なんで
次数ｎの冪根拡大と次数ｎの巡回拡大が同値となる条件で
基礎体が１の冪根を十分に含むことが必要なのか
ChatGPTに訊いてみた

その答えをかいつまんでいうと・・・
「巡回作用に対する固有値 ζnk を基礎体の中で使いたいから」

身も蓋もない（笑）

以下、ChatGPTの回答のポイント
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ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。

巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。

そして固有値が ζn^k だから、
その n 乗を取れば固有値が消えて
Rn∈K となる。
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南無阿弥陀仏