本題の有限加法性を持つ確率測度は
Z上の自由超フィルターFを使って
∀A⊂Zに対し
∃p∈[0,1],∀ε>0:{n∈N::p-ε<#(A∩[-n,n-1])/2n<p+ε}∈F
が成立することが証明できて
このようなpは1つしか無いこともわかるので
p(A)=p
とするとp(A)が有限加法性を持つ確率測度となることが証明できる
Zの部分集合全部が可測集合
p(A+a)=p(A)（平行移動不変性）
p(a-A)=p(A)（対称移動不変性）
を持つことも直ぐ判る