背理法は不要なのか

背理法被害者の会

つづき

＜仏語（仏語ダメなので英訳スイッチ入れた）＞
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
(google英訳)
Proof by contradiction

In logic and mathematics
In mathematical logic , we distinguish the rule of refutation [ref. needed] :
・p → False, therefore not( p ) , which can be taken as the definition of negation .
of the rule of reasoning by contradiction :
・not( p ) → False, therefore p is proof by contradiction.
Both classical and intuitionistic logic admit the first rule, but only classical logic admits the second rule, which involves the elimination of double negatives [citation needed] . Similarly, the law of excluded middle is rejected in intuitionistic logic . Therefore, no proof in intuitionistic logic can rely on proof by contradiction. In other words, any proposition provable in intuitionistic logic can be proven without using it. Conversely, a proposition demonstrable in classical logic but not demonstrable in intuitionistic logic requires proof by contradiction [citation needed] .

Examples and counter-examples
・Proof of the irrationality of √2 : We assume that √2 is rational. Therefore , there exist two integers a and b, which we can assume to be coprime , such that √2 =a/b
We then have 2b² = a² . If we take the remainders of both sides in the division by 2, we obtain a² = 0 mod 2 , so a is even and equal to 2a ' ( where a ' is an integer). We then have b² = 2a'² , which, by a comparable line of reasoning, leads to b being even . However , the fact that a and b are both even leads to a contradiction with a and b being coprime. The statement √2 is rational then leads to a contradiction, and therefore its negation is valid: √2 is irrational.
In this proof, we have only used the fact that if a proposition P leads to a contradiction, then not( P ) is true .
There is therefore no proof by contradiction, despite appearances.
The reasoning presented is thus valid in both classical and intuitionistic logic.
(引用終り)
以上

>>115
(引用開始)
下記 en.wikipediaでは √2の無理数証明は、
上記の ”Refutation by contradiction”で、”(and therefore are intuitionistically valid)”
だとある
後述の 仏語 Proof by contradictionでも同様で √2の無理数証明は
”There is therefore no proof by contradiction, despite appearances.
The reasoning presented is thus valid in both classical and intuitionistic logic.”
とある
国際的には √2の無理数証明は厳密には背理法でなく ”Refutation by contradiction”であって
”thus valid in both classical and intuitionistic logic”とあります
いやはや、背理法被害者の会の人、これ知ってるんかな？ （＾＾
(引用終り)

”Refutation by contradiction”
で
否定命題の背理法は、三重否定？
直観主義論理では、三重否定除去があって
¬¬¬p→¬p が 成立するからか・・

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9%E8%AB%96%E7%90%86
直観主義論理
古典論理において二重否定導入
p→¬¬p と二重否定除去はともに定理であるが、
直観主義論理においては、二重否定を導入することはできるが、除去することはできない。
ただし三重否定除去
¬¬¬p→¬p は定理である

>>71
>x = 1, 2, 3などの場合も証明しているわけなので
証明しては居ないでしょ

背理法は対偶証明法の一種か
対偶証明法は背理法の一種か

背理法は二つの論理的帰結関係 A1,・・・,An|=B と A1,・・・,An,¬B|=⊥ が互いに必要十分であることを用いた証明法。
対偶法は二つの論理的帰結関係 A1,・・・,An|=B と ¬B|=¬A1∨・・・∨¬An が互いに必要十分であることを用いた証明法。

>>119-120
>背理法は対偶証明法の一種か
>対偶証明法は背理法の一種か

下記のen.wikipedia Contraposition(対偶) が参考になるだろう
"この等価性は命題の証明を容易にするために使用できます"ご参照
背理法も同様に、命題の証明を容易にするために使用できます

https://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition#Proof_by_contrapositive
Contraposition
(google訳)
対偶
直感的な説明
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/500px-Venn_A_subset_B.svg.png
図示されたオイラー図では、Aに含まれるものは必ずBにも含まれます。したがって、「AのすべてがBに含まれる」は次のように解釈できます。
A→B
また、B（青色の領域）内にないものはA内にも存在できないことは明らかです。このことは次のように表現できます。
¬B→¬A
これは上記の命題の対偶である。したがって、次のように言える。
（A→B）↔（¬B→¬A）。
実際には、この等価性は命題の証明を容易にするために使用できます。

証明
単純な背理法による証明
Let:
（A→B）∧¬B
Aが真ならばBも真であり、Bは真ではないとされている。このとき、背理法を用いてAは真ではないことを示すことができる。なぜなら、Aが真であればBも真でなければならないからである（モーダス・ポネンスによる）。しかし、Bは真ではないとされているので、矛盾が生じる。
したがって、Aは真ではない（真か偽かの二値命題を扱っていると仮定した場合）。
（A→B）→（¬B→¬A）
同じプロセスを逆方向にも適用できます。その際、以下の前提から始めます。
（¬B→¬A）∧A
ここで、Bは真か偽かのどちらかであることがわかっています。Bが偽であれば、Aも偽です。しかし、Aは真であると与えられているので、Bが偽であるという仮定は矛盾を生じさせ、Bが偽ではないという状況はあり得ないことを意味します。したがって、Bは真でなければなりません。
（¬B→¬A）→（A→B）
証明された2つの命題を組み合わせると、条件文とその対偶との間の、求められていた論理的同値性が得られます。
（A→B）≡（¬B→¬A）

対偶の等価性に関するより厳密な証明
略

>>122 追加

背理法利用の大物で 下記 ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明がある
『ワイルズは半安定楕円曲線に関してモジュラリティ定理を証明し、そこからフェルマーの最終定理が背理法で導かれることを明らかにした。』

これと下記望月氏IUT以外には、証明は知られていない
下記 望月氏のIUT５人論文は
abc予想を明示的に解決して 解の存在範囲を示し
値が小さいところを、コンピュータ数値計算で潰して
フェルマーの最終定理を証明している（まだ学会で認められずLEANで検証中）

素直に、間接証明の背理法が適する場面と
そうでない場面と どちらでも証明できる場面と
３つあることを認めたら良いと思うのだが・・

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

ワイルズの証明の概要
ワイルズは半安定楕円曲線に関してモジュラリティ定理を証明し、そこからフェルマーの最終定理が背理法で導かれることを明らかにした。

証明は大きく2つの部分に分かれる。
略す

ワイルズの証明の数学的詳細
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
IUT関係者による研究
関連研究
2022年7月、楕円曲線の6等分点を用いて、論文中のディオファントス的不等式中の定数の数値を明示したもの（非明示的な「定数」が現れない）に変更した、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された[51][52]。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている[53]。

