背理法は不要なのか2

対偶 Contraposition en.wikipedia
√2 の無理数の証明を 扱っている（＾＾

https://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition
Contraposition
(google訳)
対偶

Proof by contrapositive
対偶による証明

However, indirect methods such as proof by contradiction can also be used with contraposition, as, for example, in the proof of the irrationality of the square root of 2. By the definition of a rational number, the statement can be made that "If
√2 is rational, then it can be expressed as an irreducible fraction". This statement is true because it is a restatement of a definition. The contrapositive of this statement is "If
√2 cannot be expressed as an irreducible fraction, then it is not rational". This contrapositive, like the original statement, is also true. Therefore, if it can be proven that
√2 cannot be expressed as an irreducible fraction, then it must be the case that
√2 is not a rational number. The latter can be proved by contradiction.

ただし、例えば、 √2 の無理数の証明のように、背理法などの間接的な方法も対偶とともに使用できる。有理数の定義により、「もし
√2が有理数であれば、既約分数として表すことができる」。この文は定義の言い換えであるため真である。この文の対偶は「もし
√2既約分数として表現できないならば、それは有理数ではない」。この対偶も、元の命題と同様に真である。したがって、もし証明できるならば、
√2既約分数として表現できない場合、次のことが成り立つはずです。
√2は有理数ではない。後者は背理法によって証明できる。

>>122
√２が有理数でないことの証明も理解出来ん中卒は書き込むな

そのメチャクチャな訳を意味も分からず引用したら正しい認識なんかできるはずないわな

>>121
個人の嗜好と言い切るには主語がデカいな
「俺は背理法を使いません」で済ませておけばよかった
まるで背理法が不要であるかのような書き方をしてるから誤りだと言われてるわけ

ルート2が有理数ではないことを、背理法を使わずに証明するにはどうすればいいの？

平面初等幾何の範囲内で、「与えられた任意角の3等分は初等作図することは不可能である」を証明可能だろうか？
背理法を使えば、可能なのか？　座標幾何や実数論や代数学や体論などは持ち出さないで、
あくまでも初等平面幾何の範囲内で証明を行うこととする。
想像するに、そのように手段を制限されると不可能性の証明をすることが
実はできないのではないだろうか？

隔離スレ

>>126
素因数分解可能性一意性を使うらしい
2n^2を素因数分解すると2が奇数個
m^2を素因数分解すると2は偶数個
だから
2n^2≠m^2
よって
√2n≠m
で
√2≠m/n

でも
そもそも素因数分解可能性や一意性は
背理法をたんまり使ってるけどね

それにそもそも
無理数は有理数でない実数というのが定義なのだから
有理数でない＝有理数と仮定すると矛盾
は定義そのものなんだけどね
「〜ではない」の定義が「〜と仮定すると矛盾」なのだから

それにそもそも
整数が（自然数が）
偶数と奇数の直和になるというのは
背理法で示すんじゃないかな
とか思い出すと何でも背理法使ってるような気になってくるけどね

なげーよ
語尾と修飾語と接続詞減らせ

なげーよ
語尾と修飾語と接続詞減らせ

でないとダラダラして見える

>>135
無駄むだムダ無だ

実数の公理を設けなければ、有理数体の世界にはルート2は存在しないので、
2の平方根という数は存在しない数になるだろう。でもルート2があると考えて
形式的に式√2で表すと便利につかえるだろう。それはまるで実数の世界には
−1の平方根が無いから虚数は存在しない数なのだが、存在するかのように
思って使うと便利だったりするように。元の世界を広げて存在しないはずの
ものを付け加えて、元の世界は拡張された世界の一部だったことにしている
わけだ。それで矛盾が起きなければ良い。モデルとして実数が数直線なら
虚数を含めた複素数のモデルは平面で、それは実数の対によって表現できる
とし、矛盾が起こらないことを実数の言葉で説明・証明したので、複素数は
使っても良いものになった。

>2の平方根という数は存在しない数になるだろう。
存在しないのは存在反証される数であって存在証明されない数ではない

>>138
ですね

有理数の数列では上に有界な単調数列が極限を持たないことは良くある。
それでもそのような有理数の数列に極限があるかのように思って数を
有理数から拡張してやれば、便利なことがある。そのような拡大された
数の体系を我々はたとえば実数と呼ぶことにする。