R^2は非可算無限個の点を含むから、
「可算無限個」の点には含まれない点ｘをとれる。
ｘを中心とする単位円Ｃを考える。ｘと「可算無限個の点」を通る
可算無限個の直線を考え、それらの直線がＣとの交点を考えると
交点の集合は単位円周Ｃ上の可算無限個の点からなる集合Ｓであるが、
円周Ｃ上には非可算無限個の点が存在するので、Ｃに含まれるが
Ｓに含まれない点ｙが存在する。そのときｘとｙを結ぶ直線Ｌを考えると
Ｌは「可算無限個の点」のどれも含まない。もしも含んでいたら
ＬがＣと交わる点はＳに含まれるはずなので矛盾するからである。

＃しかしこの証明法は、構成的ではないな。可算有限個の点を与えた
ときにそれを通らない直線が常に存在することであれば、具体的に
そのような直線を構成できるが。「可算無限個の点」というだけでは
どのようにしてそれらが与えられるのかが特定されていないから。