誰も聞いてない背理法使用例をぺたぺた貼るオチコボレ憐れ

>>123
下記 鈴木 通夫先生の”有限単純群の分類”数学/34 巻 (1982)
背理法を使う
即ち 最小反例
『以下Gは分類定理にあげられた単純群のいずれとも同形でない最小位数の単純群と仮設する.
この仮設から矛盾を導くのが目的である』
という

背理法 分かり易いと思うけど・・（＾＾
まあ、背理法を使わない 分類定理の表現もあるんでしょうねぇ
（私には それを 考える気が全く起きないのですが・・ｗ）
追記
下記 田中康彦先生と 岩波 群論（下）鈴木通夫（多分大学の図書館なら読めるだろう）が詳しい
（後者の本は チラ見したｗ（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
(有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [2])
出典
2. “P141 9. 有限単純群の分類問題について 田中康彦（大分大学）構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題（第27回整数論サマースクール報告集）2019年” (2019年9月6日).
https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/records/33655
SS2019proceedings写真なし.pdf (7.8 MB)
https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/record/33655/files/SS2019proceedings%E5%86%99%E7%9C%9F%E3%81%AA%E3%81%97.pdf
9. 有限単純群の分類問題について・・・・・・・・・・・・・・・141
田中康彦（大分大学）

外部リンク
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_pdf/-char/ja
J-STAGEトップ/数学/34 巻 (1982) 3 号/
有限単純群の分類
鈴木 通夫
P204
§3.分類定理の証明
P205
以下Gは分類定理にあげられた単純群のいずれとも同形でない最小位数の単純群と仮設する.
この仮設から矛盾を導くのが目的である.
P208
さてこの段階で残っていた4つの散在単純群がすべて現われた.定理11により分類定理に対する最小の反例は定理9(3)の条件をみたすことがわかる.

定理12.非成分型の連結単純群Gがe(G)≧3かつ定理9の条件(3)をみたすことはできない.
ここにいたって分類定理に対する最小の反例の存在から矛盾が起り,分類定理が証明されたのである.
定理12の証明には可換部分群の弱閉包,2元体上の表現,特性核,いわゆるAschbacherブロックなどの多様な概念が必要で,[D],[SC]に証明の要点が述べられている

https://www.iwanami.co.jp/book/b266825.html
岩波 現代数学　 18
群論　（上）（下）（岩波オンデマンドブックス）
鈴木　通夫 著
この本の内容
有限群論で国際的に評価される著者自らが執筆した教科書．上巻で基本定理や方法，一般群論，下巻で有限群論を解説する．

>>124
ふっふ、ほっほ
数学文献イップス（下記）が さわぐ（＾＾

　ワイルズの>>123 フェルマーの最終定理の証明は
背理法による証明で いま公式に認められているのは これのみ（そのうち望月IUT）
　鈴木 通夫先生の”有限単純群の分類”の証明も 背理法によるものです

(google検索)
イップス 心理
AI による概要
イップスは、心理的な要因やプレッシャーが原因で、これまで無意識にできていた動作が突然できなくなる運動障害です。失敗への恐怖や「完璧にこなさなければ」という過度な緊張が脳に誤作動を引き起こし、筋肉の硬直や不随意運動をもたらします
イップスを引き起こす主な心理メカニズム
・失敗のトラウマ（フラッシュバック）過去の重大なミスや、その際に受けた強い叱責の記憶が無意識にフラッシュバックし、再び同じ失敗をする恐怖から体がすくんでしまいます。
・過度な競技不安とプレッシャー「ミスをしてはいけない」「結果を出さなければならない」という強いプレッシャーが自律神経を乱し、極度の緊張状態を生み出します
・意識の過剰（分析しすぎ）本来は無意識に行うべき動作（例：ボールを投げる、楽器を弾く）を、意識的にコントロールしようとしすぎることで、脳の指令と筋肉の動きにズレが生じます

イップスになりやすい性格的傾向
・完璧主義：ミスを極端に嫌い、理想のフォームや結果を常に追い求める人

また誰も聞いてないことをペタペタ貼ったり相手がイップスと妄想したり、オチコボレ憐れ

ホイップストロベリーケーキ

コピペ・連投・長文は
知能が低い証し

>>116 追加

中間値の定理の襲名に、背理法が必要とあるぞｗ
面白いなｗ（＾＾

https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
(google英訳)
Proof by contradiction
Examples and counter-examples
・Proving the Intermediate Value Theorem :
even though proof by contradiction does not appear in the proof of this theorem, it nevertheless relies on the principle of excluded middle, the validity of which depends on proof by contradiction. The existence of the root asserted by the theorem is purely formal and not actual. This theorem is not accepted in constructive analysis unless stronger hypotheses are added [ 3 ] .
(google和訳)
中間値の定理の証明：
この定理の証明には背理法は用いられていないものの、排中律の原理に基づいている。排中律の妥当性は背理法によって証明される必要がある。定理が主張する根の存在は形式的なものであり、実際的なものではない。より強い仮定が加えられない限り、この定理は構成的解析では受け入れられない[3]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E9%96%93%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
中間値の定理

証明
#概要に述べた一般化された定理について証明する。必要な事実は
連結空間の連続像は連結である
ということだけである（この事実はここでは認めて話を進めることにする）。
証明[4][表示]
背理法によって示そう
略
存在型の定理
この種の定理は「存在」に関しては保証してくれるが、「具体的にどこにあるか」については分からない。具体的にどこにあるのか知りたい場合には別の考察が必要であるが、「存在」さえ確かめられれば、それでいい場合も多い[注 3]。
似たような存在型の定理に、ロルの定理や平均値の定理などがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
Intermediate value theorem
Proof
The theorem depends on, and is equivalent to, the completeness of the real numbers.
In constructive mathematics
In constructive mathematics, the intermediate value theorem is not true.
（仏語）
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_valeurs_interm%C3%A9diaires
Théorème des valeurs intermédiaires
(google英訳)
Demonstrations
The intermediate value theorem is one of the so-called existence theorems . However, there is no general constructive proof of its existence [ 7 ] .

