背理法は不要なのか

背理法被害者の会

>>157
君、帰納的集合は無限集合であることも知らんの？

>従って、非構成的に なんらかの無限集合公理を与える必要があるのです■
なんらかのじゃなく帰納的集合の存在を主張する無限公理。帰納的集合が持たなければならない元は明示的に定められているのだから構成的。君、頭悪いね。

名物 赤天先生

>赤ペン先生
大学1年の授業についていけず落第したオチコボレは赤ペンされる側だろｗ

青天井の優しさ

集合Xが元{}を持っていなければXは帰納的集合ではない。
「帰納的集合は”なんかほわ〜んとした無限集合”」とイメージして非構成的とほざくのはオチコボレが初歩の初歩から分かってないだけ。
実際、
>帰納的集合は空集合と後者関数から生成できるすべての元 {},{{}},{{},{{}}},・・・ を持つ。

ホワミル

オチコボレは初歩の初歩から分かってないから間違いだらけなのに重度NPD患者なので決して間違いを認めない
まずは病気治せ　数学はその後

補題　有限集合は帰納的集合である
って書いてある資料がある。

>>158
>コーシー実数がコーシー完備であることの選択公理を使わない証明。
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97#%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90

ふっふ、ほっほ
1）それな ZFだけで証明したと謳ってないよね
2）実際、コーシー列に二種類 あることを認めようね
　一つは、構成可能なコーシー列 （例えば オイラー数 (Euler's number)e =1+1+1/2!+1/3!+・・ https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)）
　もう一つは、非構成可能なコーシー列
　非構成可能なコーシー列の存在を示すのに、(可算)選択公理を使う
　非構成可能なコーシー列の存在を示せないと 完備がいえない

>複素数体=R[x]/(x^2+1)　つまりRにx^2+1の根を添加した二次拡大体。

おっさんな
複素数C にL^2距離を導入して、距離空間にするんだよ
導入した距離を利用して 複素コーシー列を作る
(可算)選択公理を使って、非構成可能を含むコーシー列の複素数C内への収束を示すんだよ！

これだから、素人は・・（＾＾

背理法と排中律（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E4%B8%AD%E5%BE%8B
排中律（英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 P に対し「P であるか、または P でない」という命題は常に成り立つという原理である。
直観主義論理においては排中律は公理として採用されておらず、また排中律は直観主義論理の定理ではない（すなわち、排中律は直観主義論理において証明できない）。ただし、排中律の二重否定 ¬¬(P ∨ ¬P) [注釈 1]や三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P [注釈 2]などは直観主義論理においても証明可能であり、すなわち排中律が否定されているわけでもない。

例
排中律に依存した論証の例を次に示す。これは、よく知られた例である[7][8]。
『a と b ２つの無理数からなるabが有理数となる a 、 bが存在する』
√2 が無理数であることは知られている。そこで、次のような数を考える。
√2^√2
排中律に基づくと、明らかにこの数は有理数か無理数かのどちらかである。これが有理数なら証明が完了する。もし無理数なら、次のような数を考える。
a=√2^√2
および
b=√2
すると、
a^b=(√2^√2)^√2
=(√2)^(√2・√2)
=(√2)^2
=2
2 は明らかに有理数である。従って証明が完了する。
この論証において、「この数（√2^√2）は有理数か無理数かのどちらかである」という主張は排中律に基づいている。直観主義では、aが
√2であるのか
√2^√2 であるのか特定されていないような上記の論法、あるいは
√2^√2 について何らかの証拠（数・実数としての存在可能性、あるいは有理数であるか無理数であるかといった具体的な証明）がない限り、このような主張を認めない。この変形として、ある数が無理数（あるいは有理数）であることの証明や、ある数が有理数かどうかを判定する有限なアルゴリズムなどが考えられる。

無限に関する非構成的証明
上記の例は直観主義では許されない「非構成的; non-constructive」証明の例である。
「この証明は、定理を満足する a と b という数を特定せずに可能性だけで論じているため、非構成的である。実際には
a=√2^√2 は無理数だが[注釈 3]、これを簡単に示す証明は知られていない」(Davis 2000:220)　
（なお、上記の設題に関して別の数を用いれば、特定の構成的な証明を行うのは困難な事ではない。例えば
a=√2 及び
b=log2 (9)
は共に無理数であることは容易に証明でき、
a^b=3。これは直感主義で認められる証明方法の１つである[9]。）

Davis は「構成的」について「実際に一定の条件を満たす数学的実体が存在するという証明は、明示的に問題の実体を表す方法を提供する必要があるだろう」(p. 85) としている。そのような証明は全体の完全性の存在を前提としており、それは直観主義者にとっては、決して完全ではない「無限」に拡張することは許されない

つづく

つづき

古典数学では、「非構成的」あるいは「間接的」な存在証明があるが、直観主義者はそれを受け入れない。例えば、「P(n) が成り立つような n がある」ことを証明するとき、古典数学では全ての n について P(n) が成り立たないと仮定することで矛盾が生じることを示す。古典論理でも直観論理でも、帰謬法により「全ての n について P(n) が成り立たないということはない」ことが示される。古典論理はその結果を「P(n) が成り立つ n が存在する」に変換することを許すが、直観論理では総体として無限な自然数の集合が完全であって、P(n) となるような n が存在するということは言えない。なぜなら、直観主義では自然数が全体として完全であるとは考えないからである。[10] (Kleene 1952:49-50)

