＜再録＞
　>>130より ”中間値の定理の証明に、背理法が必要”
（中間値の定理は、本質的に非構成的な定理であり、非構成部分を実数の完備性が担うと
　見かけは非背理法に見える証明が可能。そうでなければ、背理法証明が可能）
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
(google英訳)
Proof by contradiction
Examples and counter-examples
・Proving the Intermediate Value Theorem :
even though proof by contradiction does not appear in the proof of this theorem, it nevertheless relies on the principle of excluded middle, the validity of which depends on proof by contradiction. The existence of the root asserted by the theorem is purely formal and not actual. This theorem is not accepted in constructive analysis unless stronger hypotheses are added [ 3 ] .
(google和訳)
中間値の定理の証明：
この定理の証明には背理法は用いられていないものの、排中律の原理に基づいている。排中律の妥当性は背理法によって証明される必要がある。定理が主張する根の存在は形式的なものであり、実際的なものではない。より強い仮定が加えられない限り、この定理は構成的解析では受け入れられない

　>>132より 『Proof version B が、背理法
Proof version A が、見かけ背理法ではないが 非構成部分は
”a consequence of the completeness property of the real numbers”
と、実数の完備性を使う』
https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
Intermediate value theorem
中間値の定理
Proof
Proof version A
The theorem may be proven as a consequence of the completeness property of the real numbers as follows:[3]
略
Proof version B
(google訳)
略
矛盾を生じさせるために、次のように仮定してみましょう。
g(c)<0。
略
しかし、 x<cこれは、最小上界の最小性質に矛盾する。
つまり、 g(c)>0 不可能だ。
(注：背理法)
In constructive mathematics
In constructive mathematics, the intermediate value theorem is not true. Instead, the weakened conclusion one must take states that the value may only be found in some range which may be arbitrarily small.
（google訳：構成的数学においては、中間値の定理は成り立たない。その代わりに、弱められた結論として、値は任意に小さい範囲内でのみ見つかる可能性がある、と述べる必要がある。）
・Let a and b be real numbers and
f:[a,b]→R be a pointwise continuous function from the closed interval
[a,b] to the real line, and suppose that
f(a)<0 and 0<f(b). Then for every positive number
ε>0 there exists a point
x in the open interval
(a,b) such that
|f(x)|<ε.[15]