ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらを一つも通らない直線は存在するか

わかりますか？

X⊂R^2を可算部分集合とする。
R^2は非可算なので、p∈R^2 - Xが取れる。
点pを通り、Xと交わらない直線が存在することを示す。
点pを通る直線を一本引き、それをLとする。
直線Lを、点pを中心にθ回転した直線をL(θ)と書く。
もし、どの0 ≤ θ < 2πに対しても、L(θ)とXが交わると仮定する。
θに対して、L(θ)とXの交わりのひとつをq(θ)と書く。
Q = {q(θ): 0≤θ<2π}とすると、q(θ)の取り方から、Q⊂X。
θ≠θ'ならば、L(θ)とL(θ')の共通部分はp∉Xだけなので、Q(θ)≠Q(θ')。
よって、Qは非可算集合だが、Xは可算でQ⊂Xなので矛盾。□

スレタイ：〜存在するか

答え：どのように配置しても、無数に存在しまくり。

ある加算無限個の点の集合（濃度ℵ0）がありある直線がそれらの１つも通らなくても（または逆に全て通っていても）、その直線に加算無限個の点から垂線が下ろせるか、または直交する直線がひけて、そのすべての直線の集合は高々加算な集合を成す。
一方、任意の直線は高々加算な点では被覆できないから、被覆されない点の集合と、それを交点として元の直線と直交する直線の集合は、いずれも非可算無限集合（濃度ℵ）を成す。
その直線のどの1本も、垂線を下ろしたり元の直線上にあった元の加算無限個の点を1つも通らない（∵ユークリッドの第五公準）。
QED

>>3
はあ？

愚問であったな

>>3
なるほど

X⊂R^2を可算集合とする。
L⊂R^2を任意の直線とする。
Xの各点pに対して、pを通り、Lと直交する直線L'(p)を引く。
Xは可算集合で、Lは非可算集合だから、Lには、どのL'(p)とも交わらない点qがある。
qを通りLと直交する直線L''を引く。
L''はどのL'(p)とも平行だから交わらない。したがって、どのp∈Xも通らない。□

R^2空間内の y=x+r の形の直線は非可算無限本存在し、互いに平行。
R^2空間内の任意の1点は上記直線のうちのたかだか1本にしか乗らない（2本以上に乗ったら互いに平行であることと矛盾）。
よってR^2空間内に任意に配置した可算無限個の点が乗る直線はたかだか可算無限本。すなわちほとんどすべての直線には乗らない。

なるほど

与えられた点の個数は可算
同じ点が二つ以上の直線に乗らないように非可算個の直線を作れる
というのが肝か

円周は非可算の点の集まり

>>10
円周は非可算集合だってことよ

>>12
それ、命題をスレタイの
＞ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらを一つも通らない直線は存在するか
から、別の命題：
＞ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの任意の一つだけしか通らない直線は存在するか
へと置き換えた時の肝だね。

類似問題：有理点∈Q^2を持たないR^2内の直線は存在するか？
仮に直線 y=x+√2 が有理点 (p,q)∈Q^2 を持つと仮定すると q-p=√2 が成立するはずだが左辺は有理数、右辺は無理数だから矛盾。

>>14
それは
　答え：存在する。
と主張する場合の一例であって、反例なきことを示していないため、証明としては不完全。

君、頭だいじょうぶ？

>>15
失敬！
それは
　答え：存在する。
と主張する場合の一例であって、証明として完全。

>>15
これは>>14を別の類似問題：
有理点∈Q^2しか持たないR^2内の直線は存在するか？

と混同してしまったコメント。

R^3\{0}は直線族の非交和に分解出来る？

>>18
そんなもの無いの直ぐ判ろうによ

>>19
2直線が交わらないなら平行（か同一）
x軸に平行な直線でR^2¥Oを覆うとき
原点を通る直線は使われないことになるため
x軸自身はその合併に入らない
つまり覆えない

>>13
ではないが？

アでもそれにも使える
与えられた
P={p0,p1,…}
は可算集合だから
p0中心の円と
p0,pi for 1≦i
を通る直線との交点集合は可算なのでね
元の問題の場合
q∈R^2¥P
中心の円で
q,pi for 0≦i
を通る直線との交点集合が可算なのでで