指摘を理解できないバカ

>>130 追加

en.wikipedia を見ると
Intermediate value theorem（中間値の定理）
より
Proof version B が、背理法
Proof version A が、見かけ背理法ではないが 非構成部分は
”a consequence of the completeness property of the real numbers”
と、実数の完備性を使う

さらに In constructive mathematics
”構成的数学においては、中間値の定理は成り立たない。その代わりに、弱められた結論として、値は任意に小さい範囲内でのみ見つかる可能性がある、と述べる必要がある”
とありますね
つまり、中間値の定理自身は、構成的数学では不成立で それを弱めた定理になる
ということ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
Intermediate value theorem
中間値の定理
Proof
Proof version A
The theorem may be proven as a consequence of the completeness property of the real numbers as follows:[3]
略

Proof version B
(google訳)
略
矛盾を生じさせるために、次のように仮定してみましょう。
g(c)<0。
略
しかし、 x<cこれは、最小上界の最小性質に矛盾する。
つまり、 g(c)>0 不可能だ。
(注：背理法)

In constructive mathematics
In constructive mathematics, the intermediate value theorem is not true. Instead, the weakened conclusion one must take states that the value may only be found in some range which may be arbitrarily small.
（google訳：構成的数学においては、中間値の定理は成り立たない。その代わりに、弱められた結論として、値は任意に小さい範囲内でのみ見つかる可能性がある、と述べる必要がある。）
・Let a and b be real numbers and
f:[a,b]→R be a pointwise continuous function from the closed interval
[a,b] to the real line, and suppose that
f(a)<0 and 0<f(b). Then for every positive number
ε>0 there exists a point
x in the open interval
(a,b) such that
|f(x)|<ε.[15]

>>132 補足
>Proof version B が、背理法
>Proof version A が、見かけ背理法ではないが 非構成部分は
>”a consequence of the completeness property of the real numbers”
>と、実数の完備性を使う

いまの場合、古典論理では
背理法は、非構成的証明として機能していて
Proof version Bのような形で、非構成的証明を実行できるということかと
つまり、背理法は ある場面では 強力な証明手段とみることができる
（直接法では ムリかややこしい場面で、威力をはっきする）

背理　背理振れ　背理法
背理背理　振れ　法　法
背理　背理振れ　背理法
背理背理　振れ　法　法
大きくなれよー

>>130 誤変換訂正

中間値の定理の襲名に、背理法が必要とあるぞｗ
　↓
中間値の定理の証明に、背理法が必要とあるぞｗ

余談
　>>122の対角線論法で
”　なお、対角線論法はLawvereにより、
(不動点定理の形で)積閉圏へと一般化されています。
勿論、背理法は不要です。”
とか書いているが

パイオニアとして、世界で一番最初の証明を考えた人と
それを見て 別解・別証明を考えることとは、天と地の差があるということを認識しないと
そこをマゼコゼにしてしまうと、パイオニア精神が不足している 日本の凡庸な数学者が、
評論家的に 趣味的に 背理法を使わない別証明を考えて エッヘンとやってる

別にそれは個人の趣味としては良いが
それやってると、パイオニアにはなれない

と、オチコボレが申しております

>>136
勘違いしている人が多いが
教養で教える数学と
東大数学科で教える数学は違う

教養で教える数学は、
いまどきは数学以外の分野でいろんな数学が使われるから
その基礎部分を教える数学であって

東大数学科で教える数学は、
プロ数学者を養成するためのものだ

東京理科大の数学科が、前者だとすれば
できるだけ 背理法以外の証明も勉強しよう
という趣旨は分かるが

　>>41
”「私自身が、背理法のおかげで頭が腐った被害者であると実感しています。十数年前から現在もリハビリ中です。」(背理法被害者の会)”
は、明らかにいいすぎ

背理法が、数学の発展の中で
果たした役割を過小評価している

>>135 補足
　>>122の対角線論法で
”　なお、対角線論法はLawvereにより、
(不動点定理の形で)積閉圏へと一般化されています。
勿論、背理法は不要です。”

まあ、下記など
余談：なお 下記のだれも背理法不要とは言っていない

(参考)
(google検索)
対角線論法 不動点定理
AI による概要
「対角線論法」と「不動点定理」は、一見すると無関係に思えますが、実は数理論理学や計算機科学において「自己言及（自分自身について語ること）」を扱う際の表裏一体の概念です
対角線論法と不動点定理のつながり
・対角線論法: 集合の要素をリストアップし、それと対角線上になる要素を変更することで、「リストに漏れている新しい要素」を作り出す手法。カントールの集合論（実数の非可算性）やゲーデルの不完全性定理の証明に使われます。
・不動点定理: \(f(x) = x\) となる点（不動点）が存在することを主張する定理です
・本質的な共通点: 「対角線論法による新しい要素の構成」は、論理学や圏論の文脈では「不動点を作り出す操作」と完全に同じ構造（ローヴェアの不動点定理など）として定式化できます
具体的な応用例
1. ゲーデルの不完全性定理ゲーデルは、自身の論文でカントールの対角線論法に酷似した手法（対角化補題）を用いました。これにより、「自分自身が証明できないことを主張する命題」という自己言及的な数式を構成し、数学の無矛盾性をその内部の公理系からは証明できないことを示しました。
2. 計算機科学（不動点コンビネータ）ラムダ計算やプログラミング言語の関数型プログラミングにおいて、再帰処理（ループ構造）を実装するために「不動点コンビネータ（Yコンビネータなど）」が使われます。これは対角線論法の自己言及の構造を計算機上で具現化したものです
3. ラッセルのパラドックス「自分自身を要素として含まない集合全体の集合」を考えると矛盾が生じるという論理学のパラドックスです。これも対角線論法と同一の自己言及構造が引き起こす問題であり、この矛盾を回避するための枠組みが現代の集合論（ツェルメロ＝フレンケル集合論など）の基礎となっています。

さらに深掘りしたい場合は、以下のどのテーマに興味があるか教えてください：
・カントールの対角線論法の具体的な証明手順
・ゲーデルの不完全性定理と自己言及の仕組み

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96%E5%AE%9A%E7%90%86
対角化定理
歴史
対角化定理はカントールの対角線論法と類似しているため、「対角化」と呼ばれる
ルドルフ・カルナップ (1934)は、一般自己言及補題 を最初に証明した

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/index-j.html
長谷川 真人
講義資料 「自己言及の論理と計算」(2006年5月改訂；2007年8月追記)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf
自己言及の論理と計算∗長谷川真人
（ ∗京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002）
以下では，数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例として，自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題，また自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題などについて，統一的な視点から考察します