一般に、直観主義では有限な集合に関して排中律の適用を許すが、無限集合（例えば、自然数）に対しては許さない。したがって、「無限集合 D に関する全ての命題 P について、P であるかまたは P でないかのどちらかである」(Kleene 1952:48) という言い方は、直観主義では絶対できない。詳しくは、数学基礎論と直観主義を参照されたい。

排中律についての推定的反例として、嘘つきのパラドックスあるいはクワインのパラドックスがある。Graham Priest の dialetheism では、排中律を定理とするが、嘘つきのパラドックスは真でもあり偽でもあると説明する。この場合、排中律は真だが、真であるがゆえに選言は排他的ではなく、選言肢の一方が逆説的だったり、両者がともに真でありかつ偽であることもありうるとする。

注釈
2. 直観主義論理においても二重否定の導入 P → ¬¬P は真である。ここから、Pの三重否定とPは矛盾することが従うため、¬¬¬P ならばPでないことが成り立つ。
(引用終り)
以上

くっちゃらハピハピ

>>166
京大の資料か

>>167
>それな ZFだけで証明したと謳ってないよね
証明のどこで選択公理使ってると？　具体的な箇所を示して。
示せないなら黙ろうな　オチコボレの妄言は聞き飽きた。

>>168-169 補足
>三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P [注釈 2]などは直観主義論理においても証明可能であり、
>注釈
>2. 直観主義論理においても二重否定の導入 P → ¬¬P は真である。ここから、Pの三重否定とPは矛盾することが従うため、¬¬¬P ならばPでないことが成り立つ。

下記が参考になるだろう

https://scrapbox.io/takker/%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%90%A6%E5%AE%9A%E9%99%A4%E5%8E%BB
takker 2024-02-18
三重否定除去
¬¬¬P ⊢ ¬Pのこと。
一般的に呼ばれている名前はない
　名前がないと指し示しづらいので、[takker]が勝手につけておいた
[二重否定除去]とは違って、[直観論理]でも成立する

解釈
　この解釈を思いつけたら面白そうだ
証明
方針
P ⊢ ¬¬P と¬(¬¬ P)⇔ (¬¬P ⇒⊥)]を使うだけ
https://scrapbox.io/files/65d16b685a09250023130bf5.svg

注：”P ⊢ ¬¬P”は、二重否定の導入ですね(下記)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%90%A6%E5%AE%9A%E3%81%AE%E9%99%A4%E5%8E%BB
二重否定の除去（にじゅうひていのじょきょ、英: double negation elimination）および二重否定の導入（にじゅうひていのどうにゅう、英: double negation introduction）は、いずれも推論の種類の一つである

二重否定の導入は直観主義論理でも定理であり、また
¬¬¬A⊢¬A も成立する。
素朴集合論でも、補集合が同様の性質を持つ。集合 A と集合 (A^C)^C は等価である（ここで、A^C は A の補集合を意味する）。

>>168
コピペ癖が治らない重度NPD患者は病院行け

オチコボレ、選択公理使ってる具体的な箇所を示せず
まーた口から出まかせに妄言吐いてるだけでしたとさ

>>172
>証明のどこで選択公理使ってると？　具体的な箇所を示して。

すでに述べた
　>>167より
『コーシー列に二種類 あることを認めようね
　一つは、構成可能なコーシー列 （例えば オイラー数 (Euler's number)e =1+1+1/2!+1/3!+・・ https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)）
　もう一つは、非構成可能なコーシー列
　非構成可能なコーシー列の存在を示すのに、(可算)選択公理を使う
　非構成可能なコーシー列の存在を示せないと 完備がいえない』

なお、下記が参考になるだろう
選択公理の能力は、出力できる非構成可能な列の長さで測れる
可算選択公理は実はDC(ω)と同値
任意の順序数 αについて DC(ℵα)⟺AC（フルパワー選択公理）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された

従属選択公理とは、次の言明である
略
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる
R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)

使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。

公理 DC はACの断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。

従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる
公理
DC(ℵα)
略す

この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]。

定理(ZF) ― 「任意の順序数 αについて DC(ℵα)⟺AC

>>176
おまえの独善持論なんて聞いてねーよサル
証明のどこで選択公理を使ってるか聞いてんだよ　言葉分かる？　サルだから分からない？

サルはヒト語の学習から　数学は100年早い

ヒト語すら解さぬサルが数学を解す訳が無い　サルは山へ帰れ　シッシ

来世は数学に転生するラノベ

数学者に転生

サル、証明のどこで選択公理を使ってるか答えられず
しかし重度NPD患者なので決して間違いを認めない
マジ病院行けよサル

自分が大好き次男♪

>サル、証明のどこで選択公理を使ってるか答えられず
そもそもオチコボレのサルは証明を読めないから答えようが無い説

>>41 戻る
中高一貫生も来るから ハッキリと書いておこう
結論：背理法は、現代数学の多くの分野が古典論理であるから 背理法は有用であり強力な証明手段である■

例：ワイルズ氏のフェルマー最終定理は、背理法で得られた
つまり、a^n+b^=c^n 　nは3以上の整数 a,b,cは整数として
これから、楕円曲線理論に持ち込んで
楕円曲線理論の谷山志村予想から導かれる 楕円曲線の性質と
a^n+b^=c^nから導かれる 楕円曲線とが矛盾することから
a,b,c 整数解の不存在を導く

