多変数解析函数論6

多変数関数論（多変数複素解析）について語り合いましょう！


■前スレ
多変数複素解析5
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1752363558/

多変数複素関数論序説
安達 謙三 (著)

大沢健夫『多変数複素解析』と相互に補完する個性的で有用なテキスト
進む国氏推奨

複素関数論 POD版 (数学ライブラリー)
梶原 壤二 (著)

こちらもお勧めだって

ハルトークスの定理と非斉次コーシーリーマン方程式、レヴィ形式ならスタイン・シャカルチ�Wの載っている

>>89
新しいプラットフォームを発見・構築して2大障害を解決したい

Function Theory of Several Complex Variables (Chelsea Publications)
Steven G. Krantz (著)

2024年に英訳された野口本がよく読まれているらしい

丸善には相原・野口があった

「関数論外伝」も

「大数学者の数学・岡潔」を
何度も読んだという人がいた

名著 多変数関数論の建設ですね
ちょうど購入して読み始めるところです
導入から聖典のような雰囲気の名文が連なります
グラウエルト→大澤先生の系譜だと2大問題も少し変わるのでしょうか？

野口本の英訳の序文を読んだ人に
上空移行の意味を尋ねられ
岡の第一論文の序文に書かれていると答えて
春宵十話の一節を紹介したが
英訳するときは
lifting principleよりも
ascent principleが良いのではと
言っておいた。

ascentionだと強すぎ

ascension

西野本の英訳はLevenberg-Yamaguchi

東大、60代教授を懲戒処分　サイトに中国から閲覧しにくい細工
https://mainichi.jp/articles/20260804/k00/00m/040/209000c

中国ではgeminiは使えない

西野本はなぜ東大出版会から出たのか？
その辺りの事情知ってる人居る？

岡潔論文集が岩波から出た事情は
誰でも納得できる

>>112
キリスト昇天(Ascension of Jesus)でも使われる単語だから、逆に意味が伝わらなくなるな

ascent principleでよい

２変数と３変数以上は違う世界

Go to heaven

天上移行ではない

Assumption of Mary

メアリは柳の飼い猫

柳時熏

The Assumption of Mary is one of the four Marian dogmas of the Catholic Church.
It was formally defined by Pope Pius XII on 1 November 1950 in the apostolic constitution
Munificentissimus Deus, declaring that Mary, having completed her earthly life,
was assumed body and soul into heavenly glory.

聖母の被昇天（せいぼのひしょうてん、羅: Assumptio Mariae）とはカトリック教会の用語で、
聖母マリアがその人生の終わりに、
肉体と霊魂を伴って天国にあげられたという信仰、
あるいはその出来事を記念する祝日（8月15日）のこと。
1950年、当時のローマ教皇ピオ12世のエクス・カテドラ宣言によって
正式に教義とされた。

キリストが自らの力で能動的に「昇天」（伊: ascensione、アッシェンシオーネ）したのに対し、聖母マリアは聖霊の力で受動的に昇天したので、「被昇天」（伊: assunzione、アッスンツィオーネ）と呼称する。　

暑くて昇天しそう。
アッツインスヨネ。

今日はくもりなのでそれほどでもない

https://www.youtube.com/watch?v=YGfseX5WdVE

朝刊は長崎と熊本の話

熱中症は怖い

ラグビーの選手の訃報はショックだった。

熊本地震から今日で２週間

コロンビアでM7.1

M7.4になっていた

コロンビア西部
死者１１１人

>>16
門前の小僧習わぬ経を読む、はそういうこと

そのための道場が必要

多変数関数論とは宗教である

数学と宗教は
岡潔も分けて考えていた

一変数と多変数とのギャップ、多変数の世界に慣れる、そこまで行ってようやく研究の門をくぐれる
精進せよ

仏教における修行の階梯（段階）は、悟りに至るまでのプロセスを示したものです。
五道の階梯
悟りに至る5つの基本的な修行段階です。
・資糧道：悟りを開くための準備として、善行や教えの学習（資糧）を積む段階。
・加行道：得た知識をもとに、本格的な瞑想や実践を深める段階。
・見道：初めて真理（空や四諦）を直接見抜き、聖者の仲間入りをする段階。
・修道（：見出した真理を何度も繰り返し、心に染み込ませて煩悩を薄めていく段階。
・無学道：すべての煩悩が断たれ、学ぶべきことがなくなった「仏陀（悟りの完成）」の境地。