訳も分からずペタペタ貼る病が治らないオチコボレ

まあな
人のスレで悪いが
自分のスレでもやっている
ここ5chは、おれのメモ帳
備忘録なのさｗ （＾＾

>>138 追加
下記は、旧ガロアすれでも紹介したので
覚えている
ペタペタ貼ると記憶に残る（＾＾

対角線論法に関する目次貼るね
（１投稿の容量制限で省いた部分な）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/index-j.html
長谷川 真人
講義資料 「自己言及の論理と計算」(2006年5月改訂；2007年8月追記)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf
自己言及の論理と計算∗長谷川真人
（ ∗京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002）
以下では，数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例として，自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題，また自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題などについて，統一的な視点から考察します

目次
I 自己言及と対角線論法
1 ラッセルの逆理
2 カントールの対角線論法
3 自己適用
4 停止性問題
5 対角線論法から不動点へ
6 不動点定理から具体例を見直す
II 矛盾したものを構成する
1 完備半順序集合と連続関数
2 最小不動点の発想
3 最初の試み
4 埋め込みと射影
5 なぜ失敗したか
6 正しい解の構成—逆極限法

記憶には残るが何一つ理解していない

目次が数学のすべての人がいるね

>>141-142
数学徒は、すぐに反例が示せる主張はしない方がいいだろう
数学センスを問われるからなｗ

記憶には残るが何一つ理解していない
　↓
何か少なくとも一つ以上は理解した

目次が数学のすべての人がいるね
　↓
それ以外にも 表題とか著者とかの記載あるよ！ｗｗｗ（＾＾

>>144 リンク訂正

>>141-142
　↓
>>142-143

算数のセンスを
問われるなｗｗ　（＾＾

屁理屈しか返せない憐れなオチコボレ

数学では、屁理屈であろうが
すべからく 理屈が通っていないといけないとしたもの
ヘリクツでも rigorous であるべし
その上で、“post-rigorous” stage ＝“big picture” by Terence Tao

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1781308317/31
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

＜再録＞
　>>130より ”中間値の定理の証明に、背理法が必要”
（中間値の定理は、本質的に非構成的な定理であり、非構成部分を実数の完備性が担うと
　見かけは非背理法に見える証明が可能。そうでなければ、背理法証明が可能）
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
(google英訳)
Proof by contradiction
Examples and counter-examples
・Proving the Intermediate Value Theorem :
even though proof by contradiction does not appear in the proof of this theorem, it nevertheless relies on the principle of excluded middle, the validity of which depends on proof by contradiction. The existence of the root asserted by the theorem is purely formal and not actual. This theorem is not accepted in constructive analysis unless stronger hypotheses are added [ 3 ] .
(google和訳)
中間値の定理の証明：
この定理の証明には背理法は用いられていないものの、排中律の原理に基づいている。排中律の妥当性は背理法によって証明される必要がある。定理が主張する根の存在は形式的なものであり、実際的なものではない。より強い仮定が加えられない限り、この定理は構成的解析では受け入れられない

　>>132より 『Proof version B が、背理法
Proof version A が、見かけ背理法ではないが 非構成部分は
”a consequence of the completeness property of the real numbers”
と、実数の完備性を使う』
https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
Intermediate value theorem
中間値の定理
Proof
Proof version A
The theorem may be proven as a consequence of the completeness property of the real numbers as follows:[3]
略
Proof version B
(google訳)
略
矛盾を生じさせるために、次のように仮定してみましょう。
g(c)<0。
略
しかし、 x<cこれは、最小上界の最小性質に矛盾する。
つまり、 g(c)>0 不可能だ。
(注：背理法)
In constructive mathematics
In constructive mathematics, the intermediate value theorem is not true. Instead, the weakened conclusion one must take states that the value may only be found in some range which may be arbitrarily small.
（google訳：構成的数学においては、中間値の定理は成り立たない。その代わりに、弱められた結論として、値は任意に小さい範囲内でのみ見つかる可能性がある、と述べる必要がある。）
・Let a and b be real numbers and
f:[a,b]→R be a pointwise continuous function from the closed interval
[a,b] to the real line, and suppose that
f(a)<0 and 0<f(b). Then for every positive number
ε>0 there exists a point
x in the open interval
(a,b) such that
|f(x)|<ε.[15]

また屁理屈

>>148 追加

ZFC公理系で、非構成的な公理がただ二つある
一つは 無限公理（無限集合は他の公理から構成できない）
もう一つは、言わずと知れた 選択公理
（下記 ”選択公理は選択集合の存在を主張するが 非構成的”）

実数に完備性を与えるには、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1780699023/173より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。
（連番は筆者が付けた）
1）外延性の公理：任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない
2）正則性公理：略
3）分出公理図式：分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できる
　ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる
4）対の公理：任意の集合 xと y について、少なくとも xと y を元とする集合が存在する
5）和集合の公理：略
6）置換公理図式：置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する
7）無限公理：略
8）冪べき集合公理：略
9）選択公理（または同値な命題）：任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである
（選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる）

>>150
>実数に完備性を与えるには、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする
有理コーシー列全体の集合の構成に選択公理は不要。
なんで口から出まかせに嘘デタラメ吐くかねえこのオチコボレは。

連投，長文，コピペは
頭が悪い

>>150
>ZFC公理系で、非構成的な公理がただ二つある
>一つは 無限公理
無限公理は帰納的集合の存在を主張する。帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・ を持つ。
なぜこれが構成的でないのか？　また口から出まかせ？　懲りないオチコボレだねえ。

>>150
>ZFC公理系で、非構成的な公理がただ二つある
>一つは 無限公理（無限集合は他の公理から構成できない）
>もう一つは、言わずと知れた 選択公理
外延性の公理、正則性公理はいかなる集合も構成しない。
口から出まかせもほどほどにな。

コピペバカの吐く独自主張はことごとく間違えている。
>記憶には残るが何一つ理解していない
の証拠。

>>150 訂正

正確には
実数に完備性を与えるには、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする
　↓
実数が完備距離空間であることを示すのに、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする

だな
完備距離空間は下記ね
完備距離空間として考えると、p進距離とか別の距離を考えることができる
また、実数Rから複素数Cを考えるときも、完備距離空間として考えることができる
これが、デデキントカットに対する完備距離の優位性

