50才）やセ一ル（26才で小平邦彦先生と共にフィールズ賞を受賞。当時30才位）を中禅寺湖へ案内した。ところがヴェイユは裸になって湖に飛び込み，泳ぎ出した。セールもそのあとに続いた。負けてなるかと何人かの日本人数学者たちも続いて飛び込んたが，余りの水の冷たさに驚いてすぐ上がってしまった。やがて湖から上がってきたヴェイユとセールは今度は走り出した。日本人数学者たちは「陸の上なら我々も出来る」とばかり，二人のあとに続いて走り出したが，すぐ息切れして走れなくなってしまった。そのうちヴェイユが戻ってきて休んでいる久賀先生を見て二ヤッと笑って「数学は体力だ」と，言ったというのです。

https://program.math.tsukuba.ac.jp/wp-content/uploads/sites/28/2025/02/math.gif

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%A8%E6%9D%91%E9%81%94%E9%9B%84
木村 達雄（きむら たつお、1947年 - ）は、日本の数学者、武道家。筑波大学名誉教授。理学博士。大東流合気武術十元。東京都出身。
略歴
私立武蔵高校卒業[1]。

東京大学理学部数学科卒業。

同大学院修士課程修了。

名古屋大学助手、プリンストン高等学術研究所研究員、グルノーブル大学（フランス）、マンハイム大学（ドイツ）、ジョンズ・ホプキンス大学（アメリカ）各客員助教授などを歴任。

佐藤幹夫が創始した概均質ベクトル空間の理論、とくに既約概均質ベクトル空間の分類など、主として分類理論を研究した。

>>249
何を指摘されてるかすら理解できないオチコボレ憐れ

本当は分かってるよね
だからそれを掻き消したい

背理法の話だけに興味があるなら、本筋以外のことに体力を使う意欲は湧かないはずだから

しかし、だとしたら今の行動に使った分の体力を、本筋の何かに向けた方が楽なんじゃないの
本筋に向けないにしても、息抜きに体力を割いた方がいいんじゃない？

背理法ではない個人的かもしれない何かから目を逸らしている一方で、目を逸らすことに対しても緊張している

>>253-257
どうもです
みなさん、ご苦労さま

>>41を書いたのは私だ
”>無理数の定義が「実数xは有理数」の否定であって、命題Pの否定¬Pの導入は「Pを仮定したら矛盾が導びかれること」なのだから、この前提のもと、無理数であることを示す方法は「有理数であることを仮定して矛盾を導く」以外には無い
それだけだと、下記の 理科大教授　安部直人氏を論破したことにならない”

と書いた
意図は、理科大教授　安部直人氏の徹底論破だ
そのために、私の主張の根拠文献を徹底してつけてきた
（「それ個人の感想ですね」と言われないように （＾＾）
いま、250を少しすぎた辺りだから あと250 つまり500までには 徹底論破完了だろうな

そこで、みなさんへのお願いは
旗幟を鮮明にしてくれってこと
要するに
a)背理法被害者の会を擁護するのか？
b)背理法被害者の会を論破するのか？

（a)か b)か？ まあ、どちらでもないというなら その旨を明らかにせよ）

さて
スレタイ「背理法は不要なのか」へのチャレンジ問題を出す（必要の根拠）

それは、>>230の
命題A：『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
その系a：『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
証明は、>>230に書いたが
背理法で、和a+b 差a-bの両方が 代数的数だとする
a、b両方とも 代数的数になり矛盾（∵代数的数の集合が体だから）

この証明は、あたかも√2の背理法同様で、
√2が有理数だとして矛盾を導き √2が無理数だという
『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
において 背理法を使わない 証明を出せ！

このスレで三日晒して、背理法を使わない 証明が出なければ
だれか 背理法被害者の会の人に連絡してあげてね
（もし 万一背理法を使わない 証明が出てくれば 別問題を考えるよ）

それで、ずっ〜と背理法を使わない 証明が
背理法被害者の会の人たちから 出せなければ・・
「ロンパ」ってことだな
まあ1月間だけ待つか・・、
それ以上待っても無駄だろうからね （＾＾

２３℃
小雨

>>258 補足
>a、b両方とも 代数的数になり矛盾（∵代数的数の集合が体だから）

Algebraic numberが、Fieldを成すことの説明は、下記の通り

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number
Algebraic number
Algebraic complex numbers are closed under addition, subtraction, multiplication and division, and hence form a field, denoted Q^-.
The set of algebraic real numbers
Q^-∩R is also a field.
Numbers which are not algebraic are called transcendental and include π and e. There are countably infinite algebraic numbers, hence almost all real (or complex) numbers (in the sense of Lebesgue measure) are transcendental.