直線族を直線または開半直線の族に緩めれば可能

>>13
>＞ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの任意の一つだけしか通らない直線は存在するか
それらのうち2点だけしか通らない直線は存在するかな？
7点集合だと存在しない配置があるけど
8点以上とか可算無限個だとどうなん？

>>25
>それらのうち2点だけしか通らない直線は存在するかな？
直線上に可算個の点を配置すれば存在しないな
当たり前か
直線上に全ての点が存在する以外の可算個の点の配置で
2個だけ通る直線が存在しない配置はあるんだろか？

あるいは
（直線上以外の）どんな配置でも
2点しか通らない直線が存在するのかな？

R^2空間上に任意に配置した可算無限個の点族Pから任意の1点を選びOとする。
Oを通る直線の族Lが存在し、その部分族としてP-{O}の元を通る直線の族L'が存在する。
Lは非可算無限、L'は可算無限だから、Lに属すほとんどすべての直線はPのうちOだけを通る。

>L'は可算無限
L'はたかだか可算無限
まあ結果は変わらないけど

R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらを一つも通らない直線は存在する。>>8
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意の一つだけ通る直線は存在する。>>28
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意のn>1個だけ通る直線は存在しない。すべての点を任意の直線上に配置が反例。

>>30
>R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意のn>1個だけ通る直線は存在しない。すべての点を任意の直線上に配置が反例。
これはあまり面白くないよね
>>25,26はどう？

直線上に全ての点が存在以外にも反例は無数にある。
点は可算無限個だからナンバリング可能。点nを任意の正の自然数mで割った剰余で定まる直線上へ配置。・・・可算無限個の反例が存在。

>>32
それ
直線はｍ本しか出てこないってこと？
たとえば
m=2
のとき
2本の直線上に可算無限個の点を配置したとしたら
そのそれぞれから1点取ればその2点を通る直線上に
他の点はないから2点のみを通る直線が存在することになるよ

>>3
この証明は、スレタイの命題を「ℝ²」に限定せずユークリッド幾何学の対象とする3次元空間「ℝ³」まで拡張しても、一字一句変えなくてよい証明となっていることに注意。
これはスレタイの問題設定を敢えて「ℝ²」へ絞り込んで創造したスレ主>1の「やさしさ」か、スレタイの命題に対して>5のような感想に至った>3の洞察眼の現れ、だろう。

R^2空間内で可算無限個の点を y=1,y=0,y=-1 の3直線上のすべての有理点(∈Q^2)に配置。
配置内の二つの有理点を任意に選んだ時それらを通る直線は少なくとももう一つの有理点を通る。従ってこの配置は「可算無限個の点のうち二つの点だけを通る直線が存在する」の反例。
y=±1をy=±n(n∈N-{0})に置き換えても同じことが言えるから反例は可算無限個存在する。

>配置内の二つの有理点を任意に選んだ時それらを通る直線は少なくとももう一つの有理点を通る。
選ばれた二つの有理点をp1,p2とする。
p1,p2を通る直線の傾きで場合分け
(a)0の場合：p1,p2は同一直線上にあるから自明にもう一つの有理点を通る。
(b)無限大の場合：有理点が選ばれなかった直線上にp1,p2とx座標が同じ有理点が存在するから自明にもう一つの有理点を通る。
(c)いずれでもない場合：p1,p2のΔx、Δyとも有理数だから傾きΔy/Δxも有理数(1)。p1,p2を通る直線と有理点を選ばれなかった直線との交点をp3とすると、p1,p3のΔyも有理数(2)。(1),(2)よりp1,p3のΔxも有理数。よってp3も有理点。よってもう一つの有理点を通る。

>>35
オー確かに
頭良いな

>>35
同様にx軸と平行な直線をn+1本配置すればn点だけ通る直線の存在の反例となる。
よってn>1のときn点だけ通る直線の存在は偽。

R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの1点も通らない直線は存在する：真 >>8
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの1点だけ通る直線は存在する：真 >>28
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのn(>1)点だけ通る直線は存在する：偽 >>38