どの階梯まで修行を積むと岡先生を超えられるだろう、無学道か

岡先生は発光して空を飛べるらしい

空海か

崑崙に住んでる仙人かもしれない

岡潔
https://youtu.be/84cPr7qFysY?si=nGqzOBYLJXNGpCI9

昆明ならその南を
さっき東に向けて飛んでいた

7月9日に大沢先生の等角不変量 幾何学的関数論の話題をゲット
新品を安く譲っていただいた
9月は杉本町が熱い

混迷する世界

3190円

Kungminと読む
Kunmingは別のところ

大邸、北京、上海
長春
そして
昆明

Wuppertalでも

Rutgersには行かなかった

しばらくフランスの数学者に会っていない

メールはした

分岐領域の理解が進まないのでは意味がない

理解が進んでいなかったのは
５０年前までの話

再生核の変分変分へのLoewer的アプローチ　大沢
www.cajpn.org/conf09/ohsawa.pdf

Loewer ---> Loewner

Berndtsson-Lempertによる吹田予想の別証のアイディアが
すでにここに書かれていた。

>>161
何がどこまで進んでいるのか
今のところ何が障壁になっているか
このあたりが明確になればいいのだが
まとまった報告書などあるだろうか

Siuがここ数年同じサーベイを講演し続けている

今回のICMでは複素解析の話は一つだけ

なるほどSiu教授の業績を調べてみれば
分岐リーマン領域に関してかなりの進展だ
しかしこの大きな進捗が話題にならない
のはなぜなのか、みんな興味ないのか

メモ:関数論の妙所 大沢健夫 現代数学 2026を読んで
rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1787280575/

雑談相手がほしいそうだ

多変数の複素力学系は話題になっているのか

>>168
終わった分野なのかも？

岡の次の世代の数学者たちは
「多変数関数論は岡が重要な問題を全部解いてしまって
終わった分野なのでやめておけ」と言われて
数論、代数幾何、トポロジーなどに進んだ

Hermut Kneserの息子の
Martin Kneserがその一例

訂正
Hermut-->Hellmuth

終わった分野の追悼研究集会をしよう

実はまだ全然終わっていないのだ
Siu教授の結果は始まりに過ぎない

やったことがないとそうは思えない

Siuといえば、K3はケーラー

言いぱなしが歓迎されるスレ

そういえば修論のネタを貰った人はどうなったのだろう、もう一年以上経つが
境界がヘルダー連続の場合に拡張するだったか

regularityを上げるにも
取り掛かるには
モチベーションが必要

普通修論のネタは頑張って計算すればできる問題をだすんじゃないの

境界がヘルダー連続の場合に拡張するの場合難しすぎて何も成果が出ないと思うけど
自分の弟子ではないのでそこまで気を使う必要はないけど

解析だからLipschitzを少しはみ出すくらいでも可

俺は複素解析と実解析は別世界という感覚なのだが

複素解析には解析の部分と幾何の部分と
代数の部分がある。
実解析とは地続き。
作用素の交換子積のコンパクト性に関する結果は
複素解析でも高く評価されうる。

ガストンジュリア　岡潔の師匠
https://youtu.be/iF5vvOAqUFQ?si=J9BmJLk-Kb6dLJ2H

http://www.kucoin.com/ja/news/flash/ai-breaks-78-year-old-math-conjecture-on-s-complex-structure

これってどうなの？

78年間解決されなかった世界的な難題が、たった3日で解かれてしまった！

1948年から今日に至るまで、六次元球面上に複素構造が存在するかどうかという問題について、今や答えは「存在する」である。

この回答を提出したのは、ハーバード大学の数学者レヴェント・アルポゲとクロードである。

>>183
リプシッツ連続な場合ならどうかな？

解決済みだと思う

>>190
問題を出した「名誉教授」に聞いて

だから、解決済みだと思う

参考文献を教えてください

288 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/11/14(木) 15:41:39.53 ID:VR2QoXGB [1/2]
P²内にリプシッツ連続な境界を持つ擬凸領域Dがあるとき
P²を超平面として含むP³内のリプシッツ連続な境界を持つ擬凸領域Ωで
Ω⋂P²＝Dを満たすものがあるか。（修論程度）

