>>123
下記 鈴木 通夫先生の”有限単純群の分類”数学/34 巻 (1982)
背理法を使う
即ち 最小反例
『以下Gは分類定理にあげられた単純群のいずれとも同形でない最小位数の単純群と仮設する.
この仮設から矛盾を導くのが目的である』
という

背理法 分かり易いと思うけど・・（＾＾
まあ、背理法を使わない 分類定理の表現もあるんでしょうねぇ
（私には それを 考える気が全く起きないのですが・・ｗ）
追記
下記 田中康彦先生と 岩波 群論（下）鈴木通夫（多分大学の図書館なら読めるだろう）が詳しい
（後者の本は チラ見したｗ（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
(有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [2])
出典
2. “P141 9. 有限単純群の分類問題について 田中康彦（大分大学）構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題（第27回整数論サマースクール報告集）2019年” (2019年9月6日).
https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/records/33655
SS2019proceedings写真なし.pdf (7.8 MB)
https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/record/33655/files/SS2019proceedings%E5%86%99%E7%9C%9F%E3%81%AA%E3%81%97.pdf
9. 有限単純群の分類問題について・・・・・・・・・・・・・・・141
田中康彦（大分大学）

外部リンク
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_pdf/-char/ja
J-STAGEトップ/数学/34 巻 (1982) 3 号/
有限単純群の分類
鈴木 通夫
P204
§3.分類定理の証明
P205
以下Gは分類定理にあげられた単純群のいずれとも同形でない最小位数の単純群と仮設する.
この仮設から矛盾を導くのが目的である.
P208
さてこの段階で残っていた4つの散在単純群がすべて現われた.定理11により分類定理に対する最小の反例は定理9(3)の条件をみたすことがわかる.

定理12.非成分型の連結単純群Gがe(G)≧3かつ定理9の条件(3)をみたすことはできない.
ここにいたって分類定理に対する最小の反例の存在から矛盾が起り,分類定理が証明されたのである.
定理12の証明には可換部分群の弱閉包,2元体上の表現,特性核,いわゆるAschbacherブロックなどの多様な概念が必要で,[D],[SC]に証明の要点が述べられている

https://www.iwanami.co.jp/book/b266825.html
岩波 現代数学　 18
群論　（上）（下）（岩波オンデマンドブックス）
鈴木　通夫 著
この本の内容
有限群論で国際的に評価される著者自らが執筆した教科書．上巻で基本定理や方法，一般群論，下巻で有限群論を解説する．