G₂幾何学

例外型リー群G₂の幾何学について

八元数の幾何学

dim G₂=14

G₂-多様体は7次元

Spin(7)-多様体は？

Spin(7)-多様体は8次元

スペシャル幾何低次元トポロジー

物理の人の方が詳しかったりする

自演失敗

八元数は、ハミルトンの四元数の発見に刺激を受けた
ジョン・グレイヴスによって1843年に発見され、
グレイヴスはこれを octaves と呼んだ。
それとは独立にケイリーも八元数を発見しており、
八元数のことをケイリー数、その全体をケイリー代数と
呼ぶことがある。

リッチ平坦

M理論… 11次元時空の理論
11次元 = (我々の住む 4次元時空) + (7次元 G_2-多様体のコンパクト化)

G? は八元数の内積を保つ自己同型群
F_4は八元数を成分とする３次歪対称行列の内積を保つ自己同型群
E_6, E_7, E_8も同じくある種の内積を保つ自己同型群

超弦理論… 10次元時空の理論
10次元 = (我々の住む 4次元時空) + (6次元カラビ・ヤウ多様体のコンパクト化)

G_2　 14次元
F_4　 52次元
E_6　 78次元
E_7　133次元
E_8　248次元

G_2/SU(3)＝S^6
F_4/Spin(9)=OP^2

ケイリー代数って 2^K この基底を持つ代数だと思った。
だから1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，。。。と
次元はいくらでもあるのじゃなかったかな？

>>17
それはケーリー・ディクソン代数とかケーリー・ディクソン構成法とか呼ばれてる
4元数から8元数を作る方法の一つ

16元数と幾何学の関係はまだ無いようだ

３次元以上のテンソルと関係があるのかな？

16元数以上では零因子が存在するのが一因とか聞いたことがあるが、
本当かどうかは分からん

少なくともリー群の分類には8元数までしか出てこない
新たな幾何的対象物が定義され、そこに16元数が関わるのかもしれない

>>16
S^6⊂R^7=Im(O)とみれば、八元数の積がS^6の概複素構造を与える