>>206 &>>211 補足
>>『 e + π, e − π のうち少なくとも一方は超越数である』
>>の背理法証明（『これは代数的数全体が体をなすことから分かる』とあるので すぐ分るが）
>いまふと思いついたが
>e、πを 二つの超越数 a、bに 簡単に拡張できる・・ 背理法で
>つまり
>『二つの超越数 a、bの 和a+b 差a-b の少なくとも一方は超越数である』
>が、上記の” e + π, e − π”と 全く同じ背理法証明で得られるｗ

富岳百景
重要なものごとは、いろんな角度から見るのが良い

場合分けで考えてみよう
記号を用意しよう
実数の集合R、実数の代数的集合D、実数の超越数の集合Tr(=transcendental)

さて
命題：二つの異なる超越数 a≠b、a,b ∈Tr で、その和か差 少なくとも一方は超越数である
　つまり a+b ∈Tr or a-b ∈Tr
証明：
場合分けをしよう
我々は、カントールの理論を知っている
代数的集合Dは高々可算であり、ゆえに 実数の超越数の集合Trは非可算
ケース1： a+b と a-b とも超越数の場合、これが非可算ある
ケース2： a+b のみが 超越数の場合、a+b＝d、 d∈Dと書けて b=d-a となる場合、これが可算ある
ケース3： a-b のみが 超越数の場合、a-b＝d、 d∈Dと書けて b=a-d となる場合、これが可算ある
ケース4： a+b と a-b とも代数的数の場合、a+b=d1 と a-b=d2、 d1,d2∈D と書けるが 2a=d1+d2∈D、2b=d1-d2∈D ∵代数的集合Dは体を成し 和と差で閉じている。矛盾で ゆえに空（Φ）
QED
大げさに ”背理法で御座い”というほどのこともない

同様に
命題：√2は無理数
証明：
記号を追加しておく、有理数Q、無理数の集合Mr
場合分けをしよう
我々は、現代数学の知識がある
実数Rは非可算、有理数Qは可算、無理数の集合Mrは非可算
√2は、方程式 x^2＝2 の正の実数解
つまり 式 y=x^2 で考えると 中間値定理で y=2に 実数解が二つあることが分かり √2は正の解と知っている
場合分け２つ
ケース1： √2は無理数である？
　（無理数Mrは非可算、有理数Qは可算 を思い出して 先に進もう）
ケース2： √2は有理数である？ √2＝a/b , aとbは整数 と書ける あとはご存知 素因数分解の一意性違背で ケース2は 否定される
まとめると ケース1の √2は無理数であるが残る

さて、時代が遡って いま古代ギリシャとしよう
知られている数は、有理数Qのみ（それも 体だの環だのという代数学的理解は皆無）
ピタゴラスの定理から 1辺1の直角二等辺三角形の斜辺の長さxが x^2=1^2+1^2=1+1=2
ユークリッドは考えた xは当然数だ（当時の数は有理数のみ）
だが、x=a/b とおくと 良く知られているように 矛盾！
「たいへんだぁ！」とパニックにｗ

21世紀の我々からは、そんなの当たり前
有理数Qは可算、無理数の集合Mrは非可算なのだからね

「ユークリッドの背理法証明はおかしい」と上から目線の 背理法被害者の会>>1
論点ズレていると思うのは 私だけ？ｗ （＾＾