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
完備化
完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。空間 M′ は等距変換の違いを除いて、この普遍性によって決まり、M の完備化と呼ばれる。
M の完備化は M 内のコーシー列のある同値類集合として構成することができる。
略

>>153
赤ペン先生

無限公理は帰納的集合の存在を主張する。帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・ を持つ。
　↓
無限公理は帰納的無限集合の存在を主張する。帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・（可算無限） を含む。

だな。詳しくは 下記 Set-theoretic definition of natural numbers ご参照
要するに、帰納的定義だけでは、有限の範囲でいくらでも大きな自然数nが作れるが
しかし、無限集合としてのNは構成できない
従って、非構成的に なんらかの無限集合公理を与える必要があるのです■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers
Set-theoretic definition of natural numbers
Definition as von Neumann ordinals
In Zermelo–Fraenkel (ZF) set theory, the natural numbers are defined recursively by letting 0 = {} be the empty set and n + 1 (the successor function) = n ∪ {n} for each n. In this way n = {0, 1, …, n − 1} for each natural number n. This definition has the property that n is a set with n elements. The first few numbers defined this way are: (Goldrei 1996)
略
The set N of natural numbers is defined in this system as the smallest set containing 0 and closed under the successor function S defined by S(n) = n ∪ {n}. The structure ⟨N, 0, S⟩ is a model of the Peano axioms (Goldrei 1996). The existence of the set N is equivalent to the axiom of infinity in ZF set theory.

Frege and Russell
For enabling natural numbers to form a set, equinumerous classes are replaced by special sets, named cardinal. The simplest way to introduce cardinals is to add a primitive notion, Card(), and an axiom of cardinality to ZF set theory (without axiom of choice).[2]

>>156
コーシー実数がコーシー完備であることの選択公理を使わない証明。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97#%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90

複素数体=R[x]/(x^2+1)　つまりRにx^2+1の根を添加した二次拡大体。

初歩の初歩から分かってないオチコボレの妄言は聞き飽きた。

>>157
君、帰納的集合は無限集合であることも知らんの？

>従って、非構成的に なんらかの無限集合公理を与える必要があるのです■
なんらかのじゃなく帰納的集合の存在を主張する無限公理。帰納的集合が持たなければならない元は明示的に定められているのだから構成的。君、頭悪いね。

名物 赤天先生

>赤ペン先生
大学1年の授業についていけず落第したオチコボレは赤ペンされる側だろｗ

青天井の優しさ

集合Xが元{}を持っていなければXは帰納的集合ではない。
「帰納的集合は”なんかほわ〜んとした無限集合”」とイメージして非構成的とほざくのはオチコボレが初歩の初歩から分かってないだけ。
実際、
>帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・ を持つ。

ホワミル

オチコボレは初歩の初歩から分かってないから間違いだらけなのに重度NPD患者なので決して間違いを認めない
まずは病気治せ　数学はその後

補題　有限集合は帰納的集合である
って書いてある資料がある。

>>158
>コーシー実数がコーシー完備であることの選択公理を使わない証明。
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97#%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90

ふっふ、ほっほ
1）それな ZFだけで証明したと謳ってないよね
2）実際、コーシー列に二種類 あることを認めようね
　一つは、構成可能なコーシー列 （例えば オイラー数 (Euler's number)e =1+1+1/2!+1/3!+・・ https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)）
　もう一つは、非構成可能なコーシー列
　非構成可能なコーシー列の存在を示すのに、(可算)選択公理を使う
　非構成可能なコーシー列の存在を示せないと 完備がいえない

>複素数体=R[x]/(x^2+1)　つまりRにx^2+1の根を添加した二次拡大体。

おっさんな
複素数C にL^2距離を導入して、距離空間にするんだよ
導入した距離を利用して 複素コーシー列を作る
(可算)選択公理を使って、非構成可能を含むコーシー列の複素数C内への収束を示すんだよ！

これだから、素人は・・（＾＾

背理法と排中律（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E4%B8%AD%E5%BE%8B
排中律（英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 P に対し「P であるか、または P でない」という命題は常に成り立つという原理である。
直観主義論理においては排中律は公理として採用されておらず、また排中律は直観主義論理の定理ではない（すなわち、排中律は直観主義論理において証明できない）。ただし、排中律の二重否定 ¬¬(P ∨ ¬P) [注釈 1]や三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P [注釈 2]などは直観主義論理においても証明可能であり、すなわち排中律が否定されているわけでもない。

例
排中律に依存した論証の例を次に示す。これは、よく知られた例である[7][8]。
『a と b ２つの無理数からなるabが有理数となる a 、 bが存在する』
√2 が無理数であることは知られている。そこで、次のような数を考える。
√2^√2
排中律に基づくと、明らかにこの数は有理数か無理数かのどちらかである。これが有理数なら証明が完了する。もし無理数なら、次のような数を考える。
a=√2^√2
および
b=√2
すると、
a^b=(√2^√2)^√2
=(√2)^(√2・√2)
=(√2)^2
=2
2 は明らかに有理数である。従って証明が完了する。
この論証において、「この数（√2^√2）は有理数か無理数かのどちらかである」という主張は排中律に基づいている。直観主義では、aが
√2であるのか
√2^√2 であるのか特定されていないような上記の論法、あるいは
√2^√2 について何らかの証拠（数・実数としての存在可能性、あるいは有理数であるか無理数であるかといった具体的な証明）がない限り、このような主張を認めない。この変形として、ある数が無理数（あるいは有理数）であることの証明や、ある数が有理数かどうかを判定する有限なアルゴリズムなどが考えられる。

無限に関する非構成的証明
上記の例は直観主義では許されない「非構成的; non-constructive」証明の例である。
「この証明は、定理を満足する a と b という数を特定せずに可能性だけで論じているため、非構成的である。実際には
a=√2^√2 は無理数だが[注釈 3]、これを簡単に示す証明は知られていない」(Davis 2000:220)　
（なお、上記の設題に関して別の数を用いれば、特定の構成的な証明を行うのは困難な事ではない。例えば
a=√2 及び
b=log2 (9)
は共に無理数であることは容易に証明でき、
a^b=3。これは直感主義で認められる証明方法の１つである[9]。）

Davis は「構成的」について「実際に一定の条件を満たす数学的実体が存在するという証明は、明示的に問題の実体を表す方法を提供する必要があるだろう」(p. 85) としている。そのような証明は全体の完全性の存在を前提としており、それは直観主義者にとっては、決して完全ではない「無限」に拡張することは許されない