289 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/11/14(木) 15:53:16.75 ID:VR2QoXGB [2/2]
Dは上と同様とするとき
P³の擬凸な真部分開集合で
Dの閉包を含むものがあるか。(修論よりちょっと上)

結論から言うと、\(\mathbb{P}^{2}\)（\(\mathbb{C}^{2}\)）内のリプシッツ連続な境界を持つ任意の擬凸領域 \(D\) に対し、それを超平面として含む \(\mathbb{P}^{3}\)（\(\mathbb{C}^{3}\)）内のリプシッツ連続な境界を持つ擬凸領域 \(\Omega \) で \(\Omega \cap \mathbb{P}^2 = D\) を満たすものは常に存在します。
☆構成の概要
・リプシッツ境界の定義関数の拡張:\(D \subset \mathbb{C}^2\) の境界 \(\partial D\) がリプシッツ連続であるとは、局所的にリプシッツ連続な関数によって定義されることです。この \(D\) の定義関数（signed distance function など）を \(\rho_D(z_1, z_2)\) とすると、\(\rho _{D}\) はリプシッツ連続です。
・\(\mathbb{C}^{3}\) への持ち上げ:第三の複素変数 \(z_3 \in \mathbb{C}\) を導入し、\(\Omega = \{(z_1, z_2, z_3) \in \mathbb{C}^3 \mid \rho_D(z_1, z_2) - \vert{}z_3\vert{}^2 < 0\}\)（あるいは単に \(z_{3}\) の実部・虚部に関する適当なリプシッツ関数を組み合わせたもの）として \(\Omega \) を定義します。
・擬凸性と境界の正則性:このように定義された \(\Omega \) は、プルリサブハーモニック（plurisubharmonic）な関数や凸性・擬凸性の性質を保ちつつ \(D\) を断面として持ちます。また、境界 \(\partial \Omega\) のリプシッツ性は元の \(\rho _{D}\) のリプシッツ性と \(\vert{}z_3\vert{}\) の滑らかさから従います。

プルリサブハーモニック性の確認
複素射影空間 \(\mathbb{P}^{n}\) 内の擬凸領域の議論は、通常、アフィン空間 \(\mathbb{C}^{n}\) 上での局所的な議論（局所擬凸性）に帰着されます。ここでは、\(\mathbb{C}_{z_{1},z_{2}}^{2}\) 内の領域 D の定義関数から、\(\mathbb{C}_{z_{1},z_{2},z_{3}}^{3}\) 内の領域 Ω の定義関数を構成し、そのプルリサブハーモニック（plurisubharmonic, 以下 psh）性を確認する詳細な手順を解説します。
1. 定義関数の構成\(D \subset \mathbb{C}^2\) は擬凸領域（強擬凸とは限らない）であるため、その境界 ∂ D がリプシッツ連続であれば、D 上で次の条件を満たすリプシッツ連続な連続不連続の境界を持つ psh 連続定義関数 \(\rho _{D}\) が存在します。\(D = \{ z \in \mathbb{C}^2 \mid \rho_D(z) < 0 \}\)\(\partial D = \{ z \in \mathbb{C}^2 \mid \rho_D(z) = 0 \}\)\(\rho _{D}\) は D の近傍で psh（擬凸性の定義より、連続な psh 枯渇関数を境界付近で調整可能）
この \(\rho_D(z_1, z_2)\) を用いて、\(\mathbb{C}^{3}\) 内の領域 Ω の定義関数 \(\rho_\Omega(z_1, z_2, z_3)\) を以下のように定めます。\(\rho _{\Omega }(z_{1},z_{2},z_{3}):=\rho _{D}(z_{1},z_{2})+|{}z_{3}|{}^{2}\)このとき、\(\Omega = \{ (z_1, z_2, z_3) \in \mathbb{C}^3 \mid \rho_\Omega(z_1, z_2, z_3) < 0 \}\) とします。z₃ = 0（すなわち \(\mathbb{P}^{2}\) に相当する超平面）上では \(\rho_\Omega(z_1, z_2, 0) = \rho_D(z_1, z_2)\) となり、\(\Omega \cap \{z_3=0\} = D\) を満たします。また、|z₃|² は滑らかなリプシッツ関数（有界領域内）であるため、\(\rho _{\Omega }\) もリプシッツ連続性を保ちます。