これの 簡単な非背理法証明*)を思いついてから
「背理法不要論」を唱えてね

詳しくは、下記の 「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明」見てね
*)なお 望月氏の宇宙際タイヒミュラー理論で、
「宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている」
が、abc予想の解決を用いる（いま検証中）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
2022年7月、楕円曲線の6等分点を用いて、論文中のディオファントス的不等式中の定数の数値を明示したもの（非明示的な「定数」が現れない）に変更した、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された[51][52]。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている[53]

おサル、誰からも求められてない説明で悦に入る

証明が読めずどこで選択公理を使ってるか答えられないサルが何語ろうと無駄

>>185 追加
背理法のように、複雑な対象は
いろんな角度から 多角的多面的な切り口で考えるべき

ワイルズ氏のフェルマー最終定理の背理法について
下記の 仏語 Raisonnement par l'absurde （Proof by contradiction）
の”The reductio ad absurdum is therefore represented by:
S∪{¬p}⊢F
↓
S⊢p”
が、一つの切り口だね

命題 p：a^n+b^=c^n 　nは3以上の整数 a,b,cの整数解を持たない
”S is a set of assertions that are taken as already established”
ここで、ワイルズ氏がチャレンジした時は、Sの中では 谷山志村予想であって
当時は、まだ予想は 解かれていなかった
だが、谷山志村予想が証明できれば、背理法が成立して フェルマー最終定理が証明できるのだった

これを 背理法被害者の会の人たちは、否定するの？
それはヘンですよｗ
少なくとも、ワイルズ氏の背理法によるフェルマー最終定理の証明に対する
代案（直接法）を、提出してから 寝言を言ってね （＾＾

(参考)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
Raisonnement par l'absurde
英訳
Proof by contradiction
In logic and mathematics
The reductio ad absurdum is therefore represented by:
S∪{¬p}⊢F
↓
S⊢p
In the preceding discussion, p is the proposition we wish to prove, and S is a set of assertions that are taken as already established; these could be, for example, the axioms of the theory in which we are working or specific hypotheses. Considering the negation of p in addition to S , if this leads to a logical contradiction F , then we can conclude that p can be deduced from the propositions in S.

>背理法のように、複雑な対象は
>いろんな角度から 多角的多面的な切り口で考えるべき
と、証明のどこで選択公理が使われてるかも答えられないオチコボレが申しております

複素数の範囲で因数分解

オチコボレが必死に分かってるアピールしても無駄
証明のどこで選択公理が使われてるかも答えられないアホとバレてるから

選択公理を使ってると言っておきながらどこで使ってるかは答えられない
その口から出まかせ癖を治さない限りヒトとして認められないぞおサル

話が無限ループするときには、選択公理は要りそうか。

ループから抜けたいなら間違いを認めような

素因数分解の一意性を
ガッツリ使ってるのに
背理法使ってないと偽る愚

無理数の定義が有理数でないことなんだから
√2=a/b→矛盾
は背理法とは言わないのが普通

>無理数の定義が有理数でないことなんだから
有理数でない実数

実際、√(-1)は有理数でないが無理数でもない

がっつり背理法で草

>>191
>複素数の範囲で因数分解

ふむ、下記のクンマー理論 背理法か
フェルマーの最終定理 a^n+b^n=c^n
これが複素数の範囲で因数分解できて
Cyclotomic polynomial 円分多項式の理論が使える
これぞ、クンマー・デデキント 理想数・イデアルぞ！（＾＾
素因数分解の一意性と類似が成り立ち、背理法が使える！！！
となったらしい
詳しくは下記など

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Fermat's Last Theorem
Proofs for specific exponents
Early modern breakthroughs
Ernst Kummer and the theory of ideals
(It is often stated that Kummer was led to his "ideal complex numbers" by his interest in Fermat's Last Theorem; there is even a story often told that Kummer, like Lamé, believed he had proven Fermat's Last Theorem until Lejeune Dirichlet told him his argument relied on unique factorization; but the story was first told by Kurt Hensel in 1910 and the evidence indicates it likely derives from a confusion by one of Hensel's sources. Harold Edwards said the belief that Kummer was mainly interested in Fermat's Last Theorem "is surely mistaken".[144] See the history of ideal numbers.)

https://math.stackexchange.com/questions/3684655/factorization-of-anbn
stackexchange
asked May 21, 2020 user730322
Factorization of a^n+b^n
I am trying to figure out a way to factor a^n+b^n,
but all I found is odd cases where a^n+b^n=(a+b)(a^n−1 −a^n−2 b +...−ab^n−2 + b^n−1).

1 Answer answered May 21, 2020 Angina Seng
Let's look at X^n+1 instead. Then
X^n+1=(X^2n −1)/(X^n−1).
Over the rationals, the irreducible factorisation of X^n−1 is
X^n −1=∏d∣n Φd(X)
where Φd is the d-th cyclotomic polynomial. Therefore
X^n +1=(∏d∣n Φ2d(X))/(∏d∣n Φd(X))=∏d∣2n,d∤n Φd(X).
Now homogenise:
an+bn=∏d∣2n,d∤n Φd(a,b)
where
Φd(X,Y)=Y^degΦd Φd(X/Y).

