ガロア理論を理解したい

何から始めればいいですか

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21
rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1753002417/

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ19
rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776769125/

群論（可解群まで）と体論（有理数体上の拡大くらいまで）

体って、何の体

目出鯛

まず体がわからん

環は？

カラダって読まないでねw

>>8
リングだ

field

分からないなら調べるなり、AIに聞くなりすること
一度でわからなくても何度も理解しようとして読むこと
それが出来ないならば数学は諦めること

>>10
見たな

>>12
>それが出来ないならば数学は諦めること
休日に2chで説教ｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
かっこいいeeeee！ｗｗｗｗｗｗｗｗ

>ガロア理論を理解したい
>何から始めればいいですか

まず、円分方程式のガロア群が巡回群であること
そして、そのような方程式は、根の一つが分かれば、他の根はそこから変換できること
最後に、根がラグランジュ分解式を利用し、根号を使って表せること

これらを理解することからはじめてください

逆にこれ抜きにガロア理論だけ学ぶと、
なにやってんだかわけわかんなくなります

※個人の感想です

まあ、群論がまず何を目指しているのかが分かりにくいからね。

直感的にはこういうことをやりたい：
体K上の多項式fの解a_1,a_2,…は、Kより大きい体Lに全部置いてある。
もしKを動かさないでLだけ動かす自己同型をとると、fは変わらないのでa_1,a_2,…は互いに写り合うだろう。
つまり、「Kを動かさないLの自己同型」と「a_1,a_2,…の変換」には１対１対応があるはずだ。
この直感がうまくいくために色々調整するとガロア理論になる。

調整というのは、たとえばLは無駄に大きくならないようにとるとか、fは重解を持たないようにとるとか。

あとはこの議論の一般化と応用の話が続く。

>>15
よいこと言った

永田雅宜 可換体論

>>21
おすすめしない
例が一切無い

>>1
下記2冊がお薦め
（彌永と矢ヶ部と）
なお、自分の数学レベルを書いた方が良い
中高一貫の中１とかね（＾＾
現代数学の大学レベル ガロア理論は 抽象度が高いので
代数方程式論との乖離が大きい
矢ヶ部は、それを補ってくれる

＜アマゾン＞
ガロアの時代ガロアの数学 第2部 数学篇 (シュプリンガー数学クラブ)
彌永 昌吉 (著)
出版社 ‏ : ‎ シュプリンガー・フェアラーク東京
発売日 ‏ : ‎ 2002/8/1
レビュー
susumukuni
星5つ中5つ
ガロア理論の近代化の系譜とガロアの原論文を解読する素敵な書
2010年12月13日
ガロア理論をこれから学ぼうとする方、既に学んだ事がある方、双方にとって非常に有益な書である。本書のどこがユニークで面白いのか、以下に述べてみたい。

先ず、ガロア理論の近代的定式化の系譜とそのブレイクスルーが非常に明確に叙述されている。体の概念を今日的に定義し、拡大体の自己同型群としてガロア群を捉えたデデキント、体の代数的閉包の存在を証明し、非分離拡大の存在を明らかにしたシュタイニッツ、有限次拡大の基礎体上の線形代数に基づき拡大次数を定義し、ガロア理論をエレガントに再構成したアルティン、これらの各々の業績の位置付けを明確に理解できるところが素晴らしい。

次に、大学初年級のレベルの方がガロア理論の基本を理解できる様に、平易かつ丁寧に解説されているのがとても良い。「代数方程式の可解性はそのガロア群の可解性と同値である」という定理の証明を理解できれば、誰もがその素晴らしさに深い感銘を覚えられると思う。更に、素数次の既約方程式の可解性が、ガロア群の線形性、或いはその分解体が任意の２根を添加して得られること、の何れとも同値である事が示されている。この同値性をアルティンの教科書で読み取るのは初学者には難しく、この解説は有益である。

