つづき

ルベーグはこの測度問題をめぐって次のように考察した.ひとまず, 1次元の R上に測度問題の解µ()がどんなものにせよ存在したと仮定しよう. 1点集合どうしは互いに合同だから不変性条件(iii)により同じ測度をもつ, しかし有界な無限集合にも有限の測度が与えられなければならないことを考えると,可算加法性の条件から,1点集合の測度はゼロでなくてはならない. 同様に空集合の測度もゼロでなくてはならない. 次に,非自明性条件(ii)により, ある有界集合Aでµ(A)>0となる. よってAを含むなんらかの右半開区間[α,β)についてもゼロでない測度がつく.

不変性条件 (iii) により, 区間の測度はその長さだけで決まる. そこで上の α, β についてβ −α=t0 とするとµ([0,t0)) >0 である.
（長いので途中略す）
ルベーグは等式m∗(A) = m∗(A) をみたす集合のことを可測集合と呼ぶことにした. 可測集合が次の条件をみたすことをルベーグは示した.

すなわち, 話を可測集合に限ってしまえば, 存在するかどうかわからない測度問題の解 µ( ) の代わりに, 区間の長さをもとに定義された外測度m∗()を用いて議論できる. ルベーグはこの時点で,測度問題の解が存在するかどうかという問いを棚上げにして, 可測集合だけに話を限定して, 積分の理論を作ることにした.

3.2 測度問題についてヴィタリの証明
略

3.3 三つの道ルベーグの測度問題の解が存在しないことから, 測度に対する考察は設定の変更を余儀なくされる. さて, どうするか. 三つの道が考えられる. (1) 万有性をあきらめる. 不変性と可算加法性を残す. (2) 可算加法性をあきらめる. 万有性と不変性を残し,有限加法性で我慢する. (3) 不変性をあきらめる. 万有性と可算加法性を残す.すでに述べたように, ルベーグの選んだのは(1)の万有性をあきらめる道だった.
略
(引用終り)
以上