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial
Cyclotomic polynomial

つづく

つづき

(参考)
https://people.reed.edu/~jerry/
Jerry Shurman
Professor
Reed College
Department of Mathematics and Statistics
3203 SE Woodstock Blvd
Portland, OR 97202-8199, USA
https://people.reed.edu/~jerry/332/mat.html
Course Materials for Mathematics 332: Algebra
These writeups are based on various standard texts, especially Van der Waerden and Garrett.
・Cyclotomic polynomials
https://people.reed.edu/~jerry/332/21cyclo.pdf
CYCLOTOMIC POLYNOMIALS
・Cyclotomic-intermediate fields via Gauss sums
https://people.reed.edu/~jerry/332/30kummer.pdf
Cyclotomic-intermediate fields via Gauss sums

https://www.reed.edu/math-stats/courses.html
MATH 332 - Abstract Algebra Reed College
An elementary treatment of the algebraic structure of groups, rings, fields, and/or algebras.
Unit(s): 1
Group Distribution Requirement(s): Distribution Group III
Prerequisite(s): MATH 201 and MATH 113
Instructional Method: Lecture-conference
Grading Mode: Letter grading (A-F)
Group Distribution Learning Outcome(s):
Use and evaluate quantitative data or modeling, or use logical/mathematical reasoning to evaluate, test or prove statements.
Given a problem or question, formulate a hypothesis or conjecture, and design an experiment, collect data, or use mathematical reasoning to test or validate it.
(引用終り)
以上

3次式のリゾルベントの話でした。

>>201
>>複素数の範囲で因数分解
>ふむ、下記のクンマー理論 背理法か
それを言うなら代数学の基本定理とか代数閉体やろ

デジモン完全体

>>203
>3次式のリゾルベントの話でした。

ありがと
ついでに ふと思い出したが 下記
『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）

背理法による普通の証明
1）e + π, e − π の 両方が 超越数ではないと仮定する
2）(e + π)=α、(e − π)=βとおく
　α+β＝(e + π)+ (e − π)=2e
　α-β＝(e + π)- (e − π)=2π
　となり矛盾（仮定より 2e=α+β、2π=α-βとも代数的数になってしまう）
3）背理法により 「e + π, e − π の 両方が 超越数ではない」は否定され
　命題の『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』成立！■

これを、背理法を用いないで証明しようとすると
ちょっと面倒かも・・ねｗ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,・・略・・
などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
注釈
4 しかしながら、例えば e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことから分かる。

>>206
>超越数かどうかが未解決の例
>e+π,e−π,・・略・・

まあ、常識的には
e+π,e−π 両方とも 超越数でしょうけどね
しかし、その厳密な証明が まだ無い という・・・ｗ（＾＾

γには果敢に挑戦されても、πやeにはチャレンジされない…。

有限体で問題でも作れんかな。
色々見てみよう。

>>208
>γには果敢に挑戦されても、πやeにはチャレンジされない…。

ああ、おっちゃんの話ね
γでも e+π,e−πなどどれでも
未解決の超越数の判定がキチンとできれば
日本の張益唐（ちょう えきとう）ですね （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B5%E7%9B%8A%E5%94%90
張益唐（ちょう えきとう、ジャン・イータン、Yitang Zhang、1955年2月5日 - ）は、中華人民共和国生まれのアメリカ合衆国の数学者である。数論を専門とする。
ニューハンプシャー大学（英語版）に講師として在籍中の2013年、隣り合った素数の間隔として無限回みられる値の最小値に関して、有限な上界を初めて確立する論文を数学誌『Annals of Mathematics』に提出した。この研究により、2014年のマッカーサー・フェローに選出され[5]、カリフォルニア大学サンタバーバラ校の教授に任命された[6][7][8]。

>>206 追加
>『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
>の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）

いまふと思いついたが
e、πを 二つの超越数 a、bに 簡単に拡張できる・・ 背理法で

つまり
『二つの超越数 a、bの 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
が、上記の” e + π, e − π”と 全く同じ背理法証明で得られるｗ

背理法を使わないで・・？
さあ？ どうするんでしょうねぇ・・ｗｗ　（＾＾

>>203
>3次式のリゾルベントの話でした。

うん
下記の 三次方程式 還元不能の場合だね
en.wikipediaを読むと
カルダノ ”called casus irreducibilis”とかあって
”casus irreducibilis”を読むと（下記）
ガロア理路で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ
背理法嫌いな人は、どうすんの？ これｗｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式
還元不能の場合
相異なる 3 個の実数解を持つ条件である。実数解しかないのにもかかわらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある
カルダノはこの場合を還元不能（かんげんふのう、casus irreducibilis）と呼んだ。この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
Cubic equation
Cardano's formula
ardano's result is that if
t^3+pt+q=0
is a cubic equation such that p and q are real numbers

If 4p^3+27q^2<0,there are three real roots, but Galois theory allows proving that, if there is no rational root, the roots cannot be expressed by an algebraic expression involving only real numbers. Therefore, the equation cannot be solved in this case with the knowledge of Cardano's time. This case has thus been called casus irreducibilis, meaning irreducible case in Latin.

https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis
Casus irreducibilis
Formal statement and proof
(注：背理法)
Suppose that p(x) = 0 can be solved by real radicals.
中略
At the final step of the tower, p(x) is irreducible in the penultimate field K,
but splits in K(3√α) for some α.
But this is a cyclic field extension, and so must contain a conjugate of 3√α and therefore a primitive 3rd root of unity.
However, there are no primitive 3rd roots of unity in a real closed field,
since the primitive 3rd roots of unity are the roots of the quadratic equation ⁠
x^2+x+1=0⁠ which has a negative discriminant.
（注：矛盾により背理法成立）

>>212 誤変換訂正

ガロア理路で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ
　↓
ガロア理論で 背理法に乗せて 証明してあったので、笑えたよ

