探検

Furstenberg位相

1１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/14(月) 07:15:21.24ID:qbjr4xg+
素数が無限にあること以外に応用あるんですか
2026/09/14(月) 11:10:24.91ID:GB+GwBqD
　　　 　＿＿＿＿_
　　 ／::::::::::::::::::::::::::＼　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＿
　 /::::::::::::::::::::::::::::::::::::::＼　　　　　　　　 　　　 ／ ￣　　 ￣ ＼
　 |:::::::::::::::::|＿|＿|＿|＿|　　　　　　　 　　　/、　　　　　　 　　 ヽ　
　 |;;;;;;;;;;ノ　　　／,, ,,＼ ヽ　　　　　　　　　　|・ |―-、　　　　　　 |
　 |::（ 6　　ー─□─□　）　　　　　　　 　 ｑ -´　二 ヽ　　　　　 | 　はあ？いいから働けウンコ製造機
　 |ノ　　（∵∴　（ o o）∴）　　　　　　 　　 ノ＿　ー　 |　　　　　| 　　
／|　　　<　　∵　　 ３　∵>　　　　　　　　　 ＼.￣｀　 |　 　 　　/
::::::＼　　ヽ　　　　　　　 ノ＼　　　　　　　　 　　O＝＝＝＝＝ |
:::::::::::::＼＿＿＿＿＿ノ:::::::::::＼　　　　　　　　/　　　　　　 　　 |
3１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/14(月) 12:16:01.35ID:W5hQyJh2
埋め込みZ → Z^ = lim Z/nZによる相対位相
4１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/14(月) 12:38:13.78ID:UNLwXhOx
Zに等差数列を開基とする位相を入れる

空でない開集合は必ず無限集合　(☆)

任意の等差数列は有限個の等差数列の補集合なので、開集合は閉集合でもある

Z\{±1} = ∪pZ (閉集合の和)

素数が有限個しかないと仮定すると、有限集合{±1}が開集合になってしまうので矛盾


(☆)が成り立っていれば一般化できるな
5１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/14(月) 12:47:52.67ID:Isc3hTzR
Z上有限生成な無限環は素イデアルを無限個持つ
6１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/14(月) 14:51:56.28ID:PJL0itmh
Geminiに証明してもらった
素イデアルが有限個しかないと仮定して、Artin環の構造定理からArtin局所環の直和に分解するか、Jacobson根基を取る。剰余体（有限体になる）に対して、「体k上の有限生成環が体なら、kの代数拡大体」を使うのが肝のようだ
どの道筋でも、全体の環Aは無限環、適当なイデアルIに対してA/Iは有限、だけどIが無限ということはあり得ない、というところで矛盾が導けるようだ
7１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/14(月) 15:06:33.71ID:XZ+Kd3ic
素数がp1, ..., pkしかないとする
素イデアルも有限個なのでP1, ..., Pkとする
全ての素イデアルの共通部分は冪零根基∩Pi = √(0)
Zは整域なので√(0) = (0)

Z/∩Pi ～ Z/(p1...pk)Z

左は無限、右は有限なので矛盾
8１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/14(月) 17:04:41.35ID:6jcolbue
Z → Z/nZがすべてのnについて連続となる位相
9１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/09/15(火) 10:26:35.04ID:vO8fijnv
有限巡回群が組成列をもつことがℤのUFD性を意味してるから、つながってるんだろうな
新着レスの表示
レスを投稿する

ニューススポーツなんでも実況