探検

背理法は不要なのか2

1１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/07/20(月) 17:27:08.36ID:a0+1odGL
前スレ 背理法は不要なのか
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1781354251/
<テンプレ>
前スレの『背理法被害者の会』を受けて
中高一貫校生のために 背理法を 徹底的に議論するスレです
前スレ 41より
下記の 理科大教授　安部直人氏
”素因数分解を習った中学生なら誰でもわかる３行の直接証明：
　「自然数　a,b につき、
　　aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数
　　で異なるから aa≠2bb、よって √2≠a/b。」”
と。彼はこれが、いいっぺという

まあ、これへの批判としては ”aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数”が、天下りすぎなのと
さらに 下記「結果的に正しくない仮定から論理的に正しくない矛盾を導くわけですから、
途中に更に多くの誤った主張が並びます」もヘン
下記の仮説思考という 思考テクニックがある
現実とは別に「もし こうだったら？」と考えることは、人の常！　それを否定するのは如何か・・

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マネーフォワード
更新日 : 2026年3月31日
仮説思考とは？プロセスや具体例、トレーニング方法について解説

https://abel.a.la9.jp/
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
https://abel.a.la9.jp/sub11.html
東京理科大学 数学科　教授　安部直人
新設　(2013)07月06日
脱背理法と大学入試問題
”「私自身が、背理法のおかげで頭が腐った被害者であると実感しています。十数年前から現在もリハビリ中です。」(背理法被害者の会)”
十数年前から脱背理法教育
　例えば、本ＨＰ０１頁(説明も)にあるような
　素因数分解を習った中学生なら誰でもわかる３行の直接証明：
　「自然数　a,b につき、
　　aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数
　　で異なるから aa≠2bb、よって √2≠a/b。」
　(不要かもしれませんが少し説明を加えます。
　a と b を素数の積で表したとき、
　その素数(素因数)の個数をそれぞれ s と t とすれば、
　aa と 2bb の素因数の個数は s+s=2s と 1+t+t=2t+1 です。)

これを、
　高校数学Ａ教科書にある、準備を込めて１頁近く要する背理法証明
と比較してみてください。この証明が短いということも利点ですが、
証明途中に述べられていることは正しく、
説明さえ詳しければ必ず理解納得できます。

　一方、背理法の証明の中では、
結果的に正しくない仮定から論理的に正しくない矛盾を導くわけですから、
途中に更に多くの誤った主張が並びます。
誤った主張は誰も(天才でさえ)理解納得はできません。
例えば、1+1=3 を理解納得せよといわれている困ります。

　一方、数学教育の現状では
(*)　「√2 は無理数であることの証明は、
　　 背理法を使う以外の方法はない」
という誤った(上の証明が反例)認識を持っている
人たち(以下、仮に「背理法依存者」といいます)が多数います。
これは、全世界的のようですし、数学者の中にも多数います。
略
　このような誤った認識に輪をかけるのが、
　「大学の数学教員が、自分の書いた数学書の中で (*) を公言している。」
ことです
121１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/08/09(日) 11:23:38.20ID:48bZm4i6
個人の嗜好に正しいも誤りも無い
122１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/08/09(日) 11:50:42.65ID:JB5lTNVg
対偶 Contraposition en.wikipedia
√2 の無理数の証明を 扱っている（＾＾

https://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition
Contraposition
(google訳)
対偶

Proof by contrapositive
対偶による証明

However, indirect methods such as proof by contradiction can also be used with contraposition, as, for example, in the proof of the irrationality of the square root of 2. By the definition of a rational number, the statement can be made that "If
√2 is rational, then it can be expressed as an irreducible fraction". This statement is true because it is a restatement of a definition. The contrapositive of this statement is "If
√2 cannot be expressed as an irreducible fraction, then it is not rational". This contrapositive, like the original statement, is also true. Therefore, if it can be proven that
√2 cannot be expressed as an irreducible fraction, then it must be the case that
√2 is not a rational number. The latter can be proved by contradiction.

ただし、例えば、 √2 の無理数の証明のように、背理法などの間接的な方法も対偶とともに使用できる。有理数の定義により、「もし
√2が有理数であれば、既約分数として表すことができる」。この文は定義の言い換えであるため真である。この文の対偶は「もし
√2既約分数として表現できないならば、それは有理数ではない」。この対偶も、元の命題と同様に真である。したがって、もし証明できるならば、
√2既約分数として表現できない場合、次のことが成り立つはずです。
√2は有理数ではない。後者は背理法によって証明できる。
123１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/08/09(日) 12:18:57.33ID:gbk0Ylsn
>>122
√２が有理数でないことの証明も理解出来ん中卒は書き込むな
2026/08/09(日) 14:06:28.96ID:K3WTvcZw
そのメチャクチャな訳を意味も分からず引用したら正しい認識なんかできるはずないわな
2026/08/15(土) 23:58:54.84ID:ze8L5riu
>>121
個人の嗜好と言い切るには主語がデカいな
「俺は背理法を使いません」で済ませておけばよかった
まるで背理法が不要であるかのような書き方をしてるから誤りだと言われてるわけ
126１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/29(火) 16:58:21.89ID:FOkWO/ky
ルート2が有理数ではないことを、背理法を使わずに証明するにはどうすればいいの？
127１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/30(水) 01:20:53.00ID:g9oMhwP4
平面初等幾何の範囲内で、「与えられた任意角の3等分は初等作図することは不可能である」を証明可能だろうか？
背理法を使えば、可能なのか？　座標幾何や実数論や代数学や体論などは持ち出さないで、
あくまでも初等平面幾何の範囲内で証明を行うこととする。
想像するに、そのように手段を制限されると不可能性の証明をすることが
実はできないのではないだろうか？
2026/09/30(水) 01:25:53.05ID:uSnVqUmO
隔離スレ
129１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/30(水) 08:01:13.31ID:vg9inBi/
>>126
素因数分解可能性一意性を使うらしい
2n^2を素因数分解すると2が奇数個
m^2を素因数分解すると2は偶数個
だから
2n^2≠m^2
よって
√2n≠m
で
√2≠m/n
130１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/30(水) 08:03:12.79ID:vg9inBi/
でも
そもそも素因数分解可能性や一意性は
背理法をたんまり使ってるけどね
131１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/30(水) 08:09:20.62ID:vg9inBi/
それにそもそも
無理数は有理数でない実数というのが定義なのだから
有理数でない＝有理数と仮定すると矛盾
は定義そのものなんだけどね
「〜ではない」の定義が「〜と仮定すると矛盾」なのだから
132１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/30(水) 08:14:29.88ID:vg9inBi/
それにそもそも
整数が（自然数が）
偶数と奇数の直和になるというのは
背理法で示すんじゃないかな
とか思い出すと何でも背理法使ってるような気になってくるけどね
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