ついでに アーベル–ルフィニの定理
関連文献 アーベル、ガロア『群と代数方程式』守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉
が手元にある
アーベルの証明は、背理法によっている
P23の最後「10次の方程式によってpを与えている。ところが・・・pは120の異なる値を持つ。それは矛盾である」（脚注：しかるにpは10次方程式の根として、異なる値は10個以下である）
とある
en.wikipedia Abel–Ruffini theorem における Proofは ガロア理論を流用している

この例は、背理法証明の特徴を表している例かも
つまり、ガロア理論が完成すれば、アーベル–ルフィニの定理は構成的な証明が可能だが
しかし、アーベルがこれに関する論文を書いたときは、当然ながら ガロア理論は未完成
ゆえに、強力な証明手法である背理法の出番になったのですｗ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アーベル–ルフィニの定理
関連文献
アーベル、ガロア『群と代数方程式』守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉、1975年4月20日。ISBN 4-320-01164-3。 - 1824年および1826年の原論文の翻訳とその解説。
https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem
Abel–Ruffini theorem
Proof
The proof of the Abel–Ruffini theorem predates Galois theory. However, Galois theory allows a better understanding of the subject, and modern proofs are generally based on it, while the original proofs of the Abel–Ruffini theorem are still presented for historical purposes.[1][7][8][9]
The proofs based on Galois theory comprise four main steps:
略

>>213 追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アーベル–ルフィニの定理
関連文献
高木貞治『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月。ISBN 4-320-01000-0。

ここ 手元の 高木貞治『代数学講義』
P195 §39 五次以上の方程式の代数的解法の不可能
ここに アーベルの証明の紹介がある
P197から200にかけて 背理法による証明が記されている
（要するに 五次以上の一般方程式が冪根によって解かれるとすると矛盾が導かれる）
おっと
§41 実根のみを有する三次方程式
があった
これは>>213 三次方程式 還元不能の話で やはり背理法を使っているね

追記
背理法を全て封印したら・・
高木貞治『代数学講義』が読めなくなる・・（＾＾

3次多項式が既約のときのガロア群の見分け方

既約判定はmodを利用する方法も。
4次多項式は2次式✕2次式の場合もあり得るが、3次多項式の場合は少し楽。

否定導入は直接証明
矛盾によらない証明のほうが迂回している

論理学的にと数学的には
厳密に言えば異なる

>>218
>論理学的にと数学的には
>厳密に言えば異なる

ID:esbZuJig は、御大か
巡回ありがとうございます

思うに
”論理学的に”：基礎論屋さん
”数学的に”：一般数学者、自然言語を縦横に使い 必ずしも一階述語に縛られない
上記以外にも：数理哲学屋さん（基礎論っぽいが、そもそも数学の枠にとらわれない議論をする）
という具合に、大まかに３つの立場がありそうですね

追伸
背理法被害者の会>>1とは？
なんでしょうかね？
意味不明

>>217
>否定導入は直接証明
>矛盾によらない証明のほうが迂回している

独 wikipedia Reductio ad absurdum （背理法）
で ”This relationship is also known as the introduction of negation in the calculus of natural reasoning .
(https://de.wikipedia.org/wiki/Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens )”
とありますね （＾＾

(参考)独語読めないで 英訳つけた
https://de.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum
Reductio ad absurdum
(google英訳)
Formal representation
Formally, the proof by contradiction can be represented as follows:
Applies
Γ∪{A}⊢B and
Γ∪{A}⊢¬B , then the following applies:Γ⊢¬A.
Read: Does it hold true that from the set of statements
Γtogether with the statement
A both the statement
B as well as the statement not-B
It follows that
Γ not-A.
This relationship is also known as the introduction of negation in the calculus of natural reasoning .
(https://de.wikipedia.org/wiki/Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens )

Classical and intuitionistic proof by contradiction
There is a second form of reductio ad absurdum, which is important in the debate between classical and intuitionistic logic:
Applies
Γ∪{¬A}⊢Band
Γ∪{¬A}⊢¬B, then the following applies:
Γ⊢A.
Read: Does it hold true that from the set of statements
Γ together with the statement not-A both the statement
B as well as the statement not-B
It follows that ΓA.
The difference between the two forms is that in the first, the negation of a statement is inferred from a statement and a contradiction, while in the second, the statement itself is inferred from the negation and a contradiction. The second form can be summarized as follows: A claim is considered proven if a contradiction can be derived from its negation.
The first form can be transformed into the second using classical negation elimination :
Applies
Γ⊢¬¬A, so the following also applies:
Γ⊢A.
However, since this law is only valid classically, not intuitionistically, the second form is also not universally valid intuitionistically.
Alternatively, the second form can also be derived from the first using the law of excluded middle . However, this law is also not intuitionistically valid.
The rejection of the second form of proof by contradiction means that in intuitionistic mathematics the existence of certain objects of classical mathematics is not recognized (see also constructivism ).

