>>148 追加

ZFC公理系で、非構成的な公理がただ二つある
一つは 無限公理（無限集合は他の公理から構成できない）
もう一つは、言わずと知れた 選択公理
（下記 ”選択公理は選択集合の存在を主張するが 非構成的”）

実数に完備性を与えるには、選択公理による非構成的なコーシー列の存在を必要とする

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1780699023/173より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。
（連番は筆者が付けた）
1）外延性の公理：任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない
2）正則性公理：略
3）分出公理図式：分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できる
　ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる
4）対の公理：任意の集合 xと y について、少なくとも xと y を元とする集合が存在する
5）和集合の公理：略
6）置換公理図式：置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する
7）無限公理：略
8）冪べき集合公理：略
9）選択公理（または同値な命題）：任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである
（選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる）