お兄さんと一緒にルベーグ積分を勉強しよう！

お爺さんて言ったらダメだよw

Σ0=A(=CA)
Σ1=ΣΠΣ0⊃Σ0
Σ2=ΣΠΣ1⊃Σ1
…
Σω=∪Σn
としたら
それぞれのΣnは可算または補可算集合族だから
Σωも可算または補可算集合族で
超限帰納的に
Σαも可算または補可算集合族となる
Σ=Σω1も可算または補可算集合族で
これが完全加法性を持つのは
ここから可算個の集合を取り出すと
それはどこかのΣα（α<ω1）に含まれるから
（cf(ω1)=ω1>ω0）
ΣΣα=Σα⊂Σ
ΠΣα⊂ΣΠΣα=Σα+1⊂Σ
CΣα⊂ΣCΣα=Σα+1⊂Σ

まあ自明とまでは言えないか
でもホボ自明
サンクス>>685

>>659
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
>ってことで統一できるな
これも
Aがℵ未満部分集合全体として
Σ0=A∪CAはℵ未満または補ℵ未満部分集合族
Σ1=ΣΠΣ0もℵ未満または補ℵ未満部分集合族
…
Σω0=∪Σnもℵ未満または補ℵ未満部分集合族
…
超限帰納的に
Σαはℵ未満または補ℵ未満部分集合族
ℵの順序型をωとして
Σ=Σω
とすればこれはℵ未満または補ℵ未満部分集合族で
ℵ未満加法族
・・・・
ああだめか
cf(ω)=ω
である必要があるから
ℵ=ℵω0
だとダメだな

どんな濃度ℵでもいいわけではないのか
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
共終数が自分自身と一致する
なんてったっけ？
正則基数？に限るわけだな
じゃあ
非正則基数ℵについての
ℵ未満加法族についてはどんなことが言えるだろう？

>>687
それはキミの価値観
その価値観勿体ないと思うよ

可算より大きい濃度の加法族を考えることなんてあるのか。
私は初心者だからよく知らない。

彼の人に何人もの人がダメ出しするのも
数学は戦争だからだよ

>>696
関数解析で出てきたと思ったがどうだったかな

>>697
俺はしてないけどw
あと、政治の見解についても批判がおきている。
正しくは、5chが紛争の場であるということだろう。
あまり数学を悪く言ってほしくはない。

>>698
少し調べてみるわ。

>>699
それはキミが現実の数学をしてないから
数学は針の筵だしそうあるべき

ここで現実の数学をしたら誰もついてこれないと思うよ。
アマチュアの数学は平和なものだろう。
プロは博士後期から終身雇用に至るまで戦争と表現するのなら分かる。
仕事が絡むと戦争になるだろう。

>>694
>非正則基数ℵについての
>ℵ未満加法族についてはどんなことが言えるだろう？
問題ないな
どんな非正則基数ℵについてもそれより大きな正則基数が存在するから
その正則基数の順序型をωとして
Σ=Σω
とすればよい
ここからℵ未満の個数の集合を取り出すと
どこかの
ℵα（α<ω）に含まれるからあとは同じ
てことで
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
はOK

御大はアレだけどねw

>>695
>それはキミの価値観
言うに及ばず

>その価値観勿体ないと思うよ
いや同じ聞くならAIに聞くって話　聞かないとは言ってない

>>703
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
ℵ=ℵ1
のときが元のカキコミ>>646,647
ℵ=ℵ0
のときは有限か補有限集合の全体が有限加法族になるということ
ℵ=ℵ2
のときはR（濃度がℵ1だとする）についてなら
ℵ未満または補ℵ未満の部分集合とは結局任意の部分集合なのでP(A)がℵ2未満加法族だと言っても仕方ないが
関数解析（R^Rでの話）でなら何かしらのことは言えそう

ではΣπAが可算の縛りの上でσ代数になることを証明してください。

Πか

>>707
証明間違えていたのでそれは言えない
正しくは>>691,693,694,703
あと>>662の最後の部分は流用

>>707
自明とのこと
非自明な反例があったけど（爆死）

>>710
>>646は分かってんの？

AIばっかり使ってるけど。

だいたいある集合を含む最小のσ代数がそんな簡単に構成できるなら標準的な教科書で載ってないはずがない。σ代数はそんな簡単に表示できないからいろいろ病的な可測集合が発生する。完全加法族とσ代数の間のこの決定的差異が感じられるようになってなんぼ