いまR^2の原点はそれら可算無限個の点が含まれていないとする。
もしも含まれていたらずらして考えてよい。

原点を通りそれら可算無限個の点とを結ぶ可算無限個の直線を考える。
原点を中心とする円周を考えて、それらの可算無限個の直線が円周と交わる点の
集合を考えると、それら円周上の交点の集合Ｓは可算無限個である。しかるに
円周は非可算無限個の点を含むので、Ｓに含まれない円周上の任意の点ｘが
存在する。原点とｘを結ぶ直線上には、最初の「可算無限個の点」はいない
ことがわかる。よってそのような直線が求めるべき直線の１つの例になって
いる。

>原点はそれら可算無限個の点が含まれていないとする。
それだと「どのように配置しても」を満たしてない。

原点→任意に配置された可算無限個の点のいずれでもない任意の１点
でよいのでは？

R^2は非可算無限個の点を含むから、
「可算無限個」の点には含まれない点ｘをとれる。
ｘを中心とする単位円Ｃを考える。ｘと「可算無限個の点」を通る
可算無限個の直線を考え、それらの直線がＣとの交点を考えると
交点の集合は単位円周Ｃ上の可算無限個の点からなる集合Ｓであるが、
円周Ｃ上には非可算無限個の点が存在するので、Ｃに含まれるが
Ｓに含まれない点ｙが存在する。そのときｘとｙを結ぶ直線Ｌを考えると
Ｌは「可算無限個の点」のどれも含まない。もしも含んでいたら
ＬがＣと交わる点はＳに含まれるはずなので矛盾するからである。

＃しかしこの証明法は、構成的ではないな。可算有限個の点を与えた
ときにそれを通らない直線が常に存在することであれば、具体的に
そのような直線を構成できるが。「可算無限個の点」というだけでは
どのようにしてそれらが与えられるのかが特定されていないから。

示すべき直線は可算無限個の点の配置に依存するから当然では？
かつ可算無限個の点の具体的配置が与えられれば直線も具体的に構成できるのでは？
何を問題視してるのかが分からない

より簡単な話にしてみよう。区間[0,1]に可算無限個の実数が与えられたときに、
それらとは異なる[0，1]区間内の実数を１つ構成しなさいと云われて、それが
具体的にできるかどうかを。可算無限個だから、可附番なので数列と思っても
良いわけだが、1/n みたいな数列ならそれとぶつからないように1/sqrt(2)とか
選べる。でも、一般に可算無限個の実数がありますといったときに、そのような
ｎについての規則で表されるような数列ばかりとは限らない。

>>45
与えられた可算個の実数の小数表記に対し対角線論法を適用すれば求める実数を構成できる。
但し、小数表記の方法が一意でない（例 0.1000・・・=0.0111・・・）ので表記方法の統一が必要。

実質的には43と同様

対角線論法で求める実数を構成できないと言ってる？　そう思う理由は？

両方とも構成的な議論だと

>>43
>しかしこの証明法は、構成的ではないな

>>47
>実質的には43と同様

>>49
>両方とも構成的な議論だと

ワ　ケ　ワ　カ　ン　ネ

>>50
同一人物だと確かにそう

対角線論法でもって、加算無限個の実数のどれとも一致しない数を有限回の操作手順で構成できるかというとNOだ。
加算無限個の実数のｋ番目のものをa_kとして、
a_1,...,a_m までの実数をみてそれと一致しない実数x_mを取ったとして、そのx_mと一致するa_lがa_mより後に
来ると目論見が崩れてしまうから、ｍを幾ら大きくしてからx_mをとっても、やっぱりそれがその後のa_lに
一致してしまうリスクが残る。つまりこれでいいという実数ｘを決めることは、永久にできないのだ。

r_1,r_2,...,r_k,.... という実数の数列がたとえば[0,1]内の一様な実数の乱数列ならば、
出現する値にはなんら規則性が無くて、有限番目までをみても、その後に何が来るか
が予測不能であるから（それが乱数列ということの定義だから）、それら実数の乱数列
には含まれない実数ｘをアルゴリズムによって（つまり構成的手段でもって）決定する
ことは原理的に不可能。ぶつからない確率が1となるように実数を取ることはできるが、
あくまでもぶつからない確率が1なのであって、「決してぶつからない」ではない。

Xを2元体上の可算無限次元正方行列全体の集合とする。
任意の A∈X が与えられたとき 1-A=B の対角成分で定まる 0.b00 b11 ・・・ が求める実数。
但し
・1∈X はすべての成分が1の元とする。
・小数表記の方法が一意でない（例 0.1000・・・=0.0111・・・）ので一意になるようにルールを定める。

