【トポロジー】位相幾何学 11 　【ホモトピー　ホモロジー】　

>>36
あと基本群は基本非可換だが
高次は可換なのでは

低次元トポロジーに難問が集中してる。
高次元や無限次元は基本的に可換環論やコホモロジーで対処できた。

>>35
物理学サイドからの場の量子論のアイディアを中心に
低次元トポロジーの難問が攻略されつつある
された。

>>39
次元上げるとドンドン自由度上がるからだと言うが
究極の無限次元がよく分からないや
無限次元球面S^∞やS^ωが可縮なのは分かるが
これらがR^∞やR^ωと同相になるというのがワカラン
さらに
非連結も含めたコンパクトセットKについての
R^∞¥KやR^ω¥Kとも同相になるとのことだが
（この辺「無限次元球面は可縮」スレ）

いままでやってきたのは
低次元の概念を高次元で考えたら高次元のほうが簡単に解けただけのこと
高次元は高次元での低次元にはない概念の問題が存在すると思う

ノット（リンク）も1次元多様体の3次元への埋め込みの話だけど
高次元ノット（リンク）についても分類とかは難しいのかな

34℃
晴れ

4次元空間内ではどんなひもも解ける

>>45
2次元球の埋め込みはどう？
高次元ノット（リンク）は次元が2つ落ちた球面の埋め込み

>>46
分類というのをどの同値関係で考えるかによる

同境、同相、PL同相、微分同相
色々ある

ノットの話は普通埋め込みの同値（自己同相）による分類だけど

高次元結び目ではそうとも限らない

>>50
そうなん？
じゃ埋め込みの同値で分類したらどうなルン？

>>45
コレは3次元ズレてる話で
高次元ノット（リンク）とは関係ない
これ書いたときは自己同相による分類をイメージしてたんじゃ？

>>50
3次元の普通のノットだと>>48
>同境、同相、PL同相、微分同相
最初の以外は同じにならない？

たとえばq+2次元球面からノットを除いたものの基本群がZなこととノットが自明なことは同値か？という問題が同相のレベルではYesだけどPL同相のレベルでは未解決
とかその辺の
めんどいから岩波数学辞典でも読んで

念のため書くけど
2つのノットKとK'が同値とは
S^3の自己同相で埋め込みが移りあうこと
自己同相をPLや微分同相に変えても同じジャネ？

>>54
なるほど
高次元だと違い（というか解決の度合い）が出てくるのか
面白いね

そもそも次元の差が3以上なら解けるって話も微分同相レベルでは成り立たないし

普通はノットは同相で分類する話をしてるでしょ

まあそれはそうだが

>>57
検索してみたら
S^3のS^6への埋め込みで微分同相で考えたら非自明なものがあるとのこと
それは非自明なS^3→S^2（Hopf写像）に関係してるらしい
知らんけど

普通の同相での分類による
高次元ノット（リンク）の分類は
普通の3次元のノット（リンク）の分類がグチャグチャで皆目見えてないのと比べて
簡単にできたりはしないのかな
コレもまた高次元の方が簡単な例になるんじゃないかなあ

S^6が複素多様体になるという噂が流れているが
詳しい人

こんなタイトルのプレプリントが送られてきた

The (3,4,∞) modular family of 2-tori, completed at its three special points, is a
complex structure on S6

アメリカから

>>63
ありがと
真偽について賭けるか

AIによる証明、帰結として
Compositioの論文が訂正含めて間違えていたらしいw

ヤコビアン予想の反例をあげ、6次元球面の複素構造の存在を示したら、フィールズ賞をもらってもおかしくない

加藤十吉『トポロジー』サイエンス社
局面の分類と切断の状況を豊富な図で眼に見えるようにし
位相的ありように読者が容易に親しめるよう留意されたユニークな教科書

>>65
S^6の複素構造については
もう賭けの対象ではなくなった

幾何学者はどのくらい視覚に頼って考えているのか
位相幾何ではどうか？

イメージを巨大にすると考えやすくなるとサーストンが言っていた

https://arxiv.org/html/math/9404236v1
を「encompass」でページ内検索して、その前後を読んでください。

>>70
意外と文字で考えるタイプの人も多い

見えるのは4次元まで
5次元見える人も居るらしい

パスやホモトピーのリフトは視覚的に考えていると思う

2次元の図ぐらいだよ

見えた。

https://i.imgur.com/rZvWXB9.png

式だけでは見当がつかない
高次元でも３次元までの視覚を使ってあたりをつけている

>>70-77
同境理論ぐらいから明白に表面と中身で発想してるように思えるが。

>>78
で？

>>76
2次元じゃんｗ

函数論で色を付けたりするやつが確かあるよね。
次元を補うためかしらんけども。

>>79
まあ流石にこれは俺だけの皮膚感覚じゃない幾何学分野全体の共通感覚じゃなかろうか。

>>82
見えるか見えないかで言えば見えてないよ
単に多様体とその境界をイメージしてるだけ

>>83
光学と言ったら射影幾何だから
そっちへの言い換えから考えてみては？。

（彼の人はまだ害毒垂れ流してますね）

盲目の幾何学者ポントリャーギンの母親

概念を空間的に配置しているということで視覚を使っているよね

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でホモトピーを表すとかでもかまわんの？

最近の基本群と被覆空間の入門書として
古宇田裕哉『手を動かして学ぶトポロジー　基本群』裳華房
は良い
普遍被覆空間が存在する必要十分条件として半局所単連結から書いてある
「手を動かして学ぶ」シリーズは簡単なことしか書いていないかと思っていたが
写像トーラスやグロタンディークのガロア圏にも触れている