p(kA)=q
とは
∀ε>0:{n∈N::q-ε<#(kA∩[-n,n])/(2n+1)<q+ε}∈F
(少々解説加えると自由超フィルターFでなくフレシェフィルターで定義したものが通常の極限値
極限値が存在しなくても自由超フィルターならp(A)を必ず定義できる)
#(kA∩[-n,n])=#(A∩[-n/k,n/k])=#(A∩[-[n/k],[n/k]])
m=[n/k],n=km+r(0≦r≦k-1)
q-ε<#(kA∩[-n,n])/(2n+1)<q+ε
q-ε<#(A∩[-m,m])/(2(km+r)+1)<q+ε
q-ε<#(A∩[-m,m])/(2m+1)・(2m+1)(2(km+r)+1)<q+ε
(2(km+r)+1)/(2m+1)・(q-ε)<#(A∩[-m,m])/(2m+1)<(2(km+r)+1)/(2m+1)・(q+ε)
δ=(2(km+r)+1)/(2m+1)・ε
s=(2(km+r)+1)/(2m+1)-k=(2r+1-k)/(2m+1)
s+kq-δ<#(A∩[-m,m])/(2m+1)<s+kq+δ
F∋{n∈N::q-ε<#(kA∩[-n,n])/(2n+1)<q+ε}
={km+r::s+kq-δ<#(A∩[-m,m])/(2m+1)<s+kq+δ}