>>711
分かってるも何も最初にそれの証明を書いたのは私
ギャップの指摘なら歓迎　但し具体的にね

>>712
何か問題でも？
そこらの似非教員よりよっぽど役立つよ　役立つものを使わないのは〇〇

>>713
>完全加法族とσ代数の間のこの決定的差
差の中身を具体的に

>>714
個人的にはド・モルガンのとこだけ詳しく書いて、あとは自明くらいで良いと感じたw
まあ分かってるのなら良いよ、それ以上は望まない。

プッ
>完全加法族とσ代数の間のこの決定的差異

色んなid出るね。
>>716は私も良く分からない。

Aから初めて たんにいくらでもよい無限和、補集合でとじているなら有限加法族 B をとっておいて Σ[無限]∩[無限]A で完全加法族にできる。しかしσ代数で無限のところが可算無限に制限されるととたんにこれではすまなくなる。一般的にこんなすっきりとはかけない。書きあらわす方法がないという証明はみたことはもちろんないが、具体的にかいてある教科書もみたことない。かけるならかいてる教科書のひとつやふたつあっていいだろうから、ないか、あってもそうとう難しいか、なんだろこれってなっとくいかないような表示かしかないんだろうなとおもってあきらめて表示はできなくても存在証明にきりかえる。
無限に制限があるかないかで全然話がちがう。

>>717
∀n∈N:(an∈Σ ∧ n=0→anはタイプ1集合 ∧ n≠0→anは高々可算集合) とする。
可算和の中に一つのタイプ１集合が含まれるものは ∪{an|n∈N} と書け、これはタイプ2集合ではない。
実際、
(∪{an|n∈N})^c=∩{an^c|n∈N}⊂a0^c。a0^c は定義から高々可算集合。よって (∪{an|n∈N})^c も高々可算集合。よって ∪{an|n∈N} はタイプ2集合でない。
可算和の中のタイプ１集合が二つ以上でも同じ議論が成立するから、結局Σの任意の可算和はタイプ2集合ではない。すなわち「Σは可算和について閉じている」の反例は無い。

君、ドモルガンドモルガン言ってるけど、
>(∪{an|n∈N})^c=∩{an^c|n∈N}
ってだけなんだけど。

尚、タイプ1・２は下記参照。
>高だか可算でない集合は非可算だから、非可算集合の全体は
>タイプ1.補集合が高だか可算である非可算集合
>タイプ2.補集合が非可算である非可算集合
>のふたつのタイプに完全に分類できる。このうちΣの元はタイプ１集合のみ。

f,gが可測関数で f+gが面積確定ならば、f+gは可測関数であるかぁ。
ふーん、そうですか。

>>721
一番書かないといけないことは、可算和集合の中に高々可算でない集合が存在する場合のことだと思った。
それを補集合が共通部分になることに言及して、初めて証明したと私は言うべきだと感じただけ。
飛躍が生じやすいところをケアするのが、私の一番大事にしていること。

>>723
可算集合族から始めて
実際に構成していけば
可算か補可算集合しか出てき様が無いことが分かる
可算集合の可算和は可算
1つでも補可算集合を合併したら補可算
補可算集合の可算積は補可算
1つでも可算集合と積を取ると可算
（あと可算の補集合が補可算その補集合は可算もか）
だからね

>>723
>一番書かないといけないことは、可算和集合の中に高々可算でない集合が存在する場合のことだと思った。
元々書いてるけど

>それを補集合が共通部分になることに言及して、
それは今回書いた

>初めて証明したと私は言うべきだと感じただけ。
そもそも普通人が書く証明って述語論理の推論ステップすべてを書く訳じゃないよね？　てことは何かしらのアウトラインでは？