Field
The sum, difference, product, and quotient (if the denominator is nonzero) of two algebraic numbers is again algebraic:

For any two algebraic numbers ⁠α⁠, ⁠β⁠, this follows directly from the fact that the simple extension Q(γ), for γ being either α+β, α−β, αβ or (for β≠0) α/β, is a linear subspace of the finite-degree field extension Q(α,β), and therefore has a finite degree itself, from which it follows (as shown above) that γ is algebraic.
An alternative way of showing this is constructively, by using the resultant.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Resultant )
Algebraic numbers thus form a field[7] Q^-¯ (sometimes denoted by A, but that usually denotes the adele ring).

https://en.wikipedia.org/wiki/Resultant
Resultant
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%82%E7%B5%90%E5%BC%8F
終結式（しゅうけつしき、英: resultant）[注 1]
2つの多項式の係数から構成される式である。そうして終結式の値が零になることと2つの多項式が（係数体の分解体上で）共通零点を持つことは同値になる。このことから2つの多項式が共通零点を持つための必要十分条件が元の多項式の係数の多項式として得られる。具体的には、次のようにして定義される：
略す
脚注
注釈
1. 古い文献では eliminant（消去式）と呼ばれることもある[1]。

煽るような言葉を使ったり長文だったり
レトリカルで叙情的に書かれると
すごく不自然なんだよね
単に背理法の話がしたいのではなく、それを手段として
論破して気持ちよくなりたい、相手を屈服させたい、というような香りがしなくもない
話が本筋に戻ったのはいいことだけど、まだその点で変な力みがあるような
だからまずその力みが何によるものなのかなと、そこが気になるんだよな
何か環境とか、普段見てるものとか、そういうところに不健康な要素がある気がしてならない

岡田斗司夫

気温が上昇します
明日

背理法の使用例をコピペすることに何の意味が？

>>261
>論破して気持ちよくなりたい、相手を屈服させたい、というような香りがしなくもない

いみわからん
　>>1のテンプレは 「背理法被害者の会」
スレタイは ”背理法は不要なのか”
（スレ立て人の>>1のID:hnOHl6Gr氏（スレ立て者）が、背理法賛成or反対どちらの立場かしらないが）

なので スレタイの ”背理法は不要なのか”と テンプレの「背理法被害者の会」は、密接に結びついている
ゆえに、”背理法は必要だ”という私の立場からは、「背理法被害者の会」は否定されるのです
ゆえに、”背理法は必要”と”「背理法被害者の会」否定”は、両立している

なお、日本では 背理法は 現代日本では高校数学1ですか
私は、主に中高一貫生も来るから 彼ら向けにハッキリと書いています
（また「背理法被害者の会」の被害者になっている大人(18以上)の救済も兼ねて（＾＾）

(参考)
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a15m0061.html
高校生の苦手解決Q&A
Presented By　進研ゼミ高校講座
Q：背理法とは？──矛盾を導く証明のやり方と具体例を知りたい
A：略す

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12201035102
cou********さん chiebukuro.yahoo
2018/12/27
高校数学教育に関する質問です。
ずばり、背理法は甘えではないでしょうか。
排中律という余計な公理を追加する理由がわかりません。
背理法を使わなくても証明できることはそちらの方がよいのではないでしょうか？
ベストアンサー
qwer753さん
2018/12/28
人間にとって背理法はごく自然な証明法です。
議論において相手の主張を否定したいとき、
「君の主張が正しいとしよう。そうすると・・・・・・・・・・・
となって・・・・・・・・となる。これを君は正しいと言うのか。」
ともっていくのは常套手段です。
これは背理法そのものです。背理法を甘えと言うのは理解できません。
略

https://hokkyodai.repo.nii.ac.jp/record/1746/files/21-1-1C-06.pdf
背理法の指導についての一考察 - 北海道教育大学学術リポジトリ
北海道教育大学学術リポジトリ
PDF
岡部勝幸 著 · 1970 — 背理法は高校一年の教材「数学と論証」と言う一章で述べられている． そこでは，. 命題とその. 対偶が同値である事を背理法を使って証明したり， また逆 ...
6 ページ
(抜粋)
（１）背理法は数学のみならず，一般的な思考（我々の生活における）においても到る所使用
されるのだから，この論法を自由に，かつできるだけ厳密に使用できるように，
またその論法の根底は何処に有るのか（即ち，「命題とその対偶が同値であること」と「背理
法を使用すること」の関係を明らかにする．）を指導する，