つづく

つづき

古典数学では、「非構成的」あるいは「間接的」な存在証明があるが、直観主義者はそれを受け入れない。例えば、「P(n) が成り立つような n がある」ことを証明するとき、古典数学では全ての n について P(n) が成り立たないと仮定することで矛盾が生じることを示す。古典論理でも直観論理でも、帰謬法により「全ての n について P(n) が成り立たないということはない」ことが示される。古典論理はその結果を「P(n) が成り立つ n が存在する」に変換することを許すが、直観論理では総体として無限な自然数の集合が完全であって、P(n) となるような n が存在するということは言えない。なぜなら、直観主義では自然数が全体として完全であるとは考えないからである。[10] (Kleene 1952:49-50)

一般に、直観主義では有限な集合に関して排中律の適用を許すが、無限集合（例えば、自然数）に対しては許さない。したがって、「無限集合 D に関する全ての命題 P について、P であるかまたは P でないかのどちらかである」(Kleene 1952:48) という言い方は、直観主義では絶対できない。詳しくは、数学基礎論と直観主義を参照されたい。

排中律についての推定的反例として、嘘つきのパラドックスあるいはクワインのパラドックスがある。Graham Priest の dialetheism では、排中律を定理とするが、嘘つきのパラドックスは真でもあり偽でもあると説明する。この場合、排中律は真だが、真であるがゆえに選言は排他的ではなく、選言肢の一方が逆説的だったり、両者がともに真でありかつ偽であることもありうるとする。

注釈
2. 直観主義論理においても二重否定の導入 P → ¬¬P は真である。ここから、Pの三重否定とPは矛盾することが従うため、¬¬¬P ならばPでないことが成り立つ。
(引用終り)
以上

くっちゃらハピハピ

>>166
京大の資料か

>>167
>それな ZFだけで証明したと謳ってないよね
証明のどこで選択公理使ってると？　具体的な箇所を示して。
示せないなら黙ろうな　オチコボレの妄言は聞き飽きた。

>>168-169 補足
>三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P [注釈 2]などは直観主義論理においても証明可能であり、
>注釈
>2. 直観主義論理においても二重否定の導入 P → ¬¬P は真である。ここから、Pの三重否定とPは矛盾することが従うため、¬¬¬P ならばPでないことが成り立つ。

下記が参考になるだろう

https://scrapbox.io/takker/%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%90%A6%E5%AE%9A%E9%99%A4%E5%8E%BB
takker 2024-02-18
三重否定除去
¬¬¬P ⊢ ¬Pのこと。
一般的に呼ばれている名前はない
　名前がないと指し示しづらいので、[takker]が勝手につけておいた
[二重否定除去]とは違って、[直観論理]でも成立する

解釈
　この解釈を思いつけたら面白そうだ
証明
方針
P ⊢ ¬¬P と¬(¬¬ P)⇔ (¬¬P ⇒⊥)]を使うだけ
https://scrapbox.io/files/65d16b685a09250023130bf5.svg

注：”P ⊢ ¬¬P”は、二重否定の導入ですね(下記)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%90%A6%E5%AE%9A%E3%81%AE%E9%99%A4%E5%8E%BB
二重否定の除去（にじゅうひていのじょきょ、英: double negation elimination）および二重否定の導入（にじゅうひていのどうにゅう、英: double negation introduction）は、いずれも推論の種類の一つである

二重否定の導入は直観主義論理でも定理であり、また
¬¬¬A⊢¬A も成立する。
素朴集合論でも、補集合が同様の性質を持つ。集合 A と集合 (A^C)^C は等価である（ここで、A^C は A の補集合を意味する）。

>>168
コピペ癖が治らない重度NPD患者は病院行け

オチコボレ、選択公理使ってる具体的な箇所を示せず
まーた口から出まかせに妄言吐いてるだけでしたとさ

>>172
>証明のどこで選択公理使ってると？　具体的な箇所を示して。

すでに述べた
　>>167より
『コーシー列に二種類 あることを認めようね
　一つは、構成可能なコーシー列 （例えば オイラー数 (Euler's number)e =1+1+1/2!+1/3!+・・ https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)）
　もう一つは、非構成可能なコーシー列
　非構成可能なコーシー列の存在を示すのに、(可算)選択公理を使う
　非構成可能なコーシー列の存在を示せないと 完備がいえない』

なお、下記が参考になるだろう
選択公理の能力は、出力できる非構成可能な列の長さで測れる
可算選択公理は実はDC(ω)と同値
任意の順序数 αについて DC(ℵα)⟺AC（フルパワー選択公理）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された

従属選択公理とは、次の言明である
略
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる
R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)

使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。

公理 DC はACの断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。

従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる
公理
DC(ℵα)
略す

この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]。

定理(ZF) ― 「任意の順序数 αについて DC(ℵα)⟺AC

>>176
おまえの独善持論なんて聞いてねーよサル
証明のどこで選択公理を使ってるか聞いてんだよ　言葉分かる？　サルだから分からない？

サルはヒト語の学習から　数学は100年早い

ヒト語すら解さぬサルが数学を解す訳が無い　サルは山へ帰れ　シッシ

来世は数学に転生するラノベ

数学者に転生

サル、証明のどこで選択公理を使ってるか答えられず
しかし重度NPD患者なので決して間違いを認めない
マジ病院行けよサル

自分が大好き次男♪

>サル、証明のどこで選択公理を使ってるか答えられず
そもそもオチコボレのサルは証明を読めないから答えようが無い説

>>41 戻る
中高一貫生も来るから ハッキリと書いておこう
結論：背理法は、現代数学の多くの分野が古典論理であるから 背理法は有用であり強力な証明手段である■

例：ワイルズ氏のフェルマー最終定理は、背理法で得られた
つまり、a^n+b^=c^n 　nは3以上の整数 a,b,cは整数として
これから、楕円曲線理論に持ち込んで
楕円曲線理論の谷山志村予想から導かれる 楕円曲線の性質と
a^n+b^=c^nから導かれる 楕円曲線とが矛盾することから
a,b,c 整数解の不存在を導く

