【トポロジー】位相幾何学 11 　【ホモトピー　ホモロジー】　

位相幾何のスレです
位相幾何について議論しましょう
初学者のまじめな質問も歓迎します
位相微分幾何も含む

>>1
乙

大学の幾何は入るまでに蓄積が必要
線形代数，微分積分，集合・位相，代数系をやって
多様体，基本群，ホモロジーの講義が３年生になってしまう
ほんとうは新入生からできるのにな

>>3
長野正「曲面の数学」ぐらいのことをシレッと旧教養課程でやってたの？。

新入生が読む位相幾何のガイダンスとして
山本修身『よくわかるトポロジー』森北出版がいい
ホモトビーとホモロジーの両方あってわかりやすい
基本群と１次ホモロジー群の関係も書いてある

やわらかい穴

やらないか

結構ですw

ホモロジーは瀬山士郎『トポロジー　やわらかい幾何学』が
いまも定番入門書

トポロジーはハッチャーとボットトゥーで

>>9
あんな本より田村一郎の方が定番入門書だ

トポロジーは計算するという目的意識が大切

>>12
計算論から見たホモトピー型論理とかそっち？。

>>13
もっとカジュアルに、「ホモロジーを計算したい」という目的意識を持つと論理展開を追いやすいということ
というのも、トポロジーの教科書は大抵、初学者から見ると抽象的すぎてわかりにくい

本当は初等幾何のように適当な例を作って遊べるのに、そのことが初学者にはまず伝わらない気がする
勿体無い

ホモロジーの入門書は
計算で身につくトポロジー　阿原 一志 (著)
がおすすめ
第一部　グラフのホモロジー　完全列　レトラクトのホモロジー不変性
第２部　曲面のホモロジー　曲面の分類
新入生から読める

MaclaneのHomologyも新入生から読める

>>16
商空間のホモロジーは説明されているか？

新入生が読める基本群と普遍空間の本として
久賀道郎『ガロアの夢―群論と微分方程式』日本評論社

位相空間は棄てられる運命にあるやもしれん
https://arxiv.org/abs/2605.03658
にて解説（定義）されている凝縮集合が
位相空間に取って代われば
代数幾何の手法を自由自在に導入できるらしい
しかも既存の位相空間は対応する凝縮集合によって
理解することができるとのこと

凝縮数学なんて一部の目的にしか役に立たないから
位相空間にとって代わったりはしない
創始者の一人だってそう認めている
https://mathoverflow.net/questions/420355/algebraizing-topology-and-analysis-via-condensed-mathematics
特に現象そのものが汚い解析学を綺麗に扱おうなんて
人間の傲慢であってそもそも無理

現象そのものが汚い解析学www
代数解析学なんてwww

凝縮数学だけを見ているとありがたみが分からない
ピクノティックや凝縮数学を超えたところに真実がある
がしかし、人類のレベルはまだそこまで到達していない

それグロたんの吹いた
モチーフに似たかほり

どうやら位相の世界には階層があるようだ
通常の数学があってその上に凝縮数学がある
さらに凝縮数学の上の階層がピクノティック
それで終わりということでなくまた上がある
モチーフのアイディアとは少し違ってるかも
いずれにしてもショルツは到達できていない

>>25
偉そうに

凝縮数学スゴイで止まってる場合ではない
もっともっとさらに先を見ないといけない
そうすることで数学とは何かが見えてくる
天才ショルツ果たしてそこへ到達できるか

スゴイも何もマルで分からない
どうスゴイの？

数学は1人の力で発展するものではない
ショルツ以外の数学者が発展させてもショルツの限界とは言われない

ショルツが構築したパーフェクトイド空間は
p-進数の極限からなる通常を超えた世界なので
もはや古典的な実数の世界とは異なっているため
古いトポロジーを諦めて別のものを探したのだ

松本幸夫『トポロジー入門』は名著
『多様体の基礎』に匹敵する
残念なのは岩波書店から出したこと

基本群、ホモロジーと学んだら
次はファイバー束

凝縮数学とかピクノティックとかという対象は別に良いとして、
ここで繰り返されている書き込みは、何かそれと無関係なことを主張しようとしてるんじゃないか？
やれ「天才」だの「数学の何たるか」だの「人類のレベル」だのと
数学を手段としたもう一方で、本当は権威のダイナミズムに陶酔したいのではないかね
個人的には、論理の体裁に欲望を混ぜ込むようなひねた文章は嫌いだ

もうちょっと地に足のついたことに絞って言葉と頭を取捨選択すればいいのに。

ある時期までは代数的位相幾何学が数学の最先端だったんだよ

遠アーベル幾何は通常曲線に関する理論だけども
高次元の図形を復元するには基本群だけでは不十分
こういう高次元遠アーベル幾何の研究はないのか

>>36
たしか
遠アーベルの定義自体が
基本群の誘導写像で特定できる
みたいなんじゃなかったっけ？

>>36
あと基本群は基本非可換だが
高次は可換なのでは

低次元トポロジーに難問が集中してる。
高次元や無限次元は基本的に可換環論やコホモロジーで対処できた。

>>35
物理学サイドからの場の量子論のアイディアを中心に
低次元トポロジーの難問が攻略されつつある
された。

>>39
次元上げるとドンドン自由度上がるからだと言うが
究極の無限次元がよく分からないや
無限次元球面S^∞やS^ωが可縮なのは分かるが
これらがR^∞やR^ωと同相になるというのがワカラン
さらに
非連結も含めたコンパクトセットKについての
R^∞¥KやR^ω¥Kとも同相になるとのことだが
（この辺「無限次元球面は可縮」スレ）