最後に、方程式の代数的可解性に関するガロアの原論文の全訳と詳細な解説が素晴らしい。難解なガロアの原論文の解読は全ての数学愛好家の憧れであるが、本書の解説がその接近をぐっと容易にしてくれるだろう。ここは何度も読み返し味わうべき箇所である。尚、ガロアが命題VIIの終わりで言及している「次数が(n−2)！の補助方程式」とは、「素数n次の原方程式の分解方程式のこと」であり、線形群がn次対称群で指数(n−2)！をもち、この方程式が基礎体に単根を持てば原方程式は可解であることに注意したい。
彌永先生による本書はとても面白く有益な書である。全ての数学ファンにお薦めしたい一冊である。

https://www.saiensu.co.jp/book_support/20094910054691191/sk197911.pdf
ガロア理論とその応用 数理科学 1979年 11月号 彌永健一

https://www.gensu.jp/product/%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E6%95%B0%EF%BC%93%E6%96%B9%E5%BC%8F-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96/
新装版 数３方式 ガロアの理論
\4,180 矢ヶ部 巌
-アイデアの変遷を追って-
内容
ガロアの遺書を読む
３次方程式を手玉に取る
４次方程式 を斬る
５次方程式に挑む、方程式解法 の原点 に立つ
解法の方向を定式化する
方程式論の流れを変える
根の整式を探求する
根の分数式に着目する
根の有理式を解明する
他

>>23の御仁は10年以上かけてガロア理論が理解できなかった方なので、あまり参考にならないかと。
アルティンはともかく、『数３方式 ガロアの理論』はやめた方がいいだろう。

>>21
で良いと思うけどね
非常に濃縮されてる

各種参考図書と藤崎の本を資料集的に使いつつ、雪江や桂、堀田、永田を読むとか。
代数概論という手もあるかな？

堀田は読みやすい。代数概論や桂は手っ取り早い。雪江は丁寧。

副読本としてガロアの夢も。

>>24-28
ふふ
盛り上がってますね
ところで

１）なんのために ガロア理論？
　もし>>1 が数学科生 1年あたりか
　非数学科生か
　それによって 読むべき本と 習得レベルが違ってくるだろう
２）それから >>1 が、いまどういう立ち位置なのか？
　大学入学前、大学在学中、社会人？
　それによっても違う
３）あと、自分のMM（数学習熟度）レベル（下記）な
　MM（数学習熟度）にあった本が選べると良いだろう

さらには、周囲に聞ける人がいるか否か
数学科生なら 仲間と自主ゼミとかもあり

(参考)
https://grothendieck-jr.blogspot.com/2015/02/mathematical-maturity.html
アメリカ大学教員の日記
2015年2月26日木曜日
数学の学び方〜Mathematical Maturity〜
数学の学び方の第二回目。

今回はちょっと抽象的な話になるが、そもそも数学を学ぶとはどういう事なのかについて書いてみる。

まず、最初に理解しなければならないのは、数学を学ぶという事は、「○○の定理」だとか「○○の公式」といった個々の数学的知識身につけることでは無いという事である。

そうではなく、本当の意味で数学を学ぶというのは、もっと根元的ないわゆる
Mathematical Maturity
と呼ばれるものをアップさせることにあるのだ。

このMathematical Maturity（以下MMと略す）という言葉はアメリカで数学をやっているとよく聞く言葉なのだが、日本語でそのまま訳せば

数学的成熟度
といった感じになるであろうか。で、このMMについて簡単に説明するのは難しいのだが、基本的にはその人が
「どれだけ数学という学問に習熟しているか」
を現す指標のようなもといえるであろう。そして、それはその人にどれだけ数学の知識があるのか、といったようなものとは異なるのである。
略