それはアルゴリズムとしては書けない。
もしも超越的な手段によって、a_kが増加順に
予め並べられているなどすれば、a_kとa_{k+1}
の途中にある任意の有理数でも実数でも選べば
それで良いのだが。

>>52
＞加算無限個の実数のｋ番目のものをa_kとして、
＞a_1,...,a_m までの実数をみてそれと一致しない実数x_mを取ったとして、

このやり方は対角線論法ではない。

[0,1] 内の可算無限個の実数 a_1, a_2, a_3, … が
与えられたとして最初にやるべきことは、
各 a_k を無限小数展開することである。kごとに

a_k ＝ 0.c_{k1}c_{k2}c_{k3}…

という形になる。ただし、2通りの表示があるものは
「途中から9だけが続く表示」に統一する。
c_{ij} は i,j に関する二重数列であるが、
i＝j のときの c_{kk} に着目し、

d_k ＝ 1 (c_{kk}は偶数), 2 (c_{kk}は奇数)

として d_1,d_2,… を定め、

x＝0.d_1d_2d_3…

という実数を考える。これは a_1,a_2,… のいずれとも異なる。

各 d_k は自然数である(1と2しか取らない)。

d_1を決めるのに必要なのは「a_1の無限小数展開における1桁目」だけである。
d_2を決めるのに必要なのは「a_2の無限小数展開における2桁目」だけである。
d_3を決めるのに必要なのは「a_3の無限小数展開における3桁目」だけである。

各 d_k について、d_k を知るのに必要な情報は有限個の情報だけである。
無限個ある全ての a_i についての情報を総動員しないと d_k が定まらない、
なんてことはない。

>>52では

＞加算無限個の実数のｋ番目のものをa_kとして、
＞a_1,...,a_m までの実数をみてそれと一致しない実数x_mを取ったとしても
＞x_mと一致するa_lがa_mより後に来ると目論見が崩れてしまう

という懸念が書かれているが、そのやり方は
対角線論法ではないので的外れである。
本物の対角線論法においては、このような懸念は発生しない。

a_1〜a_mとは異なる実数x_mを作るのが対角線論法なのではない。

「a_mの無限小数展開におけるm桁目とは異なる自然数d_mを作る」

というのが対角線論法である。
しかも、それぞれの d_m は有限個の情報だけで決まる。
無限個ある全ての a_i についての情報を総動員しないと d_m が定まらない、
なんてことはない。

そして、そこで得られた自然数 d_1,d_2,… を用いて x＝0.d_1d_2d_3…
を考えると、この x は a_1,a_2,a_3,… のいずれとも異なる。

加算無限にある桁d_mを全て決めてしまう為には、加算無限あるa_iを全て知ってしまうことが必要だ。
その操作は無限回の繰り返しになるので、有限回の操作では実現できない。

実無限を認めない立場？
{0}からスタートして最大元+1を新たな元として追加するという操作を有限回繰り返しても自然数全体の集合Nに到達しないからNの存在を認めない？

自然数の集合の存在は、「無限集合が存在する」という公理から出てくるもの。
その公理を仮定しなければ、有限集合以外の集合が存在するかどうかは決定不能で
いわゆる自然数の集合Nがあるなども言えない。

だからその公理を仮定すべきでないという立場か？と聞いてる

任意の「加算有限個の実数の列」に含まれない実数を定めることは、具体的な操作を伴うアルゴリズムとしては記述できまいと思われる。
無限個ある実数の列全体を把握してそれに基づいた操作を行うことは、アルゴリズムとしてはできないから。繰り返しがいつまで経っても
終わらない，終えられないから。