>>725
まあ、理解してれば良いのよ。

>>662の最後の部分を最初から使うと自明
A:可算部分集合の全体
A∪CA:可算または補可算部分集合の全体
Π(A∪CA):可算または補可算部分集合族すなわち
Π(A∪CA)⊂A∪CA
A∪CA⊂Π(A∪CA)は自明なので
Π(A∪CA)=A∪CA
Σ(A∪CA):可算または補可算部分集合族すなわち
Σ(A∪CA)⊂A∪CA
A∪CA⊂Σ(A∪CA)は自明なので
Σ(A∪CA)=A∪CA
よって
Σ=A∪CA
は完全加法族
ΣΣ=Σ(A∪CA)=A∪CA=Σ
ΠΣ=Π(A∪CA)=A∪CA=Σ
CΣ=CA∪CCA=CA∪A＝Σ

スルーしようかと思ったけど、σ代数と完全加法族の違いって何？

>>724
>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族
が指定されているんだけど、君が構成してるものって何？　↑とはどういう関係にある？

集合環や集合代数が違うのは分かるけど。

お兄さん、分かんないw

>>729
A={B⊂X:|B|<ℵ0}
と
CA={cB:B∈A}
から始めて
可算積
Π(A∪CA)={∩{An:n∈N}:An∈A∪CA}
には可算または補可算集合しか登場しない
ΣΠ(A∪CA)={∪{An:n∈N}:An∈Π(A∪CA)}
にも可算または補可算集合しか登場しない
てこと
あとはω1までΣΠの構成を繰り返して完全加法像を構成するってこと
ついでに書くと>>727に書いたのは最初からAを可算部分集合の全体にしておけばω1まで繰り返して証明する必要が無いホボ自明なことだってこと

>完全加法族とσ代数の間のこの決定的差異

>>728
別名よ
σ集合代数も同じもの
オレの書いたℵ0以下加法族やℵ1未満加法族も同じもの

>>734
だよね。
ルベーグ積分では用語が紛らわしくて困る。

まあ、有限加法族と完全加法族は違うだろうけど。

猫は高級な話題で釣っていたけど、捻くれたおっさんは誰にも分かる初級の話題で釣る

>>737
だったら猫さんの代わりを貴方がしてくれ。
私はリアルタイムでは猫さんを知らないんだよ。

質問スレを見ると、基礎論には精通していないように見えるが。

>>732
A⊂{B⊂X:|B|<ℵ0}
だわ
特に
A={{x}:x∈X}
から始めると
1段階目の
Σ1=ΣΠ(A∪CA)
で全ての可算部分集合と補可算部分集合を含むな
じゃあω1まで繰り返すなんてことは全く不用で
Σ1=Σα for 1≦α
かなーんだ

>>693
こっちも
A={B⊂X:|B|<ℵ}
なら
ℵ未満加法性に関して
Σ=Π(A∪CA)=Σ(A∪CA)=A∪CA
だから
Σはℵ未満加法族
A⊂{B⊂X:|B|<ℵ}
から始めたら
Σ1=ΣΠ(A∪CA)
がすべてのℵ未満または補ℵ未満の部分集合を含むから
これがℵ未満加法族
>>678の証明は一般論を使おうとして成立しないものを書いてしまったが
A⊂{B⊂X:|B|<ℵ}
から始めたら
Σ=ΣΠ(A∪CA)
がℵ未満加法族
なーんだ

>>732
>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族
を満たす集合族は無数に存在して、そのいずれもσ加法族であるという命題に対して、
>完全加法像を構成する
によって君が構成したのはあるひとつのσ加法族だよね？それって証明になってないのでは？
俺なんか勘違いしてる？

つまり元の命題は∀・・・の形なのに君が示した命題は∃・・・の形じゃないの？

例えば、R上のσ加法族{{},R}も
>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族
を満たしてるよね？でも君が構成した集合族はこれじゃないんでしょ？

つまり君がやったことは
>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族
であり、かつ、σ加法族である集合族のひとつを構成した
ってことじゃないの？　それは元の命題の証明になってないと思うけど違う？

>>742-745
>>740
>A⊂{B⊂X:|B|<ℵ0}
>だわ

>>722
関数が∞になるときは、不等式の扱いに気をつけなきゃね☆

忘れずにきちんと場合分けをしないと。

有理数も利用して。

あ、途中で変えたのね。>>732を見て言ってた。
つまり君が構成したものは集合族のシリーズであって、そのシリーズには例えば{{},R}も含まれる
という理解でよい？　それなら私の疑問は解消。

