【補題】命題論理において論理式 (¬P→⊥)→P はトートロジー。
【証明】
P ¬P ⊥ ¬P→⊥ (¬P→⊥)→P
0 1 0 0 1
1 0 0 1 1

【定理（背理法）】一階述語論理において任意の論理式φに対して ¬φ→⊥ |- φ。
【証明】
補題より論理式 (¬φ→⊥)⇒φ は論理公理。
1.¬φ→⊥・・・仮定。
2.(¬φ→⊥)⇒φ・・・論理公理。
3.φ・・・1,2とモーダスポネンス。

【系】一階述語論理において任意の論理式 A1,・・・,An,φ に対して A1,・・・,An,¬φ |- ⊥ ならば A1,・・・,An |- φ。
【証明】
A1,・・・,An,¬φ |- ⊥ を仮定。・・・(1)
(1)と条件付き証明より A1,・・・,An |- ¬φ→⊥。・・・(2)
定理（背理法）より ¬φ→⊥ |- φ。・・・(3)
(2),(3)と推移律より A1,・・・,An |- φ。