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/32/32-3.pdf
背理法の論理とその指導に関する一考察
数研出版
PDF
背理法は,現在, 高等学校 数学Aの “数と式”に. 関する指導内容の一部になっている。その背理法の. 指導の折、私は生徒の反応に対し次の点で関心をも. っ ...
4 ページ

>>264
>背理法の使用例をコピペすることに何の意味が？

>>265 岡部勝幸 著より 百回音読しよう！
https://hokkyodai.repo.nii.ac.jp/record/1746/files/21-1-1C-06.pdf
背理法の指導についての一考察 - 北海道教育大学学術リポジトリ
北海道教育大学学術リポジトリ
PDF
岡部勝幸 著 · 1970
（１）背理法は数学のみならず，一般的な思考（我々の生活における）においても到る所使用
されるのだから，この論法を自由に，かつできるだけ厳密に使用できるように，・・
略

７�oの雨
金曜日

>排中律という余計な公理を追加する理由がわかりません。
余計であるは主観にすぎない。
仮定に理由を求めるのは馬鹿。

>>>265 岡部勝幸 著より 百回音読しよう！
なんの回答にもなってない。君、言葉分かる？

>私は、主に中高一貫生も来るから 彼ら向けにハッキリと書いています
子供たちにとってオチコボレの講釈は害悪でしか無い

下手な説法数うちゃ当たる

Oh！ 釈迦様

>>258 追記
”命題A：『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
その系a：『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
証明は、>>230に書いたが
背理法で、和a+b 差a-bの両方が 代数的数だとする
a、b両方とも 代数的数になり矛盾（∵代数的数の集合が体だから）”

さて
下記の『また、e + π, e − π, eπ, e/π の中に代数的数が存在するならば多くても1つしかないこともわかっている』で
”e + π, e − π, eπ”の三つ組も 背理法使えると閃いたぞ（＾＾

”命題A'：『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b 積ab で 代数的数が存在するならば多くても1つしかない』
その系a'：『 e + π, e − π, eπのうち 代数的数が存在するならば多くても1つしかない』

証明：背理法で、例えば 和a+b=d1と 積ab=d2 で 2次方程式 (x-a)(x-b)=x^2+d1x+d2＝0
とできる。
d1とd2とも代数的数ならば、2次方程式は代数的数を係数とする方程式であり
その根は、代数的数でなければならない。これは仮定に反する。他の組み合わせも類似。よって命題A'成立■

e/πはどうした？
いま 考えているｗ　（＾＾；

(参考)>>206より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,・・略・・
などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
注釈
4 しかしながら、例えば e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことから分かる。
また、e + π, e − π, eπ, e/π の中に代数的数が存在するならば多くても1つしかないこともわかっている。

背理法は必要だという意見の方が世間一般ではまともだけど
ここのスレを読んだ人はそう思わないだろうな

なぜならZlJ6pZC4がマトモな人らしい振る舞いをしていないから
知識のない人は振る舞いから推測するしかない

1+1=田

標数が何であっても、この答えにはならない。

背理法必要派を名乗るなら
もうちょっとしっかりしてほしいな

>>273 タイポ訂正

証明：背理法で、例えば 和a+b=d1と 積ab=d2 で 2次方程式 (x-a)(x-b)=x^2+d1x+d2＝0
　↓
証明：背理法で、例えば 和a+b=d1と 積ab=d2 で 2次方程式 (x-a)(x-b)=x^2-d1x+d2＝0

補足
根と係数の関係
中高一貫生は、気をつけようね

>e/πはどうした？

『また、e + π, e − π, eπ, e/π の中に代数的数が存在するならば多くても1つしかないこともわかっている』
これで、”e + π, e − π, eπ”の3つ組で この中に代数的数が存在するならば多くても1つしかないことは、既に上記で示した
よって、あとは ”e + π, e − π, eπ”の3つの 各数とe/πとの3通りの組合せを
しらみつぶしで 背理法3回適用だな

