>>337
>素因数分解可能性およびその一意性の証明には
>ガッツリ背理法使ってるはず

下記ですな
算術の基本定理 または素因数分解の一意性

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
算術の基本定理
または素因数分解の一意性（そいんすうぶんかいのいちいせい、英: unique factorization theorem）は、「任意の正整数は、1 を除いて、一つまたはそれ以上の素数の積として（因子の順番の違いを除いて）ただ一通りに表すことができる」[注 2]という初等整数論（算術）における定理である[注 3]。
証明
完全な形での証明はガウスの『算術研究』におけるものが最初であると考えられている[注 1]。それは現代的な言葉で書けば以下のようになる。
存在性の証明
定理の反例となる「素数の積で表せないような自然数 ≧2 」の存在を仮定すると、自然数の整礎性により、そのような数には最小の数（最小の反例）があるはずである。定義より素数は既に素数の積に表されているので、最小の反例 n は合成数であり、適当な自然数 a ≠ 1, b ≠ 1 をとれば n = ab とできるが、a < n かつ b < n ゆえ、n の最小性から右辺の各因子 a, b は素数の積として表され、n も素数の積で表せることとなり、矛盾する

一意性
素数 p が自然数の積 ab を割り切るならば、p は a または b の少なくとも一方を割り切ることに注意しよう[注 5]。この補題はユークリッドの補題と呼ばれる。
素因数分解の一意性の証明
少なくとも 2 通りの「素数の積」として表すことができる自然数 ≧2 が存在すると仮定し、そのような自然数のうち最小のもの n が
n = p1p2 ... pr = q1q2 ... qs
と異なる「素数の積」に表されるとする。
略
異なる「素数の積」としての表示であるとすると n の最小性に反する（並べ替えて一致するならば、n に 2 通りの表示を考えたことに反する）[4]。