もう一度自由超フィルターの満たすべき条件を定式化してみよう
q=p(kA)の定義から
∀ε>0,{n∈N::q-ε<#{kA∩[-n,n])/(2n+1)<q+ε}∈F
であるとき
示したいのは
p(A)=kq
ということ
つまり
∀δ>0,{m∈N::kq-δ<#(A∩[-m,m])/(2m+1)<kq+δ}∈F
ここで考慮すべきは（2≦k）
#(kA∩[-n,n])=#(A∩[-n/k,n/k])
（縮小しただけ）
#(A∩[-n/k,n/k])=#(A∩[-[n/k],[n/k]])
（A⊂ZなのでZ∩[-n/k,n/k]=[-[n/k],[n/k]]）
ここで
m=[n/k]
とすると
n=km+r（0≦r<k）
と表せ
#(kA∩[-n,n])/(2n+1)=#(A∩[-m,m])/(2(km+r)+1)=#(A∩[-m,m])/(2m+1)・(2m+1)/(2(km+r)+1)
ここで
q-ε<#{kA∩[-n,n])/(2n+1)<q+ε
とすると
q-ε<#(A∩[-m,m])/(2m+1)・(2m+1)/(2(km+r)+1)<q+ε
よって
(2(km+r)+1)/(2m+1)(q-ε)<#(A∩[-m,m])/(2m+1)<(2(km+r)+1)/(2m+1)(q+ε)
ここで
(2(km+r)+1)/(2m+1)≒k
だけど等しくは無いんだよなあ
(2(km+r)+1)/(2m+1)<2k
だから
δ=2kε
とすれば
(2(km+r)+1)/(2m+1)q-δ<#(A∩[-m,m])/(2m+1)<(2(km+r)+1)/(2m+1)q+δ
となってδの方は上手く片が付くけれど
(2(km+r)+1)/(2m+1)q≒kq
なだけではダメなのよな
うーんFにどんな性質が必要なんだろ