これの 簡単な非背理法証明*)を思いついてから
「背理法不要論」を唱えてね

詳しくは、下記の 「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明」見てね
*)なお 望月氏の宇宙際タイヒミュラー理論で、
「宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている」
が、abc予想の解決を用いる（いま検証中）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
2022年7月、楕円曲線の6等分点を用いて、論文中のディオファントス的不等式中の定数の数値を明示したもの（非明示的な「定数」が現れない）に変更した、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された[51][52]。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている[53]

おサル、誰からも求められてない説明で悦に入る

証明が読めずどこで選択公理を使ってるか答えられないサルが何語ろうと無駄

>>185 追加
背理法のように、複雑な対象は
いろんな角度から 多角的多面的な切り口で考えるべき

ワイルズ氏のフェルマー最終定理の背理法について
下記の 仏語 Raisonnement par l'absurde （Proof by contradiction）
の”The reductio ad absurdum is therefore represented by:
S∪{¬p}⊢F
↓
S⊢p”
が、一つの切り口だね

命題 p：a^n+b^=c^n 　nは3以上の整数 a,b,cの整数解を持たない
”S is a set of assertions that are taken as already established”
ここで、ワイルズ氏がチャレンジした時は、Sの中では 谷山志村予想であって
当時は、まだ予想は 解かれていなかった
だが、谷山志村予想が証明できれば、背理法が成立して フェルマー最終定理が証明できるのだった

これを 背理法被害者の会の人たちは、否定するの？
それはヘンですよｗ
少なくとも、ワイルズ氏の背理法によるフェルマー最終定理の証明に対する
代案（直接法）を、提出してから 寝言を言ってね （＾＾

(参考)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
英訳
Proof by contradiction
In logic and mathematics
The reductio ad absurdum is therefore represented by:
S∪{¬p}⊢F
↓
S⊢p
In the preceding discussion, p is the proposition we wish to prove, and S is a set of assertions that are taken as already established; these could be, for example, the axioms of the theory in which we are working or specific hypotheses. Considering the negation of p in addition to S , if this leads to a logical contradiction F , then we can conclude that p can be deduced from the propositions in S.

>背理法のように、複雑な対象は
>いろんな角度から 多角的多面的な切り口で考えるべき
と、証明のどこで選択公理が使われてるかも答えられないオチコボレが申しております

複素数の範囲で因数分解

オチコボレが必死に分かってるアピールしても無駄
証明のどこで選択公理が使われてるかも答えられないアホとバレてるから

選択公理を使ってると言っておきながらどこで使ってるかは答えられない
その口から出まかせ癖を治さない限りヒトとして認められないぞおサル

話が無限ループするときには、選択公理は要りそうか。

ループから抜けたいなら間違いを認めような

素因数分解の一意性を
ガッツリ使ってるのに
背理法使ってないと偽る愚

無理数の定義が有理数でないことなんだから
√2=a/b→矛盾
は背理法とは言わないのが普通

>無理数の定義が有理数でないことなんだから
有理数でない実数

実際、√(-1)は有理数でないが無理数でもない

がっつり背理法で草

>>191
>複素数の範囲で因数分解

ふむ、下記のクンマー理論 背理法か
フェルマーの最終定理 a^n+b^n=c^n
これが複素数の範囲で因数分解できて
Cyclotomic polynomial 円分多項式の理論が使える
これぞ、クンマー・デデキント 理想数・イデアルぞ！（＾＾
素因数分解の一意性と類似が成り立ち、背理法が使える！！！
となったらしい
詳しくは下記など

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Fermat's Last Theorem
Proofs for specific exponents
Early modern breakthroughs
Ernst Kummer and the theory of ideals
(It is often stated that Kummer was led to his "ideal complex numbers" by his interest in Fermat's Last Theorem; there is even a story often told that Kummer, like Lamé, believed he had proven Fermat's Last Theorem until Lejeune Dirichlet told him his argument relied on unique factorization; but the story was first told by Kurt Hensel in 1910 and the evidence indicates it likely derives from a confusion by one of Hensel's sources. Harold Edwards said the belief that Kummer was mainly interested in Fermat's Last Theorem "is surely mistaken".[144] See the history of ideal numbers.)

https://math.stackexchange.com/questions/3684655/factorization-of-anbn
stackexchange
asked May 21, 2020 user730322
Factorization of a^n+b^n
I am trying to figure out a way to factor a^n+b^n,
but all I found is odd cases where a^n+b^n=(a+b)(a^n−1 −a^n−2 b +...−ab^n−2 + b^n−1).

1 Answer answered May 21, 2020 Angina Seng
Let's look at X^n+1 instead. Then
X^n+1=(X^2n −1)/(X^n−1).
Over the rationals, the irreducible factorisation of X^n−1 is
X^n −1=∏d∣n Φd(X)
where Φd is the d-th cyclotomic polynomial. Therefore
X^n +1=(∏d∣n Φ2d(X))/(∏d∣n Φd(X))=∏d∣2n,d∤n Φd(X).
Now homogenise:
an+bn=∏d∣2n,d∤n Φd(a,b)
where
Φd(X,Y)=Y^degΦd Φd(X/Y).

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial
Cyclotomic polynomial

つづく

つづき

(参考)
https://people.reed.edu/~jerry/
Jerry Shurman
Professor
Reed College
Department of Mathematics and Statistics
3203 SE Woodstock Blvd
Portland, OR 97202-8199, USA
https://people.reed.edu/~jerry/332/mat.html
Course Materials for Mathematics 332: Algebra
These writeups are based on various standard texts, especially Van der Waerden and Garrett.
・Cyclotomic polynomials
https://people.reed.edu/~jerry/332/21cyclo.pdf
CYCLOTOMIC POLYNOMIALS
・Cyclotomic-intermediate fields via Gauss sums
https://people.reed.edu/~jerry/332/30kummer.pdf
Cyclotomic-intermediate fields via Gauss sums

https://www.reed.edu/math-stats/courses.html
MATH 332 - Abstract Algebra Reed College
An elementary treatment of the algebraic structure of groups, rings, fields, and/or algebras.
Unit(s): 1
Group Distribution Requirement(s): Distribution Group III
Prerequisite(s): MATH 201 and MATH 113
Instructional Method: Lecture-conference
Grading Mode: Letter grading (A-F)
Group Distribution Learning Outcome(s):
Use and evaluate quantitative data or modeling, or use logical/mathematical reasoning to evaluate, test or prove statements.
Given a problem or question, formulate a hypothesis or conjecture, and design an experiment, collect data, or use mathematical reasoning to test or validate it.
(引用終り)
以上