中高一貫生でもできるだろう
背理法を使えばね！

背理法を使わないで？
さあ？ 無理じゃねｗｗ（＾＾

>>274-275
被害者の会の人？
ステマですねｗ （＾＾

>>278
>背理法必要派を名乗るなら

？ 「背理法必要派」なんて 名乗るものではない！
『被害者の会』とかあるから、区別のために名付けただけのこと

「私は 人間です」と言っているようなものか
？ 人間でなければなんだ？ ｗ
神か 悪魔か スーパーマンか

空を見ろ！ スーパーマンだ！ｗｗ
おっと、日本には パーマンがいたねｗ

御大も、「背理法必要派」だろう
名乗らないけどねｗ　（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3
『パーマン』は、藤子不二雄名義で執筆された日本の漫画作品、テレビアニメ、作中で主人公達が変身するヒーローの名称である。

・自然数が素因数に分解できることを背理法を使わずに証明せよ
・素因数分解の一意性を背理法を使わずに証明せよ

・2が素数であることを背理法を使わずに証明せよ

・2が3で割り切れないことを背理法を使わずに証明せよ

論理上は背理法がないとできることが狭まるし
教育上かりに背理法に触れる機会がなかったら後々学生が困る

本題に興味がないから文の取捨選択ができない
人の言葉全部を押し並べて読んで、言えることを探している
それが脱線であるかという選択が入らない
その意味で、疲れるだけで無駄なことをしている

　>>258より再録
2026/06/24(水)
スレタイ「背理法は不要なのか」へのチャレンジ問題を出す（必要の根拠）

それは、>>230の
命題A：『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
その系a：『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
証明は、>>230に書いたが
背理法で、和a+b 差a-bの両方が 代数的数だとする
a、b両方とも 代数的数になり矛盾（∵代数的数の集合が体だから）

この証明は、あたかも√2の背理法同様で、
√2が有理数だとして矛盾を導き √2が無理数だという
『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
において 背理法を使わない 証明を出せ！
このスレで三日晒して、背理法を使わない 証明が出なければ
だれか 背理法被害者の会の人に連絡してあげてね
(引用終り)

二日目に入った
背理法を使わない 証明はまだ出ない！ｗｗ（＾＾

当然ながら、上記は 背理法を使わない 証明が無い あるいは 難しい
という一例であって
こういう例は多数あるだろう しらんけどｗ

少なくとも、「背理法は不要」への反例になる

クダラン

仮に 背理法被害者の会ロンパがくだらんとしても
背理法被害者の会は、もっとくだらん

　>>122より
(参考)
https://abel.a.la9.jp/sub2.html
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人 本文へジャンプ
2012年11月15日
対角線論法
略
　数学科の学生には、数学の専門書の「ある定理の背理法証明」をみつけたら、
「背理法を使うのは、著者がその定理が当たり前と理解できず説破詰っている」
という証拠だから、もし
「非背理法証明(どんなに長くても)ができたなら、
君が一行一行当たり前の連続として理解できている」
という証拠で、
「その定理に関しては、著者より自分の方が理解できている」
と自信を持っていいと指導しています。
(引用終り)

　>>287より
命題A：『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
その系a：『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
これの非背理法 ３行証明お願いします！！！

Q
E
D

別に　>>41 より
https://abel.a.la9.jp/
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
https://abel.a.la9.jp/sub11.html
東京理科大学 数学科　教授　安部直人
新設　(2013)07月06日
脱背理法と大学入試問題
”「私自身が、背理法のおかげで頭が腐った被害者であると実感しています。十数年前から現在もリハビリ中です。」(背理法被害者の会)”
　一方、背理法の証明の中では、
結果的に正しくない仮定から論理的に正しくない矛盾を導くわけですから、
途中に更に多くの誤った主張が並びます。
誤った主張は誰も(天才でさえ)理解納得はできません。
例えば、1+1=3 を理解納得せよといわれている困ります。
(引用終り)

ロンパしますｗ
まず 英語文法、仮定法、過去、過去完了から
(参考)
https://www.try-it.jp/chapters-3856/lessons-3881/
try-it.jp 高校英語
5分でわかる！仮定法過去完了＋仮定法過去
この授業の先生
木村 智光 先生

仮定法過去完了＋仮定法過去を組み合わせると、
過去についてのありえないことと、
現在についてのありえないことを、同時に表現できるんだ。
If＋主語＋had＋過去分詞 〜, 主語＋would＋動詞の原形 … .「もしあの時〜だったら、今…なのに。」 を基本の形として押さえておこう。