まぁこの話題についてセタが他人にとやかく言う資格はないやろな

>>31 追加
検索でヒットしたメモを はっておく

ご参考
https://tsujimotter.ｈａｔｅnablog.com/entry/galois-2019
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
2019-05-31
ガロアに浸れる出版物・ウェブサイト紹介
今日は5/31というわけで、今年も「数学者エヴァリスト・ガロアの命日」がやってきました。
毎年5/31には、京大の数学教室で「ガロア祭」なるイベントも開催されているようですね
略
�E3-2. 五次方程式が代数的に解けないわけ - 2015/5/22
手前味噌ですが、私の発表した動画です。30分で五次方程式が解けない仕組みについて解説しました。
https://youtu.be/qwYyXtttns0?t=1
3-2. 五次方程式が代数的に解けないわけ - 2015/5/22
プログラマのための数学勉強会
491,568回視聴 2015/05/23
資料: https://www.slideshare.net/slideshow/maths4pg-48479177/48479177
第3回 「プログラマのための数学勉強会」 https://maths4pg.connpass.com/event/14367/
発表者：日曜数学者 辻順平

�FGalois生誕200年記念　2011年度数学科夏期リレー講座（2011/8/22〜8/27）
海城高校というところで、高校生向けのガロア理論講座が行われていたようですね。こちらの資料がとても面白いです。先生方の熱意を感じます。
以下略

まず群の定義から

読んでもない教科書の話ばかり

有限体は完全体

>>33-34
>読んでもない教科書の話ばかり

海城や、tsujimotter氏のyoutube は、教科書ではないぞよｗ（＾＾

>まず群の定義から

ID:xILdna1iは、御大か
巡回ありがとうございます（＾＾
まあ、数学科1年ならば、そうでしょうね
それしかない

数学科の学部のガロア理論は、一里塚であって最終ゴールではない
が、ガロア >>31 海城（中高）数学科リレー講座「ガロア生誕２００年記念講習会」は
エンタテインメント

京都大でも ガロア祭とか エンタ
数学出版で ”ガロア”本 売れるらしい（＾＾
これも エンタ

私も含めて
そういう一般人趣味の人多数（＾＾
まあ、”古典”の教養ですな（夏目の”坊ちゃん”と同じｗ）

一昔前 石井のガロア頂本が かなり売れた話がありましたね（下記）
いまでもかな？
2023.08 初版〜8刷 か、これは なかなか凄いですね

加藤文元先生も 出していたな
書店で立ち読みした
小島 寛之先生のもあったな
これは、見ていないが・・

（アマゾン）
ガロア理論12講 概念と直観でとらえる現代数学入門
加藤 文元 (著)
出版社 ‏ : ‎ KADOKAWA
発売日 ‏ : ‎ 2022/7/21

【完全版】天才ガロアの発想力 ―対称性と群が明かす方程式の秘密― (知の扉シリーズ)
小島 寛之 (著)
出版社 ‏ : ‎ 技術評論社
発売日 ‏ : ‎ 2019/7/6

(参考)
https://www.beret.co.jp/book/43638
ガロア理論の頂を踏む
石井俊全 ベレ出版 2013年

立ち読み
PDFファイル（1MB）

目次
PDFファイル（788KB）

2023.08 『ガロア理論の頂を踏む』（初版〜8刷）正誤表
https://www.beret.co.jp/uploads/2013/05/463%E3%80%8E%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%82%92%E8%B8%8F%E3%82%80%E3%80%8F%EF%BC%88%E5%88%9D%E7%89%88%EF%BD%9E8%E5%88%B7%EF%BC%89%E6%AD%A3%E8%AA%A4%E8%A1%A8.pdf