3次式のリゾルベントの話でした。

>>201
>>複素数の範囲で因数分解
>ふむ、下記のクンマー理論 背理法か
それを言うなら代数学の基本定理とか代数閉体やろ

デジモン完全体

>>203
>3次式のリゾルベントの話でした。

ありがと
ついでに ふと思い出したが 下記
『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）

背理法による普通の証明
1）e + π, e − π の 両方が 超越数ではないと仮定する
2）(e + π)=α、(e − π)=βとおく
　α+β＝(e + π)+ (e − π)=2e
　α-β＝(e + π)- (e − π)=2π
　となり矛盾（仮定より 2e=α+β、2π=α-βとも代数的数になってしまう）
3）背理法により 「e + π, e − π の 両方が 超越数ではない」は否定され
　命題の『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』成立！■

これを、背理法を用いないで証明しようとすると
ちょっと面倒かも・・ねｗ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,・・略・・
などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
注釈
4 しかしながら、例えば e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことから分かる。

>>206
>超越数かどうかが未解決の例
>e+π,e−π,・・略・・

まあ、常識的には
e+π,e−π 両方とも 超越数でしょうけどね
しかし、その厳密な証明が まだ無い という・・・ｗ（＾＾

γには果敢に挑戦されても、πやeにはチャレンジされない…。

有限体で問題でも作れんかな。
色々見てみよう。

>>208
>γには果敢に挑戦されても、πやeにはチャレンジされない…。

ああ、おっちゃんの話ね
γでも e+π,e−πなどどれでも
未解決の超越数の判定がキチンとできれば
日本の張益唐（ちょう えきとう）ですね （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B5%E7%9B%8A%E5%94%90
張益唐（ちょう えきとう、ジャン・イータン、Yitang Zhang、1955年2月5日 - ）は、中華人民共和国生まれのアメリカ合衆国の数学者である。数論を専門とする。
ニューハンプシャー大学（英語版）に講師として在籍中の2013年、隣り合った素数の間隔として無限回みられる値の最小値に関して、有限な上界を初めて確立する論文を数学誌『Annals of Mathematics』に提出した。この研究により、2014年のマッカーサー・フェローに選出され[5]、カリフォルニア大学サンタバーバラ校の教授に任命された[6][7][8]。

>>206 追加
>『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
>の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）

いまふと思いついたが
e、πを 二つの超越数 a、bに 簡単に拡張できる・・ 背理法で

つまり
『二つの超越数 a、bの 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
が、上記の” e + π, e − π”と 全く同じ背理法証明で得られるｗ

背理法を使わないで・・？
さあ？ どうするんでしょうねぇ・・ｗｗ　（＾＾

>>203
>3次式のリゾルベントの話でした。

うん
下記の 三次方程式 還元不能の場合だね
en.wikipediaを読むと
カルダノ ”called casus irreducibilis”とかあって
”casus irreducibilis”を読むと（下記）
ガロア理路で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ
背理法嫌いな人は、どうすんの？ これｗｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式
還元不能の場合
相異なる 3 個の実数解を持つ条件である。実数解しかないのにもかかわらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある
カルダノはこの場合を還元不能（かんげんふのう、casus irreducibilis）と呼んだ。この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
Cubic equation
Cardano's formula
ardano's result is that if
t^3+pt+q=0
is a cubic equation such that p and q are real numbers

If 4p^3+27q^2<0,there are three real roots, but Galois theory allows proving that, if there is no rational root, the roots cannot be expressed by an algebraic expression involving only real numbers. Therefore, the equation cannot be solved in this case with the knowledge of Cardano's time. This case has thus been called casus irreducibilis, meaning irreducible case in Latin.

https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis
Casus irreducibilis
Formal statement and proof
(注：背理法)
Suppose that p(x) = 0 can be solved by real radicals.
中略
At the final step of the tower, p(x) is irreducible in the penultimate field K,
but splits in K(3√α) for some α.
But this is a cyclic field extension, and so must contain a conjugate of 3√α and therefore a primitive 3rd root of unity.
However, there are no primitive 3rd roots of unity in a real closed field,
since the primitive 3rd roots of unity are the roots of the quadratic equation ⁠
x^2+x+1=0⁠ which has a negative discriminant.
（注：矛盾により背理法成立）

>>212 誤変換訂正

ガロア理路で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ
　↓
ガロア理論で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ

ついでに アーベル–ルフィニの定理
関連文献 アーベル、ガロア『群と代数方程式』守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉
が手元にある
アーベルの証明は、背理法によっている
P23の最後「10次の方程式によってpを与えている。ところが・・・pは120の異なる値を持つ。それは矛盾である」（脚注：しかるにpは10次方程式の根として、異なる値は10個以下である）
とある
en.wikipedia Abel–Ruffini theorem における Proofは ガロア理論を流用している

この例は、背理法証明の特徴を表している例かも
つまり、ガロア理論が完成すれば、アーベル–ルフィニの定理は構成的な証明が可能だが
しかし、アーベルがこれに関する論文を書いたときは、当然ながら ガロア理論は未完成
ゆえに、強力な証明手法である背理法の出番になったのですｗ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アーベル–ルフィニの定理
関連文献
アーベル、ガロア『群と代数方程式』守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉、1975年4月20日。ISBN 4-320-01164-3。 - 1824年および1826年の原論文の翻訳とその解説。
https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem
Abel–Ruffini theorem
Proof
The proof of the Abel–Ruffini theorem predates Galois theory. However, Galois theory allows a better understanding of the subject, and modern proofs are generally based on it, while the original proofs of the Abel–Ruffini theorem are still presented for historical purposes.[1][7][8][9]
The proofs based on Galois theory comprise four main steps:
略

>>213 追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アーベル–ルフィニの定理
関連文献
高木貞治『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月。ISBN 4-320-01000-0。

ここ 手元の 高木貞治『代数学講義』
P195 §39 五次以上の方程式の代数的解法の不可能
ここに アーベルの証明の紹介がある
P197から200にかけて 背理法による証明が記されている
（要するに 五次以上の一般方程式が冪根によって解かれるとすると矛盾が導かれる）
おっと
§41 実根のみを有する三次方程式
があった
これは>>213 三次方程式 還元不能の話で やはり背理法を使っているね

追記
背理法を全て封印したら・・
高木貞治『代数学講義』が読めなくなる・・（＾＾

3次多項式が既約のときのガロア群の見分け方