If＋主語＋had＋過去分詞 〜 , の部分で、 「もしあの時〜だったら、」 を表すよ。
過去についての仮定を、過去完了形で表す「仮定法過去完了」 だね。
主語＋would＋動詞の原形 … . の部分で、 「今…なのに。」 だよ。
現在についての仮定を、過去形で表す「仮定法過去」 だね。
(引用終り)

しばしば、数学でも仮定法つかう
もし・・・だったらと
（典型例はなんとか予想（否定される場合も多い））
例：リーマン予想が正しければ 素数分布がいま以上に精密に把握できる！

背理法の第一歩はこれ
もしこうだったら？ と考えることは 数学でもありだ

その上で、背理法の場合には たまたま矛盾が導かれると理解せよ！
背理法の第一歩における 英文法仮定法if これを ある場合は矛盾を導くからと 数学として全否定するのはヘンですよ！ｗ　（＾＾

仮定法未来

クダラン

グラタン

エビクダラン

まあ、人生if文の連続で
昔、富山の人が
if 数学者になろうかな？
と東大へ入学したが
if 京都大学へ行ってみたら？
と京大へワープ
if 中野研ってどんなところ？
と中野研修士入学 中野研で竹腰先生と出会う
if 竹腰先生から共同研究やらない？
と言われて、年単位の共同研究で成果を出す

英文法if 大事だよ
人生二択問題多い

人生ifは、やってみないと正解かどうか解らない
というか、正解になるように頑張るしかない

O-竹腰拡張定理
ダメif文の山があって
その奥に正解があった
数学if 大事だよね

条件の副詞節の中で、未来のことは現在形で表す。

臨床心理フロンティアシリーズ
認知行動療法入門

>英文法if 大事だよ
と、直接法と仮定法の違いも分からないオチコボレが申しております

いつ飛行機が到着するか彼は私に教えるだろう
He will tell me when the plane will arrive.

飛行機が到着したら彼は私に教えるだろう
He will tell me when the plane arrives.

仮定法現在
Suppose X be a set.
Long live the emperor.

養命酒

>>296
数学if の例

１）クンマー理想数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%86%E6%83%B3%E6%95%B0
　理想数（りそうすう、英: ideal number）とは、エルンスト・クンマーが円分体の整数の理想的な素因子分解に現れる数として想像した、架空の数の概念である。この概念はリヒャルト・デーデキントによる環のイデアルの定義へと発展した
　数学if：ideal numberがもしあったら？

２）デデキント 数とは何か？
　足立 恒雄先生が どこかに書かれていたが デデキントの思想の先進性は、数を集合と同一視して捉えていたこと
　デデキントのイデアルもそうだし、デデキントカットも 実数を 集合：デデキントカットと同一視
　数学if：数を抽象化したら 集合と同一視できるぞ

背理法の第一歩はこれ
もしこうだったら？ と考えることは 数学でもありだ

その上で、背理法の場合には たまたま矛盾が導かれると理解せよ！
背理法の第一歩における 英文法仮定法if これを ある場合は矛盾を導くからと 数学として全否定するのはヘンですよ！ｗ　（＾＾

(参考)
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10007998.html
数とは何か
―そしてまた何であったか―
足立 恒雄 2011/06/01共立出版
「数とは何か」をまず現代数学の立場から解説する。さらに歴史上数がどのようなものとして捉えられてきたかを詳細に解明する。数概念は文明によって異なるため、古人の数概念がどういうものだったかを知るのは必ずしも容易ではないが、現代数学の立場で割り切ってしまうことなく、歴史的な数概念を各時代の思想に立ち入って調べていることは本書の著しい特徴である。数概念の通史がこれだけ見事に鳥瞰できる著作は海外にも皆無である。日本を代表する数学者である高木貞治の数に関する4冊の啓蒙書を精査することによって、明治期以降の日本がどのようにして西洋数学を受容したかを明らかにしていることも大きな特徴である。本書は、数学者はもちろん、数学の基礎に関心を持つ文系の知識人にとっても重要な文献となりうる高度な内容である。ただし書き方は平明簡潔であるので理解は易しい。
目次
付録　公理的集合論の基礎
A.1　集合論ZFC
A.2　集合論による数学の展開
A.3　選択公理と同値な命題

現実逃避

逃避の本来の目的は休むこと

>英文法仮定法if
と、ifは仮定法に限らないし、仮定法はifに限らないことも分からないオチコボレが申しております。

iffは仮定法か

仮定法同値

I asked him if he would go.　直接法のif
I wish I could go back home.　if無し仮定法

仮定法=ifと妄想してるオチコボレは英文法の初歩からやり直し