(0,1)区間でもいいし実数全体の範囲でも良いが、
構成的に定義可能な実数全体の集合をAとする。

この集合Aはそれぞれの数の構成法が有限長の
記号列で定義されているので加算集合である。

それでは実数全体の中からAに含まれない実数ｘを
1つ取り出すことを考える。集合の濃度の議論から
そのようなｘは存在する。

しかしそのようなｘを取り出す構成的な方法は
存在しないことがただちにわかる。

なぜならば、もしもｘを取り出す構成的な方法が
あったとすれば、そのことはつまりｘはAの要素
であることになり、仮定に矛盾するからである。

つまり、今考えている可算集合Aに含まれない数
であるｘを構成的な方法で与えることは不可能。

>有限長の記号列で定義されているので加算
とは言い切れない。言語が非可算なら非可算。
実際構成可能宇宙はある階層から非可算になる。

有限種類の記号の有限長の列（つまり構成するアルゴリズムをプログラム言語で記述したようなもの）で定義される実数は、
「有限種類の記号の有限長の列」に自然数を対応させることができる。だからそのような種類の実数全体の集合Aの濃度は
高々加算無限にしかならない。

当たり前

A に含まれない x それ自体を構成的には出力できないからといって、
そこで終わりではない。間接的な表現方法は存在する。

実数の可算列 {a_n}_n が与えられたときに、
次のようなプログラムSを作ることが可能。

・ S は正整数 n を入力として受け取り、1つの有理数 x_n を出力する。

・ ただし、全体としての点列 {x_n}_n は次の性質を満たす。

(*) {x_n}_n は上に有界かつ単調増加で、sup_n x_n ∈/ {a_1,a_2,a_3,…}

作り方は>>56-58のとおりで、0.d_1d_2…d_m という
有限小数のことを x_m と置けばよい。

sup_n x_n という実数は S では出力できないが、
それぞれの x_n は出力できる。

言い換えれば、
プログラムで枚挙可能な有理数の可算列 {x_n}_n であって
>>68の(*)を満たすものが存在するということ。

このことは自明ではない。
x ∈/ {a_1,a_2,a_3,…} なる実数 x を
数学的に取り出すことは自明にできるので、
x の無限小数展開における第 n 桁までの有限小数を
出力するようにプログラム S を作れば、
S の存在性は自明であるかのように見えるが、
x 自体が構成可能な実数なら確かに自明だが、
x 自体が構成可能でない場合は全く自明ではない。

そして、構成可能な実数の全体を {a_n}_n とすれば、
x ∈/ {a_1,a_2,a_3,…} なる実数 x は常に構成不可能だから、
それでも(*)を満たすプログラム S が作れるというのは
全く自明ではない。

一応注意しておくと、任意の x ∈/ {a_1,a_2,a_3,…} に対して
そんな S が作れると言っているわけではない。
最初に指定した {a_n}_n に応じて、
ある特殊な x ∈/ {a_1,a_2,a_3,…} が存在して、
そんな S が作れるということである。

別の見方をすると、そのような特殊な x ∈/ {a_1,a_2,a_3,…} は、
x それ自体は構成不可能であるが、他の構成不可能な実数とは一線を画しており、
「構成可能に極めて近いところにいる特殊な実数」と解釈できる。

とにかくアルゴリムで構成的な実数の集合Aが与えられたときに、
Aには含まれない実数ｘはそれを構成可能とすると矛盾が生じるので、
そのような実数ｘはアルゴリズムで構成可能ではない。

つまりAは、「"任意"の実数の加算無限集合Sに対して、Sには含まれない実数を与える構成的なアルゴリズムがある」
という主張に対する反例になっている。
（なぜならば、”任意"のSの例の1つとしてAを採用するときには、
そのような構成的なアルゴリズムが無いことが示せたから）。

「平面上に可能無限個の点があるとする。このときそれらの点と一致しない点が構成できるか？」
（一致しない点が存在することは明らかだが）

可算無限個の点の集合Xを、この平面上で（アルゴリズムで）構成可能な全ての点からなるとする。
そのときXに含まれない新たな点ｐを「（アルゴリズムで）構成できた」とすると、
そのｐは平面上にあり（アルゴリズムで）構成可能な点である。
するとｐは集合Xに含まれていなければならず、論理に矛盾が生じる。

これはXに含まれない点ｐを（アルゴリズムで）構成することは
不可能であることを意味する。

よって、「一般の」可算な点集合が与えられたときに、
それに含まれない点を（アルゴリズムにより）構成する
ことは不可能である。

アルゴリズムに依らずに、実数の「乱数」で座標を与える
などすれば、確率1で一致しない点を得ることができる。

しかし数学の乱数なるものは、存在を仮定するものであってアルゴリズムで構成できるような数ではない。あくまでも概念上の産物だ。