2. プルリサブハーモニック（psh）性の確認
\(\rho _{\Omega }\) が Ω の近傍で psh であることを確認します。関数が psh であるかは、任意の複素直線に制限したときに複素1変数で劣調和（subharmonic）になるかで判定します。
�@ リプシッツ連続（一般化されたラプラシアン）でのアプローチ\(\rho _{D}\) はリプシッツ連続（C² 級とは限らない）であるため、通常のレヴィ形式（Hessian）の行列が計算できません。しかし、psh 性は分布（distribution）の意味、あるいは粘性解（viscosity solution）の意味で複素ヘッセ行列が半正定値であることと同値です。任意のテスト関数（あるいは複素ベクトル \(v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb{C}^3\)）に対して、分布の意味でのレヴィ形式を考えると、\(i\partial \={\partial }\rho _{\Omega }=i\partial \={\partial }\rho _{D}(z_{1},z_{2})+i\partial \={\partial }|{}z_{3}|{}^{2}\)となります。
第1項 \(i \partial \bar{\partial} \rho_D\):\(\rho _{D}\) は (z₁, z₂) に関して psh であるため、分布の意味で \(i \partial \bar{\partial} \rho_D \ge 0\) （半正定値の測度）です。これを \(\mathbb{C}^{3}\) に引き戻した（pull-back）行列は、z₃ 方向の成分がすべて 0 の半正定値行列になります。
第2項 i ∂ ∂̄ |z₃|²:|z₃|² は (z₁, z₂) に依存せず、z₃ に関して厳密に psh です（レヴィ形式は \(i dz_3 \wedge d\bar{z}_3 > 0\)）。
これらを足し合わせた全体のレヴィ形式は、半正定値行列の和となるため、分布の意味で半正定値（≥ 0）になります。

�A 複素直線への制限による確認（定義通りの確認）任意の点 P(z₁, z₂, z₃) ∈ Ω と、任意の方向ベクトル \(v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb{C}^3 \setminus \{0\}\) を取ります。複素1変数 \(\zeta \in \mathbb{C}\) （|ζ| < ε）に対する関数\(h(\zeta ):=\rho _{\Omega }(P+\zeta v)\)が、ζ に関して通常の劣調和関数であることを示します。\(h(\zeta )=\rho _{D}(z_{1}+\zeta v_{1},z_{2}+\zeta v_{2})+|{}z_{3}+\zeta v_{3}|{}^{2}\)
右辺第1項: \(\rho _{D}\) は psh なので、複素直線上への制限 \(\zeta \mapsto \rho_D(z_1 + \zeta v_1, z_2 + \zeta v_2)\) は連続な劣調和関数です。
右辺第2項: \(\zeta \mapsto \vert{}z_3 + \zeta v_3\vert{}^2 = \vert{}z_3\vert{}^2 + 2\text{Re}(\bar{z}_3 \zeta v_3) + \vert{}\zeta\vert{}^2 \vert{}v_3\vert{}^2\) は、ζ について \(C^{\infty }\) 級の滑らかな関数であり、そのラプラシアンは \(\Delta_\zeta \vert{}z_3 + \zeta v_3\vert{}^2 = 4\vert{}v_3\vert{}^2 \ge 0\) です。したがって、これも劣調和関数です。
劣調和関数の和は劣調和関数であるため、h(ζ) は劣調和関数となります。これが任意の P, v で成り立つため、\(\rho _{\Omega }\) は Ω の近傍で psh です。

よろしくお願いします。

Acknowledgement
問題を提示していただいだ2chの「名誉教授」と日頃指導していただいている指導教官に感謝いたします