>>36
余談 >>1で 何から始めればいいですか
とあるが、>>1さん 無反応
これ 最近多い

要するに 多分運営が
賑やかしで クソスレを無闇に立てるが その後放置
例を 下記スレ一覧で拾うと レス一桁レベルで放置多数

これも同じか
なので
適当に書いて
あと流しますね （＾＾；

(参考)スレ一覧より
『 652: AIは研究倫理を理解していない (4) 653: 中山の補題 (16) 654: なんか面白い新発見とかないの？ (16) 655: 有理整数環ℤへの環準同型が存在する環 (4) 656: ガンマ関数 (11) 657: 高校生でもわかるリーマン幾何学 (8) 658: 再双対空間がわかりません (26) 659: 35歳無職だけどマセマ極めるわ (7) 660: ヒルベルトの零点定理 (6) 661: クルルの単項イデアル定理 (3) 662: 神聖な比率：有理三角法から普遍幾何学へ (10) 663: テレンス・タオと土屋太鳳 (4) 664: 両側剰余類 (6) 665: 命題: 受験数学は数学ではない (27) 666: フーリエ級数展開ってフーリエ逆変換じゃん (5) 667: 数学≠数理現象 (8) 668: 数論は環論なのか (5) 669: 不等式と無限小解析 (4) 670: 不等式と無限小解析 (7) 671: 場の経済学 (17) 672: 怖い数学者、優しい数学者、厳しい数学者 (14) 673: 数学と将棋の強さに相関はあるのか (7) 674: 学部3回生までの数学＝群環体・多様体・ルベーグ積分を効率的に学ぶ方法 (29) 675: 【朗報】荒らしが死んだ (38) 676: 俺「この数学者すごそうだな」その数学者「親が大学教授で〜」 (14) 677: 微積分線形代数集合位相複素関数ルベーグ積分微分方程式代数多様体 (54) 678: 僕にはもう時間がなくて、ノートの余白も狭くなってきた (13) 679: 相乗平均っていつ使うの？ (3) 680: ガウス・ボネの定理 (6) 681: 受験数学の弊害とは (12) 682: 球面調和関数 (5) 683: 行列とは何か (48) 684: ベクトルとは何か (13) 685: なぜ数理学部は変人だらけなのか (39) 686: 箙 (11) 687: ウェッジ積∧、外微分d、ホッジ双対* (16) 688: 簡約ホモロジー群 (4) 689: 極小曲面 (9) 690: 共変微分 (4)』

ご参考
１）
大阿久先生のPDF
https://www.lab.twcu.ac.jp/oaku/index_jp.html
大阿久俊則
講義録（学部）
11 ガロア理論入門, 「ガロア理論入門」演習問題解答,
https://www.lab.twcu.ac.jp/oaku/galois.pdf
ガロア理論入門（体と群と方程式）
東京女子大学
PDF
ガロア理論入門（大阿久俊則）. 20. 6 ガロア拡大とガロア群. 定義 6.1 C ⊃ L ⊃ K を体の拡大とする．このとき L ⊃ K がガロア拡大(Galois extension). または正規拡大 ...
49 ページ

２）英語読める人に お薦め Brent Everitt （分かり易い）
[Submitted on 12 Apr 2018]
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.

３）５次方程式の幾何 趣味の世界ですが
https://people.reed.edu/~jerry/Quintic/quintic.html
https://people.reed.edu/~jerry/Quintic/quintic.pdf
Geometry of the Quintic
The book as pdf
(Copyright 2009 by Jerry Shurman. Any part of the material protected by this copyright notice may be reproduced in any form for any purpose without the permission of the copyright owner, but only the reasonable costs of reproduction may be charged. Reproduction for profit is prohibited.)
Wiley has returned the copyright of the book to me, and the book is posted here as pdf for anyone who wants it. The typesetting isn't all that it should be, and there is at least one nontrivial error in the book, but I am leaving things as they are.
https://people.reed.edu/~jerry/index.html
Jerry Shurman
Professor
Reed College
Department of Mathematics and Statistics

４）これも ５次方程式の趣味の世界
https://www.ams.org/journals/notices/202404/noti2923/noti2923.html
https://www.ams.org/journals/notices/202404/rnoti-p444.pdf
The Quintic, the Icosahedron, and Elliptic Curves
Bruce Bartlett APRIL2024 NOTICES OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY VOLUME 71, NUMBER 4

まあ、こんな感じね（＾＾

>>38 URL 追加
２）
https://arxiv.org/abs/1804.04657
[Submitted on 12 Apr 2018]
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.

文章に清潔感がない