コピペが止まらない重度NPDのオチコボレ

3重連結度の領域を平行截線写像で写す。

>>221
ふっふ、ほっほ
わざわざ要点をコピペしているのに
それが読めない 数学文献イップスくんだったとさｗ （＾＾

　>>126より再録
数学文献イップス（下記）が さわぐ（＾＾

(google検索)
イップス 心理
AI による概要
イップスは、心理的な要因やプレッシャーが原因で、これまで無意識にできていた動作が突然できなくなる運動障害です。失敗への恐怖や「完璧にこなさなければ」という過度な緊張が脳に誤作動を引き起こし、筋肉の硬直や不随意運動をもたらします
イップスを引き起こす主な心理メカニズム
・失敗のトラウマ（フラッシュバック）過去の重大なミスや、その際に受けた強い叱責の記憶が無意識にフラッシュバックし、再び同じ失敗をする恐怖から体がすくんでしまいます。
・過度な競技不安とプレッシャー「ミスをしてはいけない」「結果を出さなければならない」という強いプレッシャーが自律神経を乱し、極度の緊張状態を生み出します
・意識の過剰（分析しすぎ）本来は無意識に行うべき動作（例：ボールを投げる、楽器を弾く）を、意識的にコントロールしようとしすぎることで、脳の指令と筋肉の動きにズレが生じます

イップスになりやすい性格的傾向
・完璧主義：ミスを極端に嫌い、理想のフォームや結果を常に追い求める人

x^3+x^2−2x−1のガロア群はA3

>>223
初歩の初歩からちんぷんかんぷのオチコボレが何かほざいとる

>>217-218
>否定導入は直接証明
>論理学的にと数学的には
>厳密に言えば異なる

なるほど・・・
下記 Negation introduction 否定導入は
数学とは少し異なるようだね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Negation_introduction
Negation introduction
(google訳)
否定の導入
否定導入は、命題論理の分野における推論規則、または変換規則である。
否定導入では、与えられた前件が後件とその補件の両方を含意する場合、否定された前件も含意すると述べている。[ 1 ] [ 2 ]

正式な表記法
これは次のように書くことができます。
（（P→Q）∧（P→¬Q））→¬P
その使用例としては、一つの事実から二つの矛盾する主張を証明しようとする場合が挙げられる。例えば、「電話が鳴るたびに私は幸せだ」とある人が言い、次に「電話が鳴るたびに私は幸せではない」と言った場合、その人は電話が鳴る音を一度も聞いたことがないと推論できる。
背理法による証明の多くは、否定の導入を推論の枠組みとして用いる。¬ Pを証明するには、まず矛盾を導くためにPを仮定し、そこから矛盾する 2 つの推論Qと ¬ Qを導き出す。後者の矛盾によってP が不可能になるため、¬ P が成り立つことになる。

Proof
With ¬P identified as
P→⊥, the principle is as a special case of Frege's theorem, already in minimal logic.
略す

（（P→Q）∧（P→¬Q））→¬P
⇔((¬P∨Q) ∧ (¬P∨¬Q)) →¬P
⇔((¬P) ∨ (Q∧¬Q)) →¬P
⇔¬P→¬P
⇔P∨¬P
⇔T

この程度の証明もできないオチコボレに大学数学は無理

分配律

>>206 &>>211 補足
>>『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
>>の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）
>いまふと思いついたが
>e、πを 二つの超越数 a、bに 簡単に拡張できる・・ 背理法で
>つまり
>『二つの超越数 a、bの 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
>が、上記の” e + π, e − π”と 全く同じ背理法証明で得られるｗ

富岳百景
重要なものごとは、いろんな角度から見るのが良い

場合分けで考えてみよう
記号を用意しよう
実数の集合R、実数の代数的集合D、実数の超越数の集合Tr(=transcendental)

さて
命題：二つの異なる超越数 a≠b、a,b ∈Tr で、その和か差 少なくとも一方は超越数である
　つまり a+b ∈Tr or a-b ∈Tr
証明：
場合分けをしよう
我々は、カントールの理論を知っている
代数的集合Dは高々可算であり、ゆえに 実数の超越数の集合Trは非可算
ケース1： a+b と a-b とも超越数の場合、これが非可算ある
ケース2： a+b のみが 超越数の場合、a+b＝d、 d∈Dと書けて b=d-a となる場合、これが可算ある
ケース3： a-b のみが 超越数の場合、a-b＝d、 d∈Dと書けて b=a-d となる場合、これが可算ある
ケース4： a+b と a-b とも代数的数の場合、a+b=d1 と a-b=d2、 d1,d2∈D と書けるが 2a=d1+d2∈D、2b=d1-d2∈D ∵代数的集合Dは体を成し 和と差で閉じている。矛盾で ゆえに空（Φ）
QED
大げさに ”背理法で御座い”というほどのこともない

同様に
命題：√2は無理数
証明：
記号を追加しておく、有理数Q、無理数の集合Mr
場合分けをしよう
我々は、現代数学の知識がある
実数Rは非可算、有理数Qは可算、無理数の集合Mrは非可算
√2は、方程式 x^2＝2 の正の実数解
つまり 式 y=x^2 で考えると 中間値定理で y=2に 実数解が二つあることが分かり √2は正の解と知っている
場合分け２つ
ケース1： √2は無理数である？
　（無理数Mrは非可算、有理数Qは可算 を思い出して 先に進もう）
ケース2： √2は有理数である？ √2＝a/b , aとbは整数 と書ける あとはご存知 素因数分解の一意性違背で ケース2は 否定される
まとめると ケース1の √2は無理数であるが残る

さて、時代が遡って いま古代ギリシャとしよう
知られている数は、有理数Qのみ（それも 体だの環だのという代数学的理解は皆無）
ピタゴラスの定理から 1辺1の直角二等辺三角形の斜辺の長さxが x^2=1^2+1^2=1+1=2
ユークリッドは考えた xは当然数だ（当時の数は有理数のみ）
だが、x=a/b とおくと 良く知られているように 矛盾！
「たいへんだぁ！」とパニックにｗ