>>646
>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族は、σ加法族になるかぁ。
最初これ読んだとき
A={B⊂X:|B|<ℵ1}
についての
A∪CA
だと思ったが
A⊂{B⊂X:|B|<ℵ1}
については>>741
だけれど
一回はΣΠが必要なのは
A={{x}:x∈R}
について
A∪CA
は完全加法族じゃないから
A⊂{B⊂X:|B|<ℵ1}
で
A∪CA
という意味であったら
>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族は、σ加法族になるかぁ。
は正しくないね

>>750
A={{}}から始めたら
A∪CA={{},R}

でも
>A⊂{B⊂X:|B|<ℵ0}
の書き方も良くないね。これだとAはあるひとつの部分集合なのか任意の部分集合なのか区別が付かないよ。

∅

>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合
が
A,B⊂{C⊂X:|C|<ℵ}
で
A∪CB
からという意味なら
最初に
(A∪CB)∪C(A∪CB)=(A∪B)∪C(A∪B)
にするすなわち
Aの代わりにA∪Bから始める必要があるな

>>752
それは論点のすり替え
修正後の書き方
>A⊂{B⊂X:|B|<ℵ0}
でもAの正体が分からないってことを言ってるの
自然言語でも論理式でもいいんだけど修飾すべきことが欠落してると言ってる

とくに今回の場合は
∃A⊂{B⊂X:|B|<ℵ0}の意味だと非だし
∀A⊂{B⊂X:|B|<ℵ0}の意味だと是だから主張の是非が変わっちゃう、決して重箱の隅じゃないよ

じゃ適当に考えて
（自分は限定子書かないときは大概∀だろうなと思って読むがね）

捻くれたおっさんには荒らしの才能があるｗ

>>759
「高級」な話題を宜しくねw

>>722
f+gの不等式を、fとgの不等式にそれぞれ分解して考えないといけないのは大変だ。

かまって爺さんの名言ｗ
>飛躍が生じやすいところをケアするのが、私の一番大事にしていること

あっ、間違えた

どこが証明のポイントなのかを考えるのは大切なことだと思うけどね。

ですね
レス乞食はもう少し数学を学ぶべきでしょう

>>764
だったら、ルベーグの良い話題でも提供してくれ。

>>764
>>722とか簡単に分かんの？

>>766
典型的な定義のための定義
気になる人が証明付けたら良いだけ

ルベーグ積分はね
上手く定義ができた
というだけで十分
あとの細かな話は
知っておくべきこともありの
別にどうでもいいこともアリの

上から目線で言っといて、証明を回避するのは都合が良いなw

>>769
付けたい人が付けたら良いだけ

大口叩いてそれかw

>>771
大口とは？

>>764

私は煽りではなく、数学の有益な内容を期待している。
ここではとりあえず、ルベーグ積分の内容を欲している。

>>773
レス乞食はもっと数学を学ぶべきですよね

>>774
勝手に期待してれば？

爺さんなんだろう。
だったら若い人にもう少し期待したらどうだろう。
爺さんにもなって素人イビリとは趣味が悪いw

>>777
オレのことを言ってる？
39歳なのに

マジか、2歳しか違わない…。

まあ、センター模試で750/900点くらい取れても、進学校に通えないような人間がいたりすんだから、あまり恵まれた条件を前提にされても困るんだよ。
お金があれば小さい頃にさっさと高校数学まで済ませて、そこからじっくり大学数学をやるはずやったんやから。

これを信じない人もいるんやから、どうしようもないw

>>780
嘘吐きだね
誰も検証のできない嘘

ここが実家ならいくらでも模試の結果を探してやるのにw

>>783
実家で探して証拠を示せ
検証可能な形でな

>>784
実家には簡単に帰れんよ。
大体、相続放棄しているところに安易に行って良いのかも知らんしw

田んぼも何もかも放置しているw

自分語り下らん
実家で探して検証可能な形で示せないなら嘘

喋ってる感じで知性って分からんもんかねぇ。
まあ、信じないならそれで良いけど。
青焼きや交代群の話の指摘から、私が嘘を言うような人間でないことは大体分かると思いからね。
私はハッタリで誤魔化す人間ではないよ。

思いからね→思うからね

ルベーグ積分の背景とかは分かってきたから、難しい本も図書館で借りてこよう。
ミジンコの人と揉めた、伊藤先生の本も見てみよう。
（明日は休館日であるが。）