コルモゴロフの01定理は
無限個の独立な確率変数の列（今の場合はX1,X2,…）による確率空間において
どの有限個とも独立な確率変数（今の場合はY）が
「自分自身と独立」
ということを主張しているようだ（違うかな？）
そうすれば
P(Y=1)=P(Y=1,Y=1)=P(Y=1)^2
から
P(Y=1)=0,1
いずれかという結論になるわけだが
自分自身と独立とかそんなことあるの？