21世紀の我々からは、そんなの当たり前
有理数Qは可算、無理数の集合Mrは非可算なのだからね

「ユークリッドの背理法証明はおかしい」と上から目線の 背理法被害者の会>>1
論点ズレていると思うのは 私だけ？ｗ （＾＾

だいじょぶだぁ

>重要なものごとは、いろんな角度から見るのが良い
簡単なトートロジーの証明もできない無学者がどんな角度から見ても無駄

だーじーだぁ

>>230
で、いつになったらコーシー実数がコーシー完備であることの証明のどこで選択公理が使われてるか答えるの？
答えられないなら間違いを認めたら？　重度NPD患者だから認めることができない？

じゃあ病院行こうな
コピペしてても拗らすだけって気づこうな

２５℃
くもり

>>237
>式 y=x^2 で考えると 中間値定理で y=2に 実数解が二つあることが分かり √2は正の解
中間値の定理、f(x)=x^2 が適当な定義域の各点で連続関数であることの証明が抜け落ちている。

>現代数学の知識がある
そんなごまかしが通用するなら「√2は無理数であるという知識がある」が通用しない道理が無い。

>中高一貫生向け サマースクールのテキストを書いていると思え
なおさらダメじゃん
数学とはどんな仮定からどんな結論を帰結できるかを探る学問
この仮定から結論へのロジックがめちゃくちゃな君が子供向けテキスト書いちゃダメだろ

√2が実数であることは公理から直接言える。
あることAを言うのにAより難しいB,Cを持ち出すのがおかしいし、証明無しで持ち出すのはさらにおかしい。
数学とはどんな学問かを根本から分かってない。

>>240-241
>数学とはどんな仮定からどんな結論を帰結できるかを探る学問

小平先生、怠け数学者の記で 別の考えを書かれていた（下記）
なお、上記はヒルベルトの数学観に近いと思うが 小平先生はそれに批判的
(師匠のワイルが これでヒルベルトと対立したのは有名)
小平先生も だれかと同じで ”寄り道の多い”数学者だったが・・ （＾＾

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怠け数学者の記 (岩波現代文庫 社会 19)
小平 邦彦 (著), 上野 健爾 (解説)
発売日 ‏ : ‎ 2000/8/17
レビュー
ksan
星5つ中4つ回想録と呼べる本。
2025年2月28日
若い頃に、夏目漱石の「夢十夜」を読んで、感銘を受けた内容が出てきている。放送大学で、前原先生との座談会でも出てきた。運慶が、丸太にノミを入れて仏像を彫りだしていく話で、見物客が丸太の中に既に仏像が入っており、土の中から石を掘り出していくようなものだと解説している。物が下に落ちるのは、古代から知られていたが、ニュートンがそれに初めて万有引力という解説をつけた。自然界に潜んでいることを、人間が発見していく。こういうことを、小平先生もやってきたと。自分がやらなければ、誰かがやっているだろうと。謙虚な人柄を感じた。

https://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~yoshihara/hisao/koumoto.html
　知的エッセイを味わう楽しみ
新潟大学理学部 吉 原 久 夫　
私の専門にゆかりの深い小平先生の『怠け数学者の記』を軸にして展開された作品を中心としながら、いささか感慨を述べてみたい。

理念的な内容に関する見解もたくさんある。その一例として、『小平邦彦‘怠け数学者の記’を読む』が書かれるもとになったと思われる箇所をあげておきたい。つぎの文章自体は小平氏のものであるが、恐らくこれは著者が内々に感じていたことを小平氏が明確に述べたもので、著者と小平氏の共鳴の原点を示す一節であり、ここで特筆しておくに価すると思う。

「物質的自然界が数学の対象よりはっきりした実在だという一般的な考え方を、私は疑っている。・・・さらに最近話題になっているブラック・ホールは、もともとアインシュタインの一般相対論の方程式の数学的な解にあらわれるだけで、まさか本当のこととは思われなかった。それがどうも実在するらしいというのだから、数学が単に物理的事象を記述する言葉だとはとうてい思われない。・・・私の感じでは、むしろ物理現象の背後に数学的現象が実在していて、あらゆる自然現象はこの数学的実在の上に乗って存在しているのではないか」

第二部の冒頭では、これまで数学者が世間に知らせることを怠っていた、数学に対する世の誤解がじつに明瞭に指摘されている。

「一般に，数学を専門にしない人が数学を学ぶ意義は，論理的なものの考え方を身につけることだといわれている。しかし本当にそうだろうか。・・・数学は論理の皮をかぶっているので，かなりの知識人でも数学の才能を論理的思考力とまちがえている人があるが，本当はこの感受性（数学的センス）に対応して成立している特殊な学問なのである」

実際、私自身３０年近く数学の研究をしているが，論理には一向に強くなっていない。まわりの数学者をみてもどうやらそのようである。論理でいえば実験科学者のほうがはるかに強いように思う。

まーたオチコボレが知ったかか

背理法の議論ひとつのためにやたら色々な方向に体力使ってるね

数学は体力だ

無駄遣いしないのも技術のうち

>>240
setaの劣化コピーなんて増やされても迷惑千万。

>>243-247
うん
1）いまどき 数学の文書で参考文献の無い文書は、ありえない
2）参考文献添付は、「それ あなたの感想でしょ」を封じる効果あり（同意見の人がいるよと）
3）”迷惑千万”が、相手からの声なら コピー効果あり！
4）なお、リンクだけなく 要点のコピーで 自分がタイプする手間が省ける（＾＾