いままでやってきたのは
低次元の概念を高次元で考えたら高次元のほうが簡単に解けただけのこと
高次元は高次元での低次元にはない概念の問題が存在すると思う

ノット（リンク）も1次元多様体の3次元への埋め込みの話だけど
高次元ノット（リンク）についても分類とかは難しいのかな

34℃
晴れ

4次元空間内ではどんなひもも解ける

>>45
2次元球の埋め込みはどう？
高次元ノット（リンク）は次元が2つ落ちた球面の埋め込み

>>46
分類というのをどの同値関係で考えるかによる

同境、同相、PL同相、微分同相
色々ある

ノットの話は普通埋め込みの同値（自己同相）による分類だけど

高次元結び目ではそうとも限らない

>>50
そうなん？
じゃ埋め込みの同値で分類したらどうなルン？

>>45
コレは3次元ズレてる話で
高次元ノット（リンク）とは関係ない
これ書いたときは自己同相による分類をイメージしてたんじゃ？

>>50
3次元の普通のノットだと>>48
>同境、同相、PL同相、微分同相
最初の以外は同じにならない？

たとえばq+2次元球面からノットを除いたものの基本群がZなこととノットが自明なことは同値か？という問題が同相のレベルではYesだけどPL同相のレベルでは未解決
とかその辺の
めんどいから岩波数学辞典でも読んで

念のため書くけど
2つのノットKとK'が同値とは
S^3の自己同相で埋め込みが移りあうこと
自己同相をPLや微分同相に変えても同じジャネ？

>>54
なるほど
高次元だと違い（というか解決の度合い）が出てくるのか
面白いね

そもそも次元の差が3以上なら解けるって話も微分同相レベルでは成り立たないし

普通はノットは同相で分類する話をしてるでしょ

まあそれはそうだが

>>57
検索してみたら
S^3のS^6への埋め込みで微分同相で考えたら非自明なものがあるとのこと
それは非自明なS^3→S^2（Hopf写像）に関係してるらしい
知らんけど

普通の同相での分類による
高次元ノット（リンク）の分類は
普通の3次元のノット（リンク）の分類がグチャグチャで皆目見えてないのと比べて
簡単にできたりはしないのかな
コレもまた高次元の方が簡単な例になるんじゃないかなあ

S^6が複素多様体になるという噂が流れているが
詳しい人

こんなタイトルのプレプリントが送られてきた

The (3,4,∞) modular family of 2-tori, completed at its three special points, is a
complex structure on S6

アメリカから

>>63
ありがと
真偽について賭けるか

AIによる証明、帰結として
Compositioの論文が訂正含めて間違えていたらしいw

ヤコビアン予想の反例をあげ、6次元球面の複素構造の存在を示したら、フィールズ賞をもらってもおかしくない

加藤十吉『トポロジー』サイエンス社
局面の分類と切断の状況を豊富な図で眼に見えるようにし
位相的ありように読者が容易に親しめるよう留意されたユニークな教科書

>>65
S^6の複素構造については
もう賭けの対象ではなくなった

幾何学者はどのくらい視覚に頼って考えているのか
位相幾何ではどうか？

イメージを巨大にすると考えやすくなるとサーストンが言っていた

https://arxiv.org/html/math/9404236v1
を「encompass」でページ内検索して、その前後を読んでください。

>>70
意外と文字で考えるタイプの人も多い

見えるのは4次元まで
5次元見える人も居るらしい

パスやホモトピーのリフトは視覚的に考えていると思う

2次元の図ぐらいだよ

見えた。

https://i.imgur.com/rZvWXB9.png

式だけでは見当がつかない
高次元でも３次元までの視覚を使ってあたりをつけている

>>70-77
同境理論ぐらいから明白に表面と中身で発想してるように思えるが。

>>78
で？

>>76
2次元じゃんｗ

函数論で色を付けたりするやつが確かあるよね。
次元を補うためかしらんけども。

>>79
まあ流石にこれは俺だけの皮膚感覚じゃない幾何学分野全体の共通感覚じゃなかろうか。

>>82
見えるか見えないかで言えば見えてないよ
単に多様体とその境界をイメージしてるだけ

>>83
光学と言ったら射影幾何だから
そっちへの言い換えから考えてみては？。

（彼の人はまだ害毒垂れ流してますね）

盲目の幾何学者ポントリャーギンの母親

概念を空間的に配置しているということで視覚を使っているよね

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でホモトピーを表すとかでもかまわんの？

最近の基本群と被覆空間の入門書として
古宇田裕哉『手を動かして学ぶトポロジー　基本群』裳華房
は良い
普遍被覆空間が存在する必要十分条件として半局所単連結から書いてある
「手を動かして学ぶ」シリーズは簡単なことしか書いていないかと思っていたが
写像トーラスやグロタンディークのガロア圏にも触れている