3. 最大になったときに「全射（単位円板全体に写る）」になる理由
ここが核心です。「もし最大値をとる関数 \(f_{0}\) の像 \(f_0(D)\) が、単位円板 \(\mathbb{D}\) 全体を覆っていなかったら（穴があったら）」と仮定します。
1. 像に穴（カバーされていない点 \(\alpha \in \mathbb{D}\)）があると、領域の単連結性を利用して、その穴を避けるような「平方根」の正則な枝をとる写像を合成できます。
2. さらに、それを一次分数変換（シュワルツの補題の変形）で原点 \(0\) を原点 \(0\) に戻すように調整します。
3. この一連の合成操作を行うと、シュワルツの補題（またはそのバリエーション）の効果により、元の関数 \(f_{0}\) よりもさらに点 \(z_{0}\) での微分の絶対値が大きい新しい関数 \(f_1 \in \mathcal{F}\) が作れてしまうことが証明できます。
これは「\(f_{0}\) が微分の絶対値を最大にする関数である」という前提に矛盾します。
したがって、微分の絶対値が最大になる事項（関数）は、単位円板に「穴」を残すことができず、必ず全体をぴったり覆う（全射になる）、すなわち目的の等角写像（リーマン写像）になるのです