>>248
貞子しか定かに映ってないガビガビ裏ビデオの多重レンダリング劣化コピーの果てに変な奴の呪いトロイ

トロイア文明

>>245
>数学は体力だ

木村 達雄先生ね
旧ガロアすれで 何度も引用させてもらった （＾＾

https://program.math.tsukuba.ac.jp/emeritus/kimurata/
数学は体力だ！
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名誉教授アーカイブス
数学は体力だ！
木村 達雄 数学系教授(当時)
初出: 筑波フォーラム 45, 104-107, 1996年11月 （筑波フォーラム編集室了承済）

2. 数学は体力だ（ヴェイユの言葉）
一般に世間では数学者というと，青白い顔をして，やせ細った弱々しい体で，頭脳ばかりを使っているというイメージをもつ人が多いようです。特に日本ではその傾向があるようですが，私が外国で会った一流の数学者たちは，みな相当な体力の持ち主ばかりでした。

かつてアメリカのプリンストン高等学術研究所に滞在中，今は亡き久賀道郎先生は，私に「数学は体力だよ」と言って次のような話をして下さいました。

1955年の秋に日光で代数的整数論の国際シンポジウムが開かれたとき，久賀先生たちは来日したヴェイユ（シモーヌ・ヴェイユの兄で日本の数学に多大な影響を与えた大数学者，当時50才）やセ一ル（26才で小平邦彦先生と共にフィールズ賞を受賞。当時30才位）を中禅寺湖へ案内した。ところがヴェイユは裸になって湖に飛び込み，泳ぎ出した。セールもそのあとに続いた。負けてなるかと何人かの日本人数学者たちも続いて飛び込んたが，余りの水の冷たさに驚いてすぐ上がってしまった。やがて湖から上がってきたヴェイユとセールは今度は走り出した。日本人数学者たちは「陸の上なら我々も出来る」とばかり，二人のあとに続いて走り出したが，すぐ息切れして走れなくなってしまった。そのうちヴェイユが戻ってきて休んでいる久賀先生を見て二ヤッと笑って「数学は体力だ」と，言ったというのです。

https://program.math.tsukuba.ac.jp/wp-content/uploads/sites/28/2025/02/math.gif

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%A8%E6%9D%91%E9%81%94%E9%9B%84
木村 達雄（きむら たつお、1947年 - ）は、日本の数学者、武道家。筑波大学名誉教授。理学博士。大東流合気武術十元。東京都出身。
略歴
私立武蔵高校卒業[1]。

東京大学理学部数学科卒業。

同大学院修士課程修了。

名古屋大学助手、プリンストン高等学術研究所研究員、グルノーブル大学（フランス）、マンハイム大学（ドイツ）、ジョンズ・ホプキンス大学（アメリカ）各客員助教授などを歴任。

佐藤幹夫が創始した概均質ベクトル空間の理論、とくに既約概均質ベクトル空間の分類など、主として分類理論を研究した。

>>249
何を指摘されてるかすら理解できないオチコボレ憐れ

本当は分かってるよね
だからそれを掻き消したい

背理法の話だけに興味があるなら、本筋以外のことに体力を使う意欲は湧かないはずだから

しかし、だとしたら今の行動に使った分の体力を、本筋の何かに向けた方が楽なんじゃないの
本筋に向けないにしても、息抜きに体力を割いた方がいいんじゃない？

背理法ではない個人的かもしれない何かから目を逸らしている一方で、目を逸らすことに対しても緊張している

>>253-257
どうもです
みなさん、ご苦労さま

>>41を書いたのは私だ
”>無理数の定義が「実数xは有理数」の否定であって、命題Pの否定¬Pの導入は「Pを仮定したら矛盾が導びかれること」なのだから、この前提のもと、無理数であることを示す方法は「有理数であることを仮定して矛盾を導く」以外には無い
それだけだと、下記の 理科大教授　安部直人氏を論破したことにならない”

と書いた
意図は、理科大教授　安部直人氏の徹底論破だ
そのために、私の主張の根拠文献を徹底してつけてきた
（「それ個人の感想ですね」と言われないように （＾＾）
いま、250を少しすぎた辺りだから あと250 つまり500までには 徹底論破完了だろうな

そこで、みなさんへのお願いは
旗幟を鮮明にしてくれってこと
要するに
a)背理法被害者の会を擁護するのか？
b)背理法被害者の会を論破するのか？

（a)か b)か？ まあ、どちらでもないというなら その旨を明らかにせよ）

さて
スレタイ「背理法は不要なのか」へのチャレンジ問題を出す（必要の根拠）

それは、>>230の
命題A：『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
その系a：『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
証明は、>>230に書いたが
背理法で、和a+b 差a-bの両方が 代数的数だとする
a、b両方とも 代数的数になり矛盾（∵代数的数の集合が体だから）

この証明は、あたかも√2の背理法同様で、
√2が有理数だとして矛盾を導き √2が無理数だという
『二つの超越数 a、b (a≠b)の 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
において 背理法を使わない 証明を出せ！

このスレで三日晒して、背理法を使わない 証明が出なければ
だれか 背理法被害者の会の人に連絡してあげてね
（もし 万一背理法を使わない 証明が出てくれば 別問題を考えるよ）

それで、ずっ〜と背理法を使わない 証明が
背理法被害者の会の人たちから 出せなければ・・
「ロンパ」ってことだな
まあ1月間だけ待つか・・、
それ以上待っても無駄だろうからね （＾＾