ラングランズ・プログラム

「ラングランズ予想」では内容・目的があいまい
改めて「ラングランズ・プログラム」としてみた

数学の諸分野の架け橋となる「ラングランズ予想」に挑む！
academist-cf.com/fanclubs/256?lang=ja

要らん

Will Sawin says:
August 17, 2024 at 2:54 pm
@C

It’s important to note that they only proved unramified geometric Langlands. The unramified geometric Langlands conjecture is often called the geometric Langlands conjecture because the ramified version is harder to state, and most work has been in the unramified case, but I would still guess that proving ramified geometric Langlands is easier than proving the function field Langlands conjecture, which is easier than proving the reciprocity conjecture for representations algebraic at infinity in the number field case, which is easier than proving the full Langlands conjectures over number fields.

重要なのは、彼らが非分岐幾何学的ラングランズだけを証明したという点です。非分岐幾何学的ラングランズ予想は、しばしば幾何学的ラングランズ予想と呼ばれます。というのも、分岐版は定式化するのがより難しく、これまでの研究の大半が非分岐の場合に集中してきたからです。しかし、それでも私は、分岐幾何学的ラングランズを証明することは、関数体ラングランズ予想を証明することより容易であり、それは数体の場合の無限遠で代数的な表現に対する相互法則予想を証明することより容易であり、それは数体上の完全なラングランズ予想を証明することより容易だろう、と推測します。

ラングランズは諸分野の架け橋などではないのだ
「ラングランズ・プログラム」こそが数学のすべて
これに気づけないからあらゆる混乱が生じている

クソ乙

まずは「ラングランズ・プログラム」を数学研究の
中心に据えなければならない ラングランズはありと
あらゆる数学分野に本質的に関わっているのだから
ラングランズを度外視し独自の言語を用いたABC予想
の解決などもってのほかであり何の価値もないのだ
自分でも、どこをどう間違えたのか収拾がつかない
論文をいくら書き発表したところでゴミの山なのだ

💩

ベッキーとロングラン

パーフェクトイド幾何は何のために存在するか
「ラングランズ・プログラム」を発展させるため
パーフェクトイドによってはじめて見えてくる
ファーグ・フォンテーヌ空間がカギとなるのだ

フランスの数学者ローラン・ファーグ（Laurent Fargues）と
ジャン＝マルク・フォンテーヌ（Jean-Marc Fontaine）により
2010年代初頭に導入されたファーグ・フォンテーヌ空間は
「p 進世界における代数曲線（リーマン面）」としての性質を
持ち数論的性質と幾何学的性質を結びつける架け橋となるのだ

Definition 3. (Definition 6.1.7 in Scholze, defined in Week 3). A perfectoid
field is a perfectoid Tate ring R which is a nonarchimedean field. Remark: a
perfectoid Tate ring such that the underlying ring is a field is in fact a perfectoid
field

混合モチーフの向こうにはたして何があるのか
ひと言にモチーフといっても様々なものがある
Cisinski–Dégliseのétale motivesはétale descentを持ち
Grothendieckのsix operationsを備えたmotivic category
そしてScholzeのBerkovich motivesではBanach rings・
Berkovich spectrum・arc-topologyを起点にstable ∞-圏
が構成されある種のVoevodsky motivesを回復する
つまり比較関手を備えたモチーフ圏の族を考える

p進体上の局所ラングランズ対応はショルツとファルグ
（Laurent Fargues）のプログラムにより「ファルグ・
フォンテーヌ曲線上の G-スタックにおける幾何学的
ラングランズ対応」へと完全に翻訳されたわけだけど
一方で大局ラングランズ対応についてはどうなるのか
ここらあたりからが本格的に面白くなるところと思う

数学板にラングランズ・プログラムを語れる人間はいません

まずはLaurent FarguesとJean-Marc Fontaineによる記念碑的な論文
『Courbes et Fibrés Vectoriels en Théorie de Hodge p-adique』
を押さえておかなければならない ここから始めることを提案する

三枝洋一さんの数理談話会ビデオもあるよ

以前のラングランズ・プログラムは技術的に難しい面が多く
傍から見ていると何をやっているのかが非常に見えにくかった
しかしながらパーフェクトイド幾何の出現やファルグ・フォン
テーヌ曲線の導入によってかなり見通しがよくなってきている
いろんな研究者の参入によって発展に拍車がかかるかもしれん

勉強会があれば出てみたい

勉強会といえば、ブルバキ・セミナーにおける
Peter Scholzeによる講演を探して見るとよいか
ラングランズ・プログラムは数論に現れる「関数」
と「対称性」の対応を、代数幾何学と圏論を使って
より深い形で記述する理論へと進化してきている

GaitsgoryやRaskinによる2024年に発表された「幾何学的ラングランズ予想」
の証明は5編の論文から成り合計で1,000ページという長大なものになっている
「幾何学的ラングランズ予想」の証明といっても実は特別に制限された場合
これですべてが解決されたと勘違いしてしまっている人も多いかもしれない
これだけでも「全貌を完全に説明できる人間は、執筆した本人たちを含めても
世界に数人しかいない」と言われているから早々に諦める人も多いのだろう

勉強会はface to